2.2.2 圆的一般方程 学案1（含答案）

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2.2.2
圆的一般方程
学案
问题导学
1．对圆的一般方程的理解
活动与探究1
下列方程是否表示圆？若表示圆，求出圆心和半径．
(1)x2＋2y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)－2x2－2y2＋10y＝0；
(5)x2＋y2＋6x－6y＋18＝0.
迁移与应用
1．下列方程中表示圆的是(　　)．
A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0
B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0
C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0
2．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
名师点津
解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等，(2)是否含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察是否表示圆．2·1·c·n·j·y
2．利用待定系数法求圆的一般方程
活动与探究2
求经过点A(6，5)，B(0，1)，且圆心在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的方程．
迁移与应用
1．已知A(2，－2)，B(5，3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程为__________．
2．经过点(－1，3)，圆心在直线x－2y＝0上，且半径等于的圆的方程是________________________________________________________________________．
名师点津
(1)求圆的方程通常用待定系数法，如果圆的几何特征较为明显，可设圆的标准方程；如果圆的几何特征不明显，可设圆的一般方程，从而依题意列出方程组求解．不论设圆的标准方程还是一般方程，都有三个待定系数，因此只要列出三个方程，利用方程组求出三个待定系数，即可确定圆的方程．21·世纪
教育网
(2)用待定系数法求圆的一般方程分三步：
①设出一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0；②根据题意，列出关于D，E，F的方程组；③解出D，E，F的值代入即得圆的一般方程．2-1-c-n-j-y
3．求动点的轨迹方程(或轨迹)
活动与探究3
已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
迁移与应用
已知M(0，4)，N(－6，0)，若动点P满足PM⊥PN，则动点P的轨迹方程是__________．
名师点津
1．求与圆有关的轨迹问题常用的方法．
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式；21cnjy.com
(2)定义法：当动点满足的条件符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
2．轨迹与轨迹方程的异同.
求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时先由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程．“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围．21世纪教育网版权所有
3．求轨迹(或轨迹方程)时，要注意轨迹是曲线的全部还是曲线的一部分，若曲线上某些点不符合要求，要对方程中的变量x，y加以限制．【来源：21·世纪·教育·网】
当堂检测
1．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)．
A．(2，3)
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
2．圆心是C(2，－3)，且经过原点的圆的方程为(　　)．
A．x2＋y2＋4x－6y＋1＝0
B．x2＋y2－4x＋6y＋1＝0
C．x2＋y2＋4x－6y＝0
D．x2＋y2－4x＋6y＝0
3．已知点A(2，0)，动点Q在圆x2＋y2＝4上，则线段AQ的中点P的轨迹方程是(　　)．
A．(x－1)2＋y2＝4
B．(x＋1)2＋y2＝4
C．(x－1)2＋y2＝1
D．(x＋1)2＋y2＝1
4．如果方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0表示圆，则实数k的取值范围是________．
5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程，并求圆心和半径．21教育网
盘点收获
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习导引
1．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
2．　　
预习交流1　提示：①x2项和y2项的系数相等，且不为零；②是二元二次方程且没有xy这样的二次项；③参数D，E，F满足D2＋E2－4F＞0.21·cn·jy·com
预习交流2　提示：圆的标准方程：指出了圆心坐标和半径大小，几何特征明显；
圆的一般方程：说明圆的方程是一类特殊的二元二次方程，代数特征明显．
预习交流3　
提示：
课堂合作探究
问题导学
活动与探究1　思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般方程的特征．
解：(1)由于x2，y2的系数不相等，故不表示圆．
(2)由于该方程中含有xy这样的二次项，故不表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＋5＝0，显然不表示圆．
(4)方程－2x2－2y2＋10y＝0可化为x2＋2＝，所以其可以表示以为圆心，以为半径的圆．www.21-cn-jy.com
(5)方程可化为(x＋3)2＋(y－3)2＝0，因此该方程不表示圆，而表示一个点(－3，3)．
迁移与应用　1．C　解析：选项C中的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圆，其余选项中的方程均不表示圆．21
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2．解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，【来源：21cnj
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m】
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0化为标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.【出处：21教育名师】
活动与探究2　思路分析：设圆的一般方程，根据已知条件建立关于参数D，E，F的方程组，解方程组求出D，E，F的值，即可得到圆的方程．【版权所有：21教育】
解：设圆的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心坐标为eq
\b\lc\(\rc\)()，依题意有即解得
因此圆的方程是x2＋y2－14x＋6y－7＝0.
迁移与应用　1．x2＋y2＋8x－10y－44＝0　解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，依题意有解得
于是圆的方程为x2＋y2＋8x－10y－44＝0.
2．x2＋y2－4x－2y－8＝0或x2＋y2－x－y－＝0
解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则其圆心为eq
\b\lc\(\rc\)(eq
\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－))，半径等于，依题意得解得或
于是圆的方程是x2＋y2－4x－2y－8＝0或x2＋y2－x－y－＝0.
活动与探究3　思路分析：(1)已知动点M到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．
(2)N点随M点运动而运动，设出点N的坐标，将M点坐标用A，N两点坐标表示，再将M点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N的轨迹方程，从而得点N的轨迹．
解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝.
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为＝，平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．21教育名师原创作品
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．由于A(2，0)，且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝，
所以有x1＝2x－2，y1＝2y，①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，所以点M坐标(x1，y1)满足：x＋y＝16，②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.所以N的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆．
迁移与应用　(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0且x≠－6)　解析：由于PM⊥PN，所以动点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(不包括端点M，N)，其圆心为线段MN的中点(－3，2)，直径|MN|＝＝2，于是半径等于，故轨迹方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0且x≠－6)．
当堂检测
1．D　2．D　3．C　4．
5．解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由题设得方程组解得D＝－4，E＝－2，F＝－20.∴△ABC的外接圆一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.圆心坐标为(2，1)，半径r＝＝5.www-2-1-cnjy-com
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