2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习2（含答案）

2.2.3
直线与圆、圆与圆的位置关系
同步练习
1．两圆(x＋3)2＋(y－2)2＝4和(x－3)2＋(y＋6)2＝64的位置关系是(　　)．
A．外切　　　B．内切　　　C．相交　　　D．相离
解析　圆心距d＝r＋R，选A.
答案　A
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A、B两点，则AB的垂直平分线的方程是(　　)．
A．x＋y＋3＝0
B．2x－y－5＝0
C．3x－y－9＝0
D．4x－3y＋7＝0
解析　两圆圆心所在直线即为所求，将两圆圆心代入验证可得C.
答案　C
3．若圆x2＋y2＝4和圆x2＋y2＋4x－4y＋4＝0关于直线l对称，则直线l的方程为(　　)．
A．x＋y＝0
B．x＋y＝2
C．x－y＝2
D．y＝x＋2
解析　圆与圆的对称问题实质上是圆心与圆心的对称问题，因为kC1C2＝－1，C2C1的中点为(－1，1)，所以C2C1的垂直平分线方程为y＝x＋2.
答案　D
4．圆x2＋y2－x＋y＝0和圆x2＋y2＝5的公共弦长为________．
解析　由
②－①得，两圆的公共弦所在直线方程为x－y－3＝0，
∴圆x2＋y2＝5的圆心到该直线的距离为：
d＝＝，
设公共弦长为l，∴l＝2
＝
.
答案　
5．已知圆x2＋y2－6x＋12y－19＝0和圆x2＋y2＋6x－4y－k＝0相切，则k＝________.
解析　已知两圆的圆心和半径分别为C1(3，－6)，r1＝8，C2(－3，2)，r2＝，则|C1C2|＝10.若外切，则r1＋r2＝10，即8＋＝10，解得k＝－9；若内切，则r2－r1＝|C1C2|，解得k＝311.
答案　－9或311
6．已知圆C1：x2＋y2＝10与圆C2：x2＋y2＋2x＋2y－14＝0.
(1)求证：圆C1与圆C2相交；
(2)求两圆公共弦所在直线的方程．
(1)证明　因为圆C1的半径为，圆心为(0，0)，
圆C2的半径为4，圆心为(－1，－1)，
所以|C1C2|＝＝，
所以4－＜|C1C2|＜＋4，
所以两圆相交．
(2)解　设两圆交于点A(x1，y1)，
B(x2，y2)．
A的坐标满足两圆的方程，
即
两式相减，得2x1＋2y1－4＝0，即x1＋y1－2＝0.
同理x2＋y2－2＝0.
故A(x1，y1)，B(x2，y2)均满足x＋y－2＝0，
所以过A、B的直线方程为x＋y－2＝0.
7．半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为
(　　)．
A．(x－4)2＋(y－6)2＝6
B．(x±4)2＋(y－6)2＝6
C．(x－4)2＋(y－6)2＝36
D．(x±4)2＋(y－6)2＝36
解析　∵半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为(a，b)，则b＝6，再由＝5可以解得a＝±4，故所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
答案　D
8．已知两圆的半径分别为方程x2－7x＋12＝0的两个根，如果O1O2＝8，则两圆的位置关系是(　　)．
A．外离
B．外切
C．相交
D．内切
解析　由方程x2－7x＋12＝0，得两个根分别为3或4，故两圆半径之和为7，而两圆心之间的距离为8，根据两圆的位置关系，知这两圆外离．
答案　A
9．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，则a＝________.
解析　本小题主要考查两圆的位置关系，求解时注意公共弦平行于x轴．两圆方程相减得公共弦方程y＝，代入x2＋y2＝4，得两圆交点横坐标x＝±
，
∴
＝，
∴a＝1(a＞0)．
答案　1
10．已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r＞0.若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．
解析　集合A、B分别表示两个圆上的点的集合，若A∩B中有且只有一个元素，则两圆相切．相外切时，r＝3；相内切时，r＝7.
答案　3或7
11．已知两圆C1：x2＋y2＝1，C2：(x－2)2＋(y－2)2＝5，求经过点P(0，1)且被两圆截得弦长相等的直线方程．
解　显然P(0，1)、A(1，0)、Q(0，－1)都在圆C1：x2＋y2＝1①上，
易知P(0，1)，A(1，0)，B(0，3)都在圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝5②上，
直线x＝0截圆C1，有|PQ|＝2；截圆C2：|PB|＝2，
∴x＝0为所求直线方程．
①－②得：x＋y－1＝0，此即为两圆的公共弦所在的直线方程，它显然满足条件，由平面几何知识知除x＝0，x＋y－1＝0外不存在其他满足条件的直线．
故所求直线方程为x＝0或x＋y－1＝0.
12．(创新拓展)在Rt△ABO中，∠BOA＝90°，|OA|＝8，|OB|＝6，点P为它的内切圆C上任一点，求点P到顶点A、B、O的距离的平方和的最大值和最小值．
解　如图所示，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系xOy，则A(8，0)，B(0，6)，内切圆C的半径
r＝＝2.
∴圆心坐标为(2，2)．
∴内切圆C的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.
设P(x，y)为圆C上任一点，点P到顶点A、B、O的距离的平方和为d，则d＝|PA|2＋|PB|2＋|PO|2
＝(x－8)2＋y2＋x2＋(y－6)2＋x2＋y2
＝3x2＋3y2－16x－12y＋100
＝3[(x－2)2＋(y－2)2]－4x＋76.
∵点P(x，y)在圆上，∴(x－2)2＋(y－2)2＝4.
∴d＝3×4－4x＋76＝88－4x.
∵点P(x，y)是圆C上的任意点，∴x∈[0，4]．
∴当x＝0时，dmax＝88；当x＝4时，dmin＝72.