2.2.2 圆的一般方程 学案2（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.2 圆的一般方程 学案2（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 18:40:03 | ||
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文档简介
2.2.2
圆的一般方程
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.在掌握圆的标准方程的基础上，记住圆的一般方程的代数特征，会由圆的一般方程确定圆的圆心和半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件．2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程．3．培养探索发现及分析解决实际问题的能力.
重点：圆的一般方程的代数特征．一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D，E，F.难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用．疑点：对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论(什么时候可以表示圆).
预习导引
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示点
D2＋E2－4F＞0
表示以为圆心，以为半径的圆
预习交流1
二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的等价条件是什么？
提示：
预习交流2
方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0表示什么图形？
提示：表示点(－1，－1)．
预习交流3
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0具有什么特征？
提示：①x2项和y2项的系数相等，且不为零；
②是二元二次方程且没有xy这样的二次项；
③参数D，E，F满足D2＋E2－4F＞0.
预习交流4
方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，3)，半径为3的圆，则a，b，c的值依次为( )．
A．2，6，4
B．－2，6，4
C．2，－6，4
D．2，－6，－4
提示：B
课堂合作探究
问题导学
1．二元二次方程同圆的关系
活动与探究1
下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)x2＋2y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)－2x2－2y2＋10y＝0.
思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般式的特征．
解：(1)由于x2，y2的系数不相等，故不表示圆．
(2)由于该方程中含有xy这样的二次项，故不表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＋5＝0，显然不表示圆．
(4)方程－2x2－2y2＋10y＝0可化为x2＋2＝，所以其可以表示以为圆心，以为半径的圆．
迁移与应用
1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
解：方法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点，
当m≠2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|.
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点，
当m≠2时，表示圆的方程．
此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
2．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m2)＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
名师点津
解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等，
(2)是否含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察是否表示圆．
2．利用待定系数法求圆的一般方程
活动与探究2
已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在x轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
思路分析：解答本题的关键是应用条件“在x轴上截得的线段长为4”，常见思路是设圆的方程的一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0利用|x1－x2|＝4及P，Q两点满足圆的方程求解参数D，E，F.
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将点P，Q的坐标分别代入①得：
令y＝0，由①得x2＋Dx＋F＝0，④
由已知|x1－x2|＝4，其中x1，x2是方程④的两根，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝D2－4F＝48，⑤
解②，③，⑤组成的方程组得
D＝－4，E＝－2，F＝－8.
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－8＝0.
迁移与应用
1．建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形ABCD的外接圆P的方程．
解：以A为原点，以线段AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
设△ABD的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Mx＋Ey＋F＝0.将A(0，0)，B(8，0)，D(0，6)三点代入，得
解得故所求圆的方程为x2＋y2－8x－6y＝0.
2．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则圆心C在直线2x－y－7＝0上，
∴2×－－7＝0，即D－＋7＝0.①
又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，
∴
由①②③解得D＝－4，E＝6，F＝8，
∴圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
名师点津
用待定系数法求圆的一般方程分三步：
(1)设出一般方程；(2)根据题意，列出关于D，E，F的方程组；(3)解出D，E，F代入一般方程．
3．求动点的轨迹方程(或轨迹)
活动与探究3
已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
思路分析：(1)已知动点M到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．
(2)N点随M点运动而运动，设出点N的坐标，将M点坐标用A，N两点坐标表示，再将M点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N的轨迹方程，从而得点N的轨迹．
解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝.
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为
＝，平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．由于A(2，0)，且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝，所以有x1＝2x－2，y1＝2y，①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，
所以点M坐标(x1，y1)满足：x＋y＝16，②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.
所以N的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆．
迁移与应用
1．已知定点A(2，0)，圆x2＋y2＝1上有一动点Q，若AQ的中点为P，求动点P的轨迹．
解：如图，设动点P的坐标为(x，y)，Q点的坐标为(x1，y1)，利用中点坐标公式有
即因为x＋y＝1，所以(2x－2)2＋(2y)2＝1.
所以动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝.
所以点P的轨迹为以(1，0)为圆心，以为半径的圆．
2．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解：设另一端点C的坐标为(x，y)．
依题意得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得＝.
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图．又因为点A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，且点B，C不能重合．当A，B，C共线时C为(5，－1)，∴C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10〔除去(3，5)和(5，－1)两点〕．
即点C的轨迹是以A(4，2)为圆心、为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．
名师点津
1.求与圆有关的轨迹问题常用的方法．
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式；
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
2．轨迹与轨迹方程的异同.
求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的
当堂检测
1．(2011四川高考，文3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．
A．(2，3)
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：将圆化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，故其圆心坐标为(2，－3)．
答案：D
2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长为( )．
A.
B．2π
C．
D．4π
解析：方程化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴r＝，∴周长为2πr＝.
答案：C
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有( )．
A．D＝E
B．D＝F
C．E＝F
D．D＝E＝F
解析：圆心为，要使所表示的曲线关于y＝x对称，需，∴D＝E.
答案：A
4．如果方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
解析：∵x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，
∴(－2)2＋12－4k＞0，
解得k＜，∴实数k的取值范围是.
答案：
5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程，并求圆心和半径．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由题设得方程组
解得D＝－4，E＝－2，F＝－20.
∴△ABC的外接圆一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
圆心坐标为(2，1)，半径r＝＝5.
圆的一般方程
学案
课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1.在掌握圆的标准方程的基础上，记住圆的一般方程的代数特征，会由圆的一般方程确定圆的圆心和半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件．2．能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程．3．培养探索发现及分析解决实际问题的能力.
重点：圆的一般方程的代数特征．一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数D，E，F.难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用．疑点：对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的讨论(什么时候可以表示圆).
预习导引
1．圆的一般方程的定义
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆，这时这个方程叫作圆的一般方程．
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
方程
条件
图形
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
D2＋E2－4F＜0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示点
D2＋E2－4F＞0
表示以为圆心，以为半径的圆
预习交流1
二元二次方程Ax2＋By2＋Cxy＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的等价条件是什么？
提示：
预习交流2
方程x2＋y2＋2x＋2y＋2＝0表示什么图形？
提示：表示点(－1，－1)．
预习交流3
圆的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0具有什么特征？
提示：①x2项和y2项的系数相等，且不为零；
②是二元二次方程且没有xy这样的二次项；
③参数D，E，F满足D2＋E2－4F＞0.
预习交流4
方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圆心为C(2，3)，半径为3的圆，则a，b，c的值依次为( )．
A．2，6，4
B．－2，6，4
C．2，－6，4
D．2，－6，－4
提示：B
课堂合作探究
问题导学
1．二元二次方程同圆的关系
活动与探究1
下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径．
(1)x2＋2y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋3x＋5y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)－2x2－2y2＋10y＝0.
思路分析：解答本题的关键是验证二元二次方程是否满足圆的一般式的特征．
解：(1)由于x2，y2的系数不相等，故不表示圆．
(2)由于该方程中含有xy这样的二次项，故不表示圆．
(3)方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0可化为(x－1)2＋(y－2)2＋5＝0，显然不表示圆．
(4)方程－2x2－2y2＋10y＝0可化为x2＋2＝，所以其可以表示以为圆心，以为半径的圆．
迁移与应用
1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
解：方法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，
可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点，
当m≠2时，原方程表示圆的方程，
此时，圆的圆心为(2m，－m)，
半径为r＝＝|m－2|.
方法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点，
当m≠2时，表示圆的方程．
此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝|m－2|.
2．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m2)＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m，1)，半径r＝.
名师点津
解决这种类型的题目，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等，
(2)是否含xy的项；当它具有圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察是否表示圆．
2．利用待定系数法求圆的一般方程
活动与探究2
已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在x轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
思路分析：解答本题的关键是应用条件“在x轴上截得的线段长为4”，常见思路是设圆的方程的一般式x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0利用|x1－x2|＝4及P，Q两点满足圆的方程求解参数D，E，F.
解：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，①
将点P，Q的坐标分别代入①得：
令y＝0，由①得x2＋Dx＋F＝0，④
由已知|x1－x2|＝4，其中x1，x2是方程④的两根，所以(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝D2－4F＝48，⑤
解②，③，⑤组成的方程组得
D＝－4，E＝－2，F＝－8.
故所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－8＝0.
迁移与应用
1．建立适当的直角坐标系，求长为8，宽为6的长方形ABCD的外接圆P的方程．
解：以A为原点，以线段AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系．
设△ABD的外接圆的一般方程为x2＋y2＋Mx＋Ey＋F＝0.将A(0，0)，B(8，0)，D(0，6)三点代入，得
解得故所求圆的方程为x2＋y2－8x－6y＝0.
2．圆心在直线2x－y－7＝0上的圆C与y轴交于A(0，－4)，B(0，－2)两点，求圆C的方程．
解：设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，则圆心C在直线2x－y－7＝0上，
∴2×－－7＝0，即D－＋7＝0.①
又∵A(0，－4)，B(0，－2)在圆上，
∴
由①②③解得D＝－4，E＝6，F＝8，
∴圆的方程为x2＋y2－4x＋6y＋8＝0.
名师点津
用待定系数法求圆的一般方程分三步：
(1)设出一般方程；(2)根据题意，列出关于D，E，F的方程组；(3)解出D，E，F代入一般方程．
3．求动点的轨迹方程(或轨迹)
活动与探究3
已知动点M到点A(2，0)的距离是它到点B(8，0)的距离的一半．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若N为线段AM的中点，试求点N的轨迹．
思路分析：(1)已知动点M到两定点的距离满足特定关系，求动点的轨迹方程，可以设出点M的坐标，然后根据条件列出方程，化简可得轨迹方程．
(2)N点随M点运动而运动，设出点N的坐标，将M点坐标用A，N两点坐标表示，再将M点坐标代入(1)中的轨迹方程，即得N的轨迹方程，从而得点N的轨迹．
解：(1)设动点M(x，y)为轨迹上任意一点，则点M的轨迹就是集合P＝.
由两点距离公式，点M适合的条件可表示为
＝，平方后再整理，得x2＋y2＝16.可以验证，这就是动点M的轨迹方程．
(2)设动点N的坐标为(x，y)，M的坐标是(x1，y1)．由于A(2，0)，且N为线段AM的中点，
所以x＝，y＝，所以有x1＝2x－2，y1＝2y，①
由(1)知，M是圆x2＋y2＝16上的点，
所以点M坐标(x1，y1)满足：x＋y＝16，②
将①代入②整理，得(x－1)2＋y2＝4.
所以N的轨迹是以(1，0)为圆心，2为半径的圆．
迁移与应用
1．已知定点A(2，0)，圆x2＋y2＝1上有一动点Q，若AQ的中点为P，求动点P的轨迹．
解：如图，设动点P的坐标为(x，y)，Q点的坐标为(x1，y1)，利用中点坐标公式有
即因为x＋y＝1，所以(2x－2)2＋(2y)2＝1.
所以动点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝.
所以点P的轨迹为以(1，0)为圆心，以为半径的圆．
2．等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边的一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解：设另一端点C的坐标为(x，y)．
依题意得|AC|＝|AB|.由两点间距离公式，得＝.
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10.这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆，如图．又因为点A，B，C为三角形的三个顶点，所以A，B，C三点不共线，且点B，C不能重合．当A，B，C共线时C为(5，－1)，∴C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10〔除去(3，5)和(5，－1)两点〕．
即点C的轨迹是以A(4，2)为圆心、为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．
名师点津
1.求与圆有关的轨迹问题常用的方法．
(1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式；
(2)定义法：当列出的关系式符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程；
(3)相关点法：若动点P(x，y)随着圆上的另一动点Q(x1，y1)运动而运动，且x1，y1可用x，y表示，则可将Q点的坐标代入已知圆的方程，即得动点P的轨迹方程．
2．轨迹与轨迹方程的异同.
求动点的轨迹与轨迹方程不是一回事，求动点的
当堂检测
1．(2011四川高考，文3)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( )．
A．(2，3)
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：将圆化为标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，故其圆心坐标为(2，－3)．
答案：D
2．圆x2＋y2－2x＋6y＋8＝0的周长为( )．
A.
B．2π
C．
D．4π
解析：方程化为(x－1)2＋(y＋3)2＝2，
∴r＝，∴周长为2πr＝.
答案：C
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于y＝x对称，则必有( )．
A．D＝E
B．D＝F
C．E＝F
D．D＝E＝F
解析：圆心为，要使所表示的曲线关于y＝x对称，需，∴D＝E.
答案：A
4．如果方程x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的取值范围是________．
解析：∵x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，
∴(－2)2＋12－4k＞0，
解得k＜，∴实数k的取值范围是.
答案：
5．△ABC的三个顶点坐标分别为A(－1，5)，B(－2，－2)，C(5，5)，求其外接圆的一般方程，并求圆心和半径．
解：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由题设得方程组
解得D＝－4，E＝－2，F＝－20.
∴△ABC的外接圆一般方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0.
圆心坐标为(2，1)，半径r＝＝5.