2.2.1 圆的标准方程 学案2（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.1 圆的标准方程 学案2（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 126.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 18:35:34 | ||
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文档简介
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2.2.1
圆的标准方程
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.记住圆的标准方程，根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的基本量a，b，r，从而确定圆的方程．2．会用点与圆的位置关系解决有关问题．3．通过圆的标准方程的学习，进一步培养用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想.
重点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的方程．难点：根据不同的条件，利用直接法借助几何性质和待定系数法求圆的标准方程．疑点：解决与圆有关的实际问题时怎样建立坐标系？
预习导引
1．确定圆的条件
圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径，一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来．21世纪教育网版权所有
2．圆的标准方程
(1)已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
预习交流1
方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？
提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2不一定表示圆，当m＝0时，方程表示点(a，b)．要使此方程表示圆，需保证m≠0.圆的标准方程中，r是半径，r＞0.21·cn·jy·com
预习交流2
当圆过原点、圆心在x轴或在y轴上时，圆的标准方程分别是什么？
提示：
条件
方程形式
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2(r＞0)
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
预习交流3
(1)圆(x＋5)2＋(y＋4)2＝18的圆心坐标是________，半径是________．
(2)圆心为(1，1)，半径为2的圆的标准方程是________________．
(3)圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的标准方程是( )．
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
提示：(1)(－5，－4) (2)(x－1)2＋(y－1)2＝4 (3)C
3．点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
d＞r
d＝r
d＜r
预习交流4
若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？
提示：不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”，圆上的点并不含圆心．从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内.21教育网
课堂合作探究
问题导学
1．直接法求圆的标准方程
活动与探究1
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6，3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．
思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
解：(1)由两点间距离公式，得r＝＝，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．
又|AB|＝＝2，
∴半径r＝.
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
迁移与应用
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(3，4)，半径是；
(2)圆心为(8，－3)，且经过点P(5，1)；
(3)过两点P1(4，7)，P2(2，9)，且以线段P1P2为直径；
(4)与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心，且过点P(－1，1)；
(5)圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．
解：(1)圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝5.
(2)r＝＝＝5，
∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(3)圆心为(3，8)，半径r＝|P1P2|
＝＝，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－8)2＝2.
(4)圆心为(2，－3)，半径r＝＝5，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(5)圆心为(3，0)，半径r＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
名师点津
1.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
2．求圆的标准方程时常用的几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心；
(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；
(3)圆心与切点的连线长为半径；
(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h，满足r2＝d2＋h2.
2．待定系数法求圆的标准方程
活动与探究2
(1)求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上的圆的方程；
(2)求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．
思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关系式，组成方程组，由待定系数法求解．
解：(1)∵圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，∴可设圆心的坐标为，由题意，得
＝，
解得a＝3，∴圆心的坐标为(3，2)，
∴r2＝(3－6)2＋(2－0)2＝13，
∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
(2)设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a－b＝0或a＋b＝0.
又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.
解方程组或得或
∴圆心坐标为(4，4)或(1，－1)．∴可得半径r＝|a|＝4或r＝|a|＝1.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
迁移与应用
1．求圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)的圆的标准方程．
解：设圆心坐标为M(a，0)，则|MA|＝|MB|，
即＝，
解得a＝4.
所以圆心坐标为(4，0)，半径r＝|MA|＝.
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
2．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．
解：因为圆心在直线x－2y－3＝0上，
故可设圆心为C(2b＋3，b)，半径为r，
则圆的方程为(x－2b－3)2＋(y－b)2＝r2.
又因为圆过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，
所以
式①，②左边相等，即10b＋10＝30b＋50，
所以b＝－2，所以圆心坐标为(－1，－2)，r＝.
所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
名师点津
待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：
(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)根据题意，建立a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值；
(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．
3．点和圆的位置关系
活动与探究3
(1)圆的直径端点为(2，0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A
(5，4)，B(1，0)是在圆上、圆外，还是在圆内．21cnjy.com
(2)点P(3a＋2，4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，求a的取值范围．
思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．www.21-cn-jy.com
(2)利用点在圆的内部建立不等式求a的取值范围．
解：(1)由已知得圆心坐标为C(2，－1)，半径r＝1.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
∵|AC|＝＝＞1，|BC|＝＝＞1，∴A，B两点都在圆外．
(2)∵点P(3a＋2，4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，
∴(3a＋2－2)2＋(4a)2＜1，即25a2＜1，
∴a2＜.解得－＜a＜.
∴a的取值范围是.
迁移与应用
1．点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )．
A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不确定
解析：∵(m2)2＋52＝m4＋25＞24，∴点P(m2，5)在圆外．
答案：A
2．求过点P1(3，8)，P2(5，4)且半径最小的圆的方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外．2·1·c·n·j·y
解：|P1P2|＝＝2，
P1P2的中点坐标为(4，6)．
依题意，所求圆的圆心为C(4，6)，半径为.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
∵|MC|＝＝＞，
|NC|＝＝，
|PC|＝＝＜，
∴点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．
名师点津
点与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较大小．
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
当堂检测
1．圆心为C(－1，－1)，半径为2的圆的标准方程为( )．
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．
(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案：D
2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )．
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．
(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析：半径r＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4
答案：C
3．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是( )．
A．5
B．3
C．4
D．2
解析：d＝＝5.
答案：A
4．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________．
解析：由题意知32＋()2＞16，∴a＞7.
答案：(7，＋∞)
5．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6，1)，求圆C的方程．
解：∵圆心在直线x－3y＝0上，
∴设圆心坐标为(3a，a)．
又圆C与y轴相切，
∴半径r＝|3a|，
圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.
又过点A(6，1)，
∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，
即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.
21世纪教育网
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2.2.1
圆的标准方程
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.记住圆的标准方程，根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的基本量a，b，r，从而确定圆的方程．2．会用点与圆的位置关系解决有关问题．3．通过圆的标准方程的学习，进一步培养用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想.
重点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用待定系数法求圆的方程．难点：根据不同的条件，利用直接法借助几何性质和待定系数法求圆的标准方程．疑点：解决与圆有关的实际问题时怎样建立坐标系？
预习导引
1．确定圆的条件
圆的几何特征是圆上任一点到圆心的距离等于定长，这个定长称为半径，一个圆的圆心位置和半径一旦给定，这个圆就被确定下来．21世纪教育网版权所有
2．圆的标准方程
(1)已知圆的圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
预习交流1
方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2一定表示圆吗？
提示：方程(x－a)2＋(y－b)2＝m2不一定表示圆，当m＝0时，方程表示点(a，b)．要使此方程表示圆，需保证m≠0.圆的标准方程中，r是半径，r＞0.21·cn·jy·com
预习交流2
当圆过原点、圆心在x轴或在y轴上时，圆的标准方程分别是什么？
提示：
条件
方程形式
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2≠0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2(r＞0)
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
预习交流3
(1)圆(x＋5)2＋(y＋4)2＝18的圆心坐标是________，半径是________．
(2)圆心为(1，1)，半径为2的圆的标准方程是________________．
(3)圆心为点(3，4)且过点(0，0)的圆的标准方程是( )．
A．x2＋y2＝25
B．x2＋y2＝5
C．(x－3)2＋(y－4)2＝25
D．(x＋3)2＋(y＋4)2＝25
提示：(1)(－5，－4) (2)(x－1)2＋(y－1)2＝4 (3)C
3．点与圆的位置关系
设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则点与圆的位置关系对应如下：
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d与r的大小关系
d＞r
d＝r
d＜r
预习交流4
若某点正好是圆的圆心，则该点是圆上的点吗？
提示：不是，因为从几何意义上讲圆指的是“圆圈”，圆上的点并不含圆心．从点与圆的位置关系看，圆心应该在圆内.21教育网
课堂合作探究
问题导学
1．直接法求圆的标准方程
活动与探究1
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6，3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2)．
思路分析：首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程．
解：(1)由两点间距离公式，得r＝＝，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3)．
又|AB|＝＝2，
∴半径r＝.
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝＝，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
迁移与应用
求满足下列条件的圆的标准方程．
(1)圆心为(3，4)，半径是；
(2)圆心为(8，－3)，且经过点P(5，1)；
(3)过两点P1(4，7)，P2(2，9)，且以线段P1P2为直径；
(4)与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同心，且过点P(－1，1)；
(5)圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．
解：(1)圆的标准方程是(x－3)2＋(y－4)2＝5.
(2)r＝＝＝5，
∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(3)圆心为(3，8)，半径r＝|P1P2|
＝＝，
∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－8)2＝2.
(4)圆心为(2，－3)，半径r＝＝5，
∴圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.
(5)圆心为(3，0)，半径r＝2，∴圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
名师点津
1.直接法求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标与半径，结合圆的几何性质可简化计算过程．
2．求圆的标准方程时常用的几何性质：
(1)弦的垂直平分线必过圆心；
(2)圆的两条不平行的弦的垂直平分线的交点必为圆心；
(3)圆心与切点的连线长为半径；
(4)圆心与切点的连线垂直于圆的切线；
(5)圆的半径r，半弦长d，弦心距h，满足r2＝d2＋h2.
2．待定系数法求圆的标准方程
活动与探究2
(1)求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上的圆的方程；
(2)求圆心在直线5x－3y＝8上，且圆与两坐标轴都相切的圆的方程．
思路分析：先设出圆的标准方程，由题设列出关系式，组成方程组，由待定系数法求解．
解：(1)∵圆心在直线l：2x－7y＋8＝0上，∴可设圆心的坐标为，由题意，得
＝，
解得a＝3，∴圆心的坐标为(3，2)，
∴r2＝(3－6)2＋(2－0)2＝13，
∴所求圆的标准方程为(x－3)2＋(y－2)2＝13.
(2)设所求圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
∵圆与坐标轴相切，∴圆心满足a－b＝0或a＋b＝0.
又圆心在直线5x－3y＝8上，∴5a－3b＝8.
解方程组或得或
∴圆心坐标为(4，4)或(1，－1)．∴可得半径r＝|a|＝4或r＝|a|＝1.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16或(x－1)2＋(y＋1)2＝1.
迁移与应用
1．求圆心在x轴上，且过点A(5，2)和B(3，－2)的圆的标准方程．
解：设圆心坐标为M(a，0)，则|MA|＝|MB|，
即＝，
解得a＝4.
所以圆心坐标为(4，0)，半径r＝|MA|＝.
所以圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝5.
2．求过点A(2，－3)，B(－2，－5)，且圆心在直线x－2y－3＝0上的圆的方程．
解：因为圆心在直线x－2y－3＝0上，
故可设圆心为C(2b＋3，b)，半径为r，
则圆的方程为(x－2b－3)2＋(y－b)2＝r2.
又因为圆过A(2，－3)，B(－2，－5)两点，
所以
式①，②左边相等，即10b＋10＝30b＋50，
所以b＝－2，所以圆心坐标为(－1，－2)，r＝.
所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
名师点津
待定系数法求圆的标准方程的一般步骤为：
(1)设所求的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2；
(2)根据题意，建立a，b，r的方程组；
(3)解方程组，求出a，b，r的值；
(4)将a，b，r代入所设的圆的方程中，即得所求．
3．点和圆的位置关系
活动与探究3
(1)圆的直径端点为(2，0)，(2，－2)，求此圆的方程，并判断A
(5，4)，B(1，0)是在圆上、圆外，还是在圆内．21cnjy.com
(2)点P(3a＋2，4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，求a的取值范围．
思路分析：(1)求出圆心坐标和半径可得圆的标准方程．判断点在圆上、圆外、圆内的方法是：根据已知点到圆心的距离与半径的大小关系来判断．www.21-cn-jy.com
(2)利用点在圆的内部建立不等式求a的取值范围．
解：(1)由已知得圆心坐标为C(2，－1)，半径r＝1.
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
∵|AC|＝＝＞1，|BC|＝＝＞1，∴A，B两点都在圆外．
(2)∵点P(3a＋2，4a)在圆(x－2)2＋y2＝1的内部，
∴(3a＋2－2)2＋(4a)2＜1，即25a2＜1，
∴a2＜.解得－＜a＜.
∴a的取值范围是.
迁移与应用
1．点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )．
A．在圆外
B．在圆内
C．在圆上
D．不确定
解析：∵(m2)2＋52＝m4＋25＞24，∴点P(m2，5)在圆外．
答案：A
2．求过点P1(3，8)，P2(5，4)且半径最小的圆的方程，并判断点M(5，3)，N(3，4)，P(3，5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外．2·1·c·n·j·y
解：|P1P2|＝＝2，
P1P2的中点坐标为(4，6)．
依题意，所求圆的圆心为C(4，6)，半径为.
∴所求圆的方程为(x－4)2＋(y－6)2＝5.
∵|MC|＝＝＞，
|NC|＝＝，
|PC|＝＝＜，
∴点M在圆外，点N在圆上，点P在圆内．
名师点津
点与圆的位置关系的判断方法：
(1)几何法：利用圆心到该点的距离d与圆的半径r比较大小．
(2)代数法：直接利用下面的不等式判定：
①(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，点在圆外；
②(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，点在圆上；
③(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，点在圆内．
当堂检测
1．圆心为C(－1，－1)，半径为2的圆的标准方程为( )．
A．(x－1)2＋(y－1)2＝2
B．(x－1)2＋(y－1)2＝4
C．
(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
答案：D
2．以点P(2，－3)为圆心，并且与y轴相切的圆的方程是( )．
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝4
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝9
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝4
D．
(x－2)2＋(y＋3)2＝9
解析：半径r＝2，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝4
答案：C
3．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离是( )．
A．5
B．3
C．4
D．2
解析：d＝＝5.
答案：A
4．若点(3，)在圆x2＋y2＝16的外部，则a的取值范围是________．
解析：由题意知32＋()2＞16，∴a＞7.
答案：(7，＋∞)
5．已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且经过点A(6，1)，求圆C的方程．
解：∵圆心在直线x－3y＝0上，
∴设圆心坐标为(3a，a)．
又圆C与y轴相切，
∴半径r＝|3a|，
圆的标准方程为(x－3a)2＋(y－a)2＝|3a|2.
又过点A(6，1)，
∴(6－3a)2＋(1－a)2＝9a2，
即a2－38a＋37＝0，a＝1或a＝37.
∴圆C的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x－111)2＋(y－37)2＝1112.
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