2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 学案3（含答案）

2.2.3
直线与圆、圆与圆的位置关系
学案
　直线与圆的位置关系
问题导学
1．直线与圆的位置关系的判断
活动与探究1
已知直线l的方程为y＝kx＋2，圆C的方程为(x－1)2＋y2＝1.当k为何值时，直线l与圆C：(1)相切；(2)相交；(3)相离．
迁移与应用
1．判断下列圆与直线的位置关系．
(1)圆x2＋y2－8x＋2y－8＝0，直线4x－3y＋6＝0；
(2)圆x2＋y2－4x＋3＝0，直线2x－y＋5＝0.
2．若直线x＋y－m＝0与圆x2＋y2＝m相切，则实数m＝__________.
名师点津
在有关直线与圆的位置关系问题中，一般不用判别式方法，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解，同时注意充分利用圆的几何性质以简化运算过程．
2．直线与圆的相切问题
活动与探究2
(1)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，求过点P
(2，3)的圆的切线方程；
(2)过点A(4，－3)作圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线的方程．
迁移与应用
1．已知圆O：x2＋y2＝5和点A(1，2)，则过A且与圆O相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于__________．
2．过点A(－1，4)作圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的切线l，求切线l的方程．
名师点津
1．求圆的切线方程一般有三种方法：
(1)利用常见结论：过圆x2＋y2＝r2上一点(x0，y0)的切线方程为x0x＋y0y＝r2，代入切点坐标求切线方程；
(2)待定系数法：设出切点坐标或切线斜率，由题意列出方程(组)，解得切点坐标或切线斜率，写出点斜式，最后将点斜式化为一般式；
(3)直接法：由切线斜率与圆心和切点的连线斜率乘积为－1，求出切线斜率，再写出直线的点斜式方程即可．
2．在利用点斜式设直线方程时，斜率不存在(即直线与y轴平行或重合)的情况，要另外单独验证．若此时直线方程满足题意，则列入答案，若不符合题意，也要作出说明．
3．直线与圆相交时的弦长问题
活动与探究3
过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程．
迁移与应用
直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|＝__________.
名师点津
有关直线与圆相交时的弦长问题常用几何法来处理．如图，若半径为r，弦心距为d，则弦长|AB|＝2.
当堂检测
1．直线3x－4y＋8＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　)．
A．相切
B．相离
C．相交
D．相交且直线过圆心
2．直角坐标平面内，过点P(2，1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线(　　)．
A．有两条
B．有且仅有一条
C．不存在
D．不能确定
3．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为(　　)．
A．－1或
B．1或3
C．－2或6
D．0或4
4．以点(2，－1)为圆心且与直线x＋y＝6相切的圆的方程是__________．
5．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．
盘点收获
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习导引
2　1　0　＜　＝　＞　＞　＝　＜
预习交流1　提示：已知直线及圆的方程，判断两者的位置关系时，几何法较简单，一般情况下，在判断直线与圆的位置关系时，优先考虑使用几何法．
预习交流2　提示：(1)涉及圆的切线方程，其解题思路是圆心到直线的距离等于半径，需注意考虑直线斜率不存在的特殊情形(一般用数形结合的思想求解或验证)．
(2)对于圆的弦长问题求解常常利用半弦长、半径及弦心距组成的直角三角形求解．
预习交流3　提示：当点在圆外时，可作圆的两条切线，当点在圆上时，可作一条切线，当点在圆内时，不能作圆的切线．
课堂合作探究
问题导学
活动与探究1　思路分析：一是利用代数法，通过判别式建立关于k的等式或不等式求解；二是利用几何法，通过圆心到直线的距离d与半径的大小关系建立不等式或等式求解．
解：(方法1)联立得方程组消去y得(x－1)2＋(kx＋2)2－1＝0，
即(k2＋1)x2＋(4k－2)x＋4＝0.
判别式Δ＝(4k－2)2－4×4×(k2＋1)＝－16k－12.当Δ＝0，即－16k－12＝0，k＝－时，直线与圆相切；当Δ＞0，即－16k－12＞0，k＜－时，直线与圆相交；当Δ＜0，即－16k－12＜0，k＞－时，直线与圆相离．
(方法2)圆心C(1，0)，半径r＝1.
圆心C到直线l：y＝kx＋2的距离d＝.
当＝1，即|k＋2|＝，解得k＝－时，直线与圆相切；
当＜1，即|k＋2|＜，解得k＜－时，直线与圆相交；
当＞1，即|k＋2|＞，解得k＞－时，直线与圆相离．
迁移与应用　1．解：(1)圆x2＋y2－8x＋2y－8＝0可化为(x－4)2＋(y＋1)2＝25，
∴圆心(4，－1)，半径r＝5.
圆心(4，－1)到直线4x－3y＋6＝0的距离d＝＝5＝r，
∴圆与直线相切．
(2)圆x2＋y2－4x＋3＝0可化为(x－2)2＋y2＝1，圆心(2，0)，半径r＝1，圆心到直线2x－y＋5＝0的距离d＝＝＝＞1＝r，
∴圆与直线相离．
2．2　解析：由于直线与圆相切，所以圆心(0，0)到直线x＋y－m＝0的距离等于半径，即＝，解得m＝2(m＝0舍去)．
活动与探究2　思路分析：(1)先判断点与圆的位置关系，再利用切线的斜率与圆心和切点连线的斜率乘积为－1求出切线斜率．(2)设出切线方程，利用点到直线的距离等于圆的半径，列出切线斜率所满足的方程，求出斜率，但要注意分斜率存在、不存在两种情况讨论．
解：(1)因为(2－1)2＋(3－2)2＝2，所以点P(2，3)在圆上．
由圆的方程可得圆心C(1，2)，半径r＝.
由斜率公式得kCP＝＝1，故所求切线的斜率为－1.由直线的点斜式方程得所求的切线方程为y－3＝－(x－2)，即x＋y－5＝0.
(2)因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17＞1，所以点A在圆外．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，则切线方程为y＋3＝k(x－4)．因为圆心C(3，1)到切线的距离等于半径1，所以＝1，解得k＝－.所以切线方程为y＋3＝－(x－4)，
即15x＋8y－36＝0.
②若切线斜率不存在，圆心C(3，1)到直线x＝4的距离也为1，这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
迁移与应用　1．　解析：点A在圆O上，过点A且与圆O相切的直线的斜率为－，故切线方程为y－2＝－(x－1)．令x＝0得y＝；令y＝0得x＝5.故三角形的面积为×5×＝.
2．解：当直线l的斜率不存在时，l的方程是x＝－1，不满足条件．当直线l的斜率存在时，设其方程为y－4＝k(x＋1)，即kx－y＋(k＋4)＝0.由已知得圆的圆心为(2，3)，半径r＝1，圆心到直线的距离d＝，
∵直线与圆相切，
∴d＝r，即＝1，解得k＝0或k＝－.从而所求直线l的方程是y＝4或3x＋4y－13＝0.
活动与探究3　思路分析：设出直线方程，由圆心到直线的距离d与圆的半径及半弦长构成的直角三角形求解．注意讨论斜率存在与否．
解：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝52，∴圆心C(1，2)，半径r＝5.由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，∴圆心到直线的距离d＝＝＝3.
①当直线AB⊥x轴时，
∵l过(4，－4)，∴AB方程为x＝4，点C(1，2)到l的距离d＝|4－1|＝3，满足题意．
②当AB与x轴不垂直时，设方程为y＋4＝k(x－4)，即kx－y－4k－4＝0.∴d＝＝3，解得k＝－.∴l的方程为y＋4＝－(x－4)，即3x＋4y＋4＝0.
综上，直线l的方程为x＝4或3x＋4y＋4＝0.
迁移与应用　2　解析：d＝＝，∴|AB|＝2＝2＝2.
当堂检测
1．C　2．A　3．D
4．(x－2)2＋(y＋1)2＝
5．2x－y＝0