2.2.1 圆的标准方程 同步练习1（含答案）

2.2.1
圆的标准方程
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.两点A(3，1)，B(a，7)关于直线y=x-1对称，则a=(
)
(A)2
(B)6
(C)0
(D)7
2.圆(x-2)2+(y-1)
2=3关于x轴对称的圆的方程为(
)
(A)(x+2)2+(y-1)
2=3
(B)(x-2)2+(y+1)
2=3
(C)(x+2)2+(y+1)
2=3
(D)(x-2)2+y2=3
3.圆心为(-3，-2)，且过点(1，1)的圆的标准方程为(
)
(A)(x-3)2+(y-2)
2=5
(B)(x-3)2+(y-2)
2=25
(C)(x+3)2+(y+2)
2=5
(D)(x+3)2+(y+2)
2=25
4.(易错题)已知圆心为点P(－2，3)，并且与y轴相切，则该圆的方程是(
)
(A)(x-2)2+(y+3)
2=4
(B)(x+2)2+(y-3)
2=4
(C)(x-2)2+(y+3)
2=9
(D)(x+2)2+(y-3)
2=9
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.已知圆心为C(1，2)，且圆的一条切线为x+y-5=0，则圆的标准方程为_________________.
6.一束光线从点A(－1，1)出发，经x轴反射到圆C：(x-2)
2+(y-3)
2=1上的最短路径长度是_____________．
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.已知圆N的标准方程为(x-5)2+(y-6)
2=a2
(a＞0).
(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围.
8.求经过两点A(-1，4)，B(3，2)且圆心在y轴上的圆的方程.
【挑战能力】
(10分)求过点A(1，2)和B(1，10)且与直线x-2y-1=0相切的圆的标准方程.
答案解析
1.【解析】选D.由题意知A，B两点的中点在对称直线上，因为A，
B两点的中点坐标为(，4)，所以4=-1，解得a=7，故选D.
2.【解析】选B.由题意知(x-2)2+(y-1)
2=3的圆心坐标为(2，1)，关于x轴对称的点为(2，-1)，故与圆(x-2)2+
(y-1)
2=3关于x轴对称的圆的方程为
(x-2)2+(y+1)
2=3.
【举一反三】若本题圆的方程不变，求其关于y轴对称的圆的方程.
【解析】由题意知(x-2)2+(y-1)
2=3的圆心坐标为(2，1)，关于y轴对称的点为(-2，1)，故与圆(x-2)2+(y-1)
2=3关于y轴对称的圆的方程为
(x+2)2+(y-1)
2=3.
3.【解析】选D.由题意，圆的半径为r==5，所以圆的标准方程为(x+3)2+(y+2)
2=25.
4.【解析】选B.由题意知，
圆与y轴相切，故圆的半径为2，圆的方程为
(x+2)2+(y-3)
2=4.
【误区警示】圆与y轴相切，有的同学可能误认为半径为3而错选D项.
5.【解析】由题意可知，圆的半径为圆心到切线的距离，即r=d=所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)
2=2.
答案：(x-1)2+(y-2)
2=2
6.【解题指南】找A关于x轴的对称点，光线的最短距离即为对称点到圆心的距离与半径之差．
【解析】如图，点A关于x轴的对称点为
A1(－1，－1)，光线的最短路径长度即是线段
A1C与圆半径的差，所以d=|A1C|-r
=
=4．
答案：4
7.【解析】(1)∵点M(6，9)在圆上，
∴(6-5)2+(9-6)2＝a2，即a2=10，
又a＞0，∴a=.
(2)∵｜PN｜=
｜QN｜=
∴｜PN｜＞｜QN｜，故点P在圆外，
点Q在圆内，∴3＜a＜.
【方法技巧】点M(x0，y0)与圆(x-a)2+(y-b)
2=r2的关系的判断方法
把点M(x0，y0)代入圆的方程(x-a)
2+(y-b)
2=r2利用以下关系求解：
(1)(x0-a)
2+(y0-b)
2＞r2，点在圆外；
(2)(x0-a)
2+(y0-b)
2=r2，点在圆上；
(3)(x0-a)
2+(y0-b)
2＜r2，点在圆内.
8.【解析】由题意得，∴AB的垂直平分线的斜率k=2，又AB中点坐标为(1，3)，
∴由直线方程的点斜式可得y-3=2(x-1)，
即AB的垂直平分线的方程为2x-y+1=0，
令x=0得y=1，即所求圆的圆心为C(0，1).
半径为
所以，所求圆的方程为x2+(y-1)
2=10.
【一题多解】由圆心在y轴上，可设圆的方程为
x2+(y-b)
2=r2，因为圆经过两点A(-1，4)，B(3，2)，
将坐标代入圆的方程得
所以，所求圆的方程为x2+(y-1)
2=10.
【挑战能力】
【解析】圆心显然在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心为(a，6)，半径为r，则(x-a)2+(y-6)
2=r2，
得(1-a)
2+(10-6)
2=r2，
而
得a=3，r=，
故所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-6)
2=20.