2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 同步练习3（含答案）

2.2.3
直线与圆、圆与圆的位置关系
同步练习
1．直线l：3x＋4y＋6＝0与圆x2＋y2＝4的交点个数是(　　)．
A．0
B．1
C．2
D．不确定
解析　圆心(0，0)到直线l的距离d＝＝＜r＝2，则直线l与圆相交，有2个交点．
答案　C
2．圆x2＋y2－4x＋4y＋6＝0截直线x－y－5＝0所得弦长等于(　　)．
A.
B.
C．1
D．5
解析　分别求出半径r及弦心距d(圆心到直线距离)再由弦长为2，求得．
答案　A
3．已知圆x2－4x＋y2－4＝0的圆心是点P，则点P到直线x－y－1＝0的距离是
(　　)．
A.
B.
C.
D.
解析　将x2－4x＋y2－4＝0配方得(x－2)2＋y2＝8，圆心为P(2，0)，则点P到直线x－y－1＝0的距离d＝＝.
答案　B
4．过原点O作圆x2＋y2－6x－8y＋20＝0的切线，则切线长为________．
解析　圆方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝5，则圆心坐标为C(3，4)，半径长.由勾股定理得：切线长为2.
答案　2
5．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a＞0)及直线l：x－y＋3＝0.当直线l被C截得的弦长为2时，则a＝________.
解析　由圆的方程，知圆的半径等于2，故圆心到直线的距离等于1，由点到直线的距离公式，知＝1，解得a＝－1.
答案　－1
6．证明：直线a(x＋1)＋b(y＋1)＝0与圆x2＋y2＝2一定有公共点．
证明　法一　圆心(0，0)到直线ax＋by＋a＋b＝0的距离d＝，a2＋b2≥，∴≤，
即直线与圆必有公共点，当且仅当a＝b时，直线和圆相切．
法二　由得
y2＋2＝2，
即(a2＋b2)y2＋2b(a＋b)y＋b2－a2＋2ab＝0，
Δ＝[2b(a＋b)]2－4(a2＋b2)·(b2－a2＋2ab)＝4a2(a－b)2≥0，
∴直线与圆必有公共点．
法三　直线a(x＋1)＋b(y＋1)＝0过定点(－1，－1)，而(－1，－1)在圆x2＋y2＝2上．
∴直线a(x＋1)＋b(y＋1)＝0一定与圆x2＋y2＝2有公共点．
7．直线
x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于(　　)．
A.或－
B．－或3
C．－3或
D．－3或3
解析　圆x2＋y2－2x－2＝0的圆心为C(1，0)，半径为，因为直线x－y＋m＝0为圆的切线，
因此圆心(1，0)到直线的距离为圆的半径.
从而d＝＝，
解得m＝±2－，
∴m＝或m＝－3.
答案　C
8．已知点M(a，b)(ab≠0)是圆C：x2＋y2＝r2内一点，直线l是以M为中点的弦所在直线，直线m的方程是ax＋by＝r2，那么(　　)．
A．l∥m，且m与圆C相切
B．l⊥m，且m与圆C相切
C．l∥m，且m与圆C相离
D．l⊥m，且m与圆C相离
解析　∵kCM＝，∴kl＝－，
∴l的方程为ax＋by－a2－b2＝0.
又∵m的方程为ax＋by＝r2，且a2＋b2＜r2，
∴l∥m，又圆心(0，0)到m的距离d＝＞r，故m与圆C相离．
答案　C
9．P(3，0)为圆C：x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，过P点的最短弦所在的直线方程是________．
解析　过P点最短的弦，应为与PC垂直的弦，先求斜率为－1，则可得直线方程为x＋y－3＝0.
答案　x＋y－3＝0
10．若过点A(4，0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l的斜率的取值范围为________．
解析　数形结合的方法．如图所示，∠CAB＝∠BAD＝30°，
∴直线l的倾斜角θ的取值范围为[0°，30°]∪[150°，180°)．
∴直线l的斜率的取值范围为.
答案　
11．已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0.
(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同的交点A、B；
(2)求弦AB的中点M的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线．
解　(1)圆心C(0，1)，半径为r＝，
则圆心C到直线l的距离d＝＝＜1，
∴d＜r.
∴对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点．
(2)设中点M(x，y)，
因直线l：m(x－1)－(y－1)＝0恒过定点P(1，1)，
∴kAB＝.
又kMC＝，kMC·kAB＝－1，
∴·＝－1.
整理得：x2＋y2－x－2y＋1＝0，
即2＋(y－1)2＝，表示圆心坐标是，半径是的圆．
12．(创新拓展)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆截得的弦长为AB，满足以AB为直径的圆经过原点．若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由．
解　依题意，设直线l的方程为：y＝x＋b.①
圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.②
联立①②消去y得：2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有
③
因为以AB为直径的圆经过原点，所以OA⊥OB，
即x1x2＋y1y2＝0，
而y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)＝x1x2＋b(x1＋x2)＋b2，
所以2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，
把③代入得：b2＋4b－4－b(b＋1)＋b2＝0，
即b2＋3b－4＝0，
解得b＝1，或b＝－4，故存在，直线方程是x－y＋1＝0或
x－y－4＝0.