2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 学案2（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式 学案2（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 18:28:38 | ||
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文档简介
2.1.5
平面直角坐标系中的距离公式
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.掌握直角坐标系中两点间的距离公式，用坐标法证明简单的几何问题．2．理解点到直线的距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式．3．能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离.
重点：两点间的距离公式、点到直线的距离公式．难点：用坐标法证明简单的几何问题时坐标系的建立．疑点：在用点到直线的距离公式时直线方程必须化为一般式.
预习导引
1．两点间的距离公式
若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝.
预习交流1
(1)已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为__________；
(2)已知点A(－1，3)，B(2，a)之间的距离是，则实数a的值为__________．
提示：(1) (2)1或5
2．点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
预习交流2
(1)使用点到直线的距离公式对直线的方程有何要求？
提示：要求直线的方程为一般式，若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
(2)点(6，－3)到x轴的距离为________；到y轴的距离为________；到直线y＝－x的距离为________；到直线x＋2y－5＝0的距离为________．
提示：3 6
3．两条平行线间的距离公式
两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离为d＝
.
预习交流3
(1)使用两条平行线间的距离公式的前提条件是什么？
提示：①把直线方程化为直线的一般式方程；
②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．
(2)直线3x－y＋2＝0与3x－y＋3＝0之间的距离是______．
提示：
课堂合作探究
问题导学
1．两点间的距离公式及应用
活动与探究1
已知A(－7，0)，B(－3，－2)，C(1，6)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的外心的坐标．
思路分析：要判断△ABC的形状，可从两点间的距离公式入手求出|AB|，|BC|，|AC|的长，再加以判断．
解：(1)因为|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
所以|AB|2＋|BC|2＝|AC|2.
所以△ABC是以角B为直角的直角三角形．
(2)因为△ABC为直角三角形，
所以其外心为斜边AC的中点，
其坐标为，即(－3，3)．
迁移与应用
已知点A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)，
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求AB边上的中线CM的长．
解：(1)|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∵|AB|＝|AC|≠|BC|，∴△ABC为等腰三角形．
(2)M，|CM|＝＝.
名师点津
1.对于任意两点，只要给出两点的坐标，就可利用公式求出两点间的距离．
2．探讨三角形的形状时，可以利用边长的关系，有时也可以利用角的关系，对于特殊的图形，其一些特殊性质也应加强记忆与应用．
2．点到直线的距离公式及应用
活动与探究2
求点P(1，2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
思路分析：先将直线方程化成一般式，再利用点到直线的距离公式求解，特殊直线也可以数形结合．
解：(1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式得d1＝＝2.
(2)方法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得
d2＝＝3.
方法二：如图，∵y＝－1平行于x轴，
∴d2＝|－1－2|＝3.
(3)方法一：y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式得d3＝＝1.
方法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.
迁移与应用
1．点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离等于4，求a的值．
解：由点到直线的距离公式，可得关于a的方程：＝4，
|3a－26|＝20，解得a＝2或a＝.
2．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，求P点的坐标．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，
由题意得
解得或
所以点P的坐标为(2，－1)或(1，2)．
名师点津
求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解．
3．两条平行直线间的距离公式及应用
活动与探究3
(1)求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离；
(2)直线l经过点A(2，4)，且被平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．
解：(1)直线l1，l2的方程可化为3x＋4y－10＝0，3x＋4y－15＝0，
则两平行线间的距离d＝＝＝1.
(2)由中点在x＋y－3＝0上，同时它在到两平行直线距离相等的直线x－y＝0上，
解方程组得
∴中点坐标为，
由直线l过点(2，4)和点，
易得直线l的方程为5x－y－6＝0.
迁移与应用
求下列直线方程：
(1)与两条平行线l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线；
(2)与直线l1：3x－4y－20＝0平行且距离为3的直线．
解：(1)设所求直线为3x＋2y＋C＝0，由题意得＝，得C＝－.∴3x＋2y－＝0，即12x＋8y－15＝0为所求方程．
(2)设所求直线为3x－4y＋C＝0，由＝3得C＝－5或－35.故所求直线方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
名师点津
在应用两平行线间的距离公式d＝时要注意：(1)两直线的方程必须是一般式；(2)两直线的方程中x，y的系数必须要对应相等，不相等的一定要化为相等．
当堂检测
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )．
A．1
B.
C．2
D.
解析：d＝＝＝.
答案：D
2．直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为( )．
A.
B.
C.
D．24
解析：两直线方程可化为：3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，∴d＝＝.
答案：B
3．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于( )．
A.
B．－
C．－
D.或－
解析：由＝1，
即＝1得m＝或－.
答案：D
4．已知点A
(－，a)，B(0，1)是平面上相异的两点，则两点间距离的最小值是_____．
解析：|AB|＝，当a＝1时，|AB|min＝.
答案：
5．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，
得y－5＝－
(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式，
得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
平面直角坐标系中的距离公式
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.掌握直角坐标系中两点间的距离公式，用坐标法证明简单的几何问题．2．理解点到直线的距离公式的推导，熟练掌握点到直线的距离公式．3．能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离.
重点：两点间的距离公式、点到直线的距离公式．难点：用坐标法证明简单的几何问题时坐标系的建立．疑点：在用点到直线的距离公式时直线方程必须化为一般式.
预习导引
1．两点间的距离公式
若两点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|＝.
预习交流1
(1)已知A(3，7)，B(2，5)，则A，B两点间的距离为__________；
(2)已知点A(－1，3)，B(2，a)之间的距离是，则实数a的值为__________．
提示：(1) (2)1或5
2．点到直线的距离公式
点P(x0，y0)到直线Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
预习交流2
(1)使用点到直线的距离公式对直线的方程有何要求？
提示：要求直线的方程为一般式，若所给的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，再利用公式求距离．
(2)点(6，－3)到x轴的距离为________；到y轴的距离为________；到直线y＝－x的距离为________；到直线x＋2y－5＝0的距离为________．
提示：3 6
3．两条平行线间的距离公式
两条平行线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离为d＝
.
预习交流3
(1)使用两条平行线间的距离公式的前提条件是什么？
提示：①把直线方程化为直线的一般式方程；
②两条直线方程中x，y系数必须分别相等．
(2)直线3x－y＋2＝0与3x－y＋3＝0之间的距离是______．
提示：
课堂合作探究
问题导学
1．两点间的距离公式及应用
活动与探究1
已知A(－7，0)，B(－3，－2)，C(1，6)．
(1)判断△ABC的形状；
(2)求△ABC的外心的坐标．
思路分析：要判断△ABC的形状，可从两点间的距离公式入手求出|AB|，|BC|，|AC|的长，再加以判断．
解：(1)因为|AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
所以|AB|2＋|BC|2＝|AC|2.
所以△ABC是以角B为直角的直角三角形．
(2)因为△ABC为直角三角形，
所以其外心为斜边AC的中点，
其坐标为，即(－3，3)．
迁移与应用
已知点A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)，
(1)试判断△ABC的形状；
(2)求AB边上的中线CM的长．
解：(1)|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
∵|AB|＝|AC|≠|BC|，∴△ABC为等腰三角形．
(2)M，|CM|＝＝.
名师点津
1.对于任意两点，只要给出两点的坐标，就可利用公式求出两点间的距离．
2．探讨三角形的形状时，可以利用边长的关系，有时也可以利用角的关系，对于特殊的图形，其一些特殊性质也应加强记忆与应用．
2．点到直线的距离公式及应用
活动与探究2
求点P(1，2)到下列直线的距离：
(1)l1：y＝x－3；(2)l2：y＝－1；(3)y轴．
思路分析：先将直线方程化成一般式，再利用点到直线的距离公式求解，特殊直线也可以数形结合．
解：(1)将直线方程化为一般式为x－y－3＝0，
由点到直线的距离公式得d1＝＝2.
(2)方法一：直线方程化为一般式为y＋1＝0，
由点到直线的距离公式得
d2＝＝3.
方法二：如图，∵y＝－1平行于x轴，
∴d2＝|－1－2|＝3.
(3)方法一：y轴的方程为x＝0，由点到直线的距离公式得d3＝＝1.
方法二：如图可知，d3＝|1－0|＝1.
迁移与应用
1．点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离等于4，求a的值．
解：由点到直线的距离公式，可得关于a的方程：＝4，
|3a－26|＝20，解得a＝2或a＝.
2．P点在直线3x＋y－5＝0上，且P到直线x－y－1＝0的距离为，求P点的坐标．
解：设点P的坐标为(x0，y0)，
由题意得
解得或
所以点P的坐标为(2，－1)或(1，2)．
名师点津
求点到直线的距离，要注意公式的条件，要先将直线方程化为一般式．对于特殊直线可采用数形结合的思想方法求解．
3．两条平行直线间的距离公式及应用
活动与探究3
(1)求两平行线l1：3x＋4y＝10和l2：3x＋4y＝15的距离；
(2)直线l经过点A(2，4)，且被平行直线x－y＋1＝0与x－y－1＝0所截得的线段的中点在直线x＋y－3＝0上，求直线l的方程．
解：(1)直线l1，l2的方程可化为3x＋4y－10＝0，3x＋4y－15＝0，
则两平行线间的距离d＝＝＝1.
(2)由中点在x＋y－3＝0上，同时它在到两平行直线距离相等的直线x－y＝0上，
解方程组得
∴中点坐标为，
由直线l过点(2，4)和点，
易得直线l的方程为5x－y－6＝0.
迁移与应用
求下列直线方程：
(1)与两条平行线l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线；
(2)与直线l1：3x－4y－20＝0平行且距离为3的直线．
解：(1)设所求直线为3x＋2y＋C＝0，由题意得＝，得C＝－.∴3x＋2y－＝0，即12x＋8y－15＝0为所求方程．
(2)设所求直线为3x－4y＋C＝0，由＝3得C＝－5或－35.故所求直线方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0.
名师点津
在应用两平行线间的距离公式d＝时要注意：(1)两直线的方程必须是一般式；(2)两直线的方程中x，y的系数必须要对应相等，不相等的一定要化为相等．
当堂检测
1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为( )．
A．1
B.
C．2
D.
解析：d＝＝＝.
答案：D
2．直线－＝1与y＝x＋1之间的距离为( )．
A.
B.
C.
D．24
解析：两直线方程可化为：3x－2y－12＝0与3x－2y＋2＝0，∴d＝＝.
答案：B
3．已知点(3，m)到直线x＋y－4＝0的距离等于1，则m等于( )．
A.
B．－
C．－
D.或－
解析：由＝1，
即＝1得m＝或－.
答案：D
4．已知点A
(－，a)，B(0，1)是平面上相异的两点，则两点间距离的最小值是_____．
解析：|AB|＝，当a＝1时，|AB|min＝.
答案：
5．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由直线方程的点斜式，
得y－5＝－
(x＋2)，
整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0.
(2)由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0，
由点到直线的距离公式，
得＝3，
即＝3，解得C＝1或C＝－29，
故所求直线方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.