2.3 空间直角坐标系 教案
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文档简介
2.3
空间直角坐标系
教案
●三维目标
1．知识与技能
掌握空间直角坐标系的有关概念，会写一些简单几何体的有关点坐标．
2.过程与方法
通过设置具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，通过空间直角坐标系的建立，使学生初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思路．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、空间想象能力．
●重点难点
重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标．
难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标．
介绍空间直角坐标系时，可以从平面直角坐标系开始，使学生感受到只要在平面直角坐标系的基础上再增加一根竖轴(z轴)，就成了空间直角坐标系．
●教学建议
本节课的授课内容是空间直角坐标系及其建立、空间直角坐标系的中点坐标．教学时教师要充分抓住学生的原有认知基础，紧紧扣住二维平面直角坐标系的推广，引导学生将空间立体几何借助于建立空间坐标系来代数化．教学时提供多个现实情境，让学生来分析、思考、解决，进而让学生感受建立空间直角坐标系的必要性，内容由浅入深、环环相扣，体现了知识的发生、发展的过程，能够很好的诱导学生积极地参与到知识的探究过程中．对于空间坐标系建立的教学，紧紧地抓住了学生已有的立体几何知识，也可为水到渠成，自然流畅．而中点公式的教学则又一次的利用了平面到空间的类比推广．教学时注重学生参与与学法指导，真正体现以学生为主．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，理解空间直角坐标系的有关概念 通过例1及变式训练，使学生掌握根据点的坐标确定点的位置 通过例2及互动探究，使学生掌握已知点的位置写出其坐标 通过例3及变式训练，使学生掌握空间中点的对称问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．
2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置(重点、难点).
知识1
空间直角坐标系
【问题导思】
只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？在空间为了确定空间任意点的位置，需要几个实数呢？
【提示】 不能，能，3个．
1．空间直角坐标系的建立
(1)空间直角坐标系建立的流程图：
平面直角坐标系
↓
通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴
↓
空间直角坐标系
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直．
②四指先指向x轴正方向．
③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．
④大拇指的指向即为z轴正方向．
图2－3－1
(3)有关名称
如图2－3－1所示，
①O叫作原点．
②x，y，z轴统称为坐标轴．
③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．
x，y轴确定的平面记作xOy平面，
y，z轴确定的平面记作yOz平面，
x，z轴确定的平面记作xOz平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．
(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．
(3)空间直角坐标系中：点一一对应三元有序数组．
(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O、P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1、P2、P3的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
类型1
根据点的坐标确定点的位置
例1 在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
【思路探究】 可以先确定点(2，－6，0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．
【自主解答】 法一 先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)
法二 以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
规律方法
1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；
2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
变式训练
在空间直角坐标系中作出点M(2，3，4)．
【解】 如图，在xOy平面内确定点M1(2，3，0)，作M1M平行于z轴，
在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|＝4，则点M的坐标为(2，3，4).
类型2
已知点的位置写出它的坐标
例2 已知棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图2－3－2所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．
图2－3－2
【思路探究】 解答本题中的(1)可先写出A，B，C，D的坐标，然后再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；解答本题中的(2)可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，然后再结合正方体的性质得出A，B，C，D的坐标．
【自主解答】 (1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．同理，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)．因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧，且|B′B|＝1，所以B′(1，1，1)．
(2)因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴，
y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A′(1，0，0)，C′(0，1，0)，D(0，0，－1)，D′(0，0，0)．
同(1)得B′(1，1，0)，A(1，0，－1)，C(0，1，－1)，B(1，1，－1)．
规律方法
1．已知点M的位置，求其坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x坐标，y坐标，即点M的x坐标，y坐标，再求M点在z轴上射影的z坐标，即点M的z坐标，于是得到M点坐标(x，y，z)．
2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x，y，z∈R.
分类
坐标轴
坐标平面
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
xOz平面
坐标
形式
(x，0，0)
(0，y，0)
(0，0，z)
(x，y，0)
(0，y，z)
(x，0，z)
互动探究
图2－3－3
如果把本例中正方体的棱长变为，且建立如图2－3－3所示的空间直角坐标系，求正方体各顶点的坐标．
【解】 依题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，
∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)．
∵AA′⊥平面xOy，且|AA′|＝，
∴A′(1，0，)，B′(0，1，)，C′(－1，0，)，D′(0，－1，).
类型3
空间中点的对称问题
例3 求点M(a，b，c)关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．
【思路探究】 类比平面直角坐标系中点的对称问题，确定坐标和位置即可．
【自主解答】 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b，c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
关于x轴的对称点M4的坐标为(a，－b，－c)，
关于y轴的对称点M5的坐标为(－a，b，－c)，
关于z轴的对称点M6的坐标为(－a，－b，c)，
关于原点对称的点M7的坐标为(－a，－b，－c)．
规律方法
1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：
规律方法
2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．
变式训练
在空间直角坐标系中，点P(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为P′，则P′关于坐标原点的对称点的坐标是__________．
【解析】 点P在xOz平面上的射影P′的坐标为(－2，0，－3)，P′关于坐标原点的对称点的坐标为(2，0，3)．
【答案】 (2，0，3)
忽视建立空间直角坐标系的条件致误
图2－3－4
典例 如图2－3－4，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
【错解】 如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
显然A(0，0，0)，
又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，
∴B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，
B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，
∴B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
∴各点坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)．
【错因分析】 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．
【防范措施】 建立直角坐标系，一定找准两两垂直的三直线方可建系．
【正解】 取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，
分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，
OB＝，
∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，
点A1与C1在yOz平面内，
∴A1(0，－，1)，C1(0，，1)，
∴点B1在xOy面内射影为B，且BB1＝1.
∴B1(，0，1)，
∴各点的坐标为A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，A1(0，－，1)，B1(，0，1)，C1(0，，1)．
1．确定空间定点M的坐标的步骤
(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R.
(2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z.
(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤
(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R.
(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．
(3)三个平面的唯一交点就是M.
3．对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则.
1．点Q(0，0，3)的位置是( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在z轴上
D．在面xOy上
【解析】 只有z坐标不为0，显然在z轴上．
【答案】 C
2．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是( )
A．(，1，－2)
B．(，2，3)
C．(－12，3，5)
D．(，，2)
【解析】 中点x＝＝，y＝＝2，2＝＝3.
【答案】 B
3．点P1(－1，1，4)关于坐标平面yOz对称的点为P2，则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为________．
【解析】 P1(－1，1，4) P2(1，1，4) P3(1，1，－4)．
【答案】 (1，1，－4)
4．在平行四边形ABCD中，已知A(1，0，0)，B(3，1，2)，C(0，－2，1)求D点坐标．
【解】 可设D(x，y，z)，
由A、C的中点与B、D的中点重合，
则有＝，＝，＝，
得x＝－2，y＝－3，z＝－1.
故D点坐标为(－2，－3，－1).
一、选择题
1．点P(0，2，0)位于( )
A．x轴上 B．y轴上
C．xOy平面内
D．yOz平面内
【解析】 由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．
【答案】 B
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是( )
A．|a|
B．|b|
C．|c|
D.以上都不对
【解析】 设点P在面xOz的射影为P′，则|PP′|＝|b|.
【答案】 B
3．已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为( )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
【解析】 两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，
∴λ＝2，μ＝10，v＝7.
【答案】 D
4．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是( )
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
【解析】 (2，2，z)表示过点(2，2，0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．
【答案】 D
图2－3－5
5．长方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图2－3－5所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是( )
A．(0，－2，－1)
B．(x，－2，z)
C．(－3，－2，－1)
D．(－3，y，z)
【解析】 DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的y坐标都是－2，而x、z坐标可取任意实数．
【答案】 B
二、填空题
图2－3－6
6．如图2－3－6，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．
【解析】 C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．
【答案】 (0，2，1)
7．写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标________，________，________.
【解析】 P(2，3，4)在x轴上的射影为(2，0，0)，在y轴上的射影为(0，3，0)在z轴上的射影为(0，0，4)．
【答案】 (2，0，0) (0，3，0) (0，0，4)
8．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．
【解析】 点M在xOz上的射影为(－2，0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2，0，3)．
【答案】 (2，0，3)
三、解答题
图2－3－7
9．如图2－3－7，棱长为a的正方体OABC—D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
【解】 因为OB′与BD′相交于点Q，所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为(a，a，z)．
同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，所以Q点的坐标为(a，a，a)．
图2－3－8
10．如图2－3－8所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其它七个顶点的坐标．
【解】 长方体的对称中心为坐标原点O，
∵顶点A(－2，－3，－1)．
∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)．
又∵C与C1关于坐标平面xOy对称，
∴C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称，
∴A1(－2，－3，1)．
又∵C与D关于坐标平面yOz对称，
∴D(－2，3，－1)．
B与C关于坐标平面xOz对称，
∴B(2，－3，－1)．
B1与B关于坐标平面xOy对称，∴B1(2，－3，1)．
同理，D1(－2，3，1)．
综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)．
图2－3－9
11．如图2－3－9，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．
【解】 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
∵点E在z轴上，且为D1D的中点，
故点E坐标为(0，0，)．
过F作FM⊥AD，FN⊥DC，
则|FM|＝|FN|＝，
故点F坐标为(，，0)；
点G在y轴上，
又|GD|＝，故点G坐标为(0，，0)；
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，
故|HK|＝，|CK|＝.
∴|DK|＝.故点H的坐标为(0，，).
备选例题
在同一空间直角坐标系中作出下列各点：
(1)A(0，0，1)；(2)B(1，－1，2)；
(3)C(－1，1，2)；(4)D(1，0，3)．
【思路探究】 根据点的坐标确定点的位置，可按如下程序进行：
①先作出该点在平面xOy上的射影；+
②过这个射影作平面xOy的垂线；
③再根据竖坐标，在垂线上确定该点的位置．
【自主解答】 (1)沿z轴(向上)方向取|OA|＝1，
则A(0，0，1)即为所求的点；
(2)在平面xOy内确定点B′(1，－1，0)，
过B′作平面xOy的垂线l，
在l上沿z轴(向上)方向取|B′B|＝2，
则B(1，－1，2)即为所求的点；
(3)C点的作法同B点的作法；
(4)D点的作法同B点的作法．
规律方法
空间中点P坐标的确定方法：
(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
备选变式
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，如图，以底面ABCD的中心O为原点，分别以射线AB、BC、BB1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，请在图中分别指出点E(1，1，1)，F(1，0，2)，G(0，1，1)，H(0，－1，1)的位置．
【解】 如图，点E是CC1的中点；
点F是B1C1的中点；
点G是CD1与DC1的交点；
点H是AB1与BA1的交点．
●三维目标
1．知识与技能
(1)会推导和应用长方体对角线长公式．
(2)会推导空间两点间的距离公式．
(3)能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．
2．过程与方法
通过特殊长方体顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
3．情感、态度与价值观
使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．
●重点难点
重点：空间两点间的距离公式．
难点：空间两点间的距离公式的推导过程．
教学中教师可引导学生从已有的知识：平面直角坐标系中两点之间的距离公式，再借助于长方体顶点坐标，把平面两点间距离公式推广到空间得到空间两点距离公式．
●教学建议
教学时可以通过长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，进一步利用勾股定理，不难得出，在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)到原点的距离为|OP|＝类比平面直角坐标系中两点间的距离，得到空间任意两点间的距离公式．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，让学生掌握空间两点间的距离公式 通过例1及变式训练使学生掌握两点间的距离公式 通过例2及互动探究，使学生掌握由距离公式求点坐标 通过例3及变式训练，距离公式的综合应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.会推导和应用长方体对角线长公式(重点)．
2.会推导空间两点间的距离公式(重点)．
3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题(难点).
知识
空间两点间的距离公式
【问题导思】
1．在空间直角坐标系中，点M(0，0，3)到原点的距离是多少？
2．点N(3，0，4)到原点的距离为多少？
【提示】 1.|OM|＝3.
2．因为点N在平面xOz上，可利用平面直角坐标系中坐标公式得|ON|＝＝5.
1．长方体的对角线及其长的计算公式
图2－3－10
(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图2－3－10)
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长d＝.
2．空间两点间的距离公式
空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|＝.
3．中点坐标公式
已知点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点M的坐标为(，，).
类型1
求空间中两点间的距离
图2－3－11
例1 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点，建立如图2－3－11所示空间直角坐标系．
(1)写出点D，M，N的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度．
【思路探究】 先写出点的坐标，再利用距离公式求线段的长度．
【自主解答】 (1)∵A(2，0，0)，B(2，2，0)，N是AB的中点，
∴N(2，1，0)．
同理可得M(1，2，3)，
又D是原点，则D(0，0，0)．
(2)|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
规律方法
1．求准点的坐标是解答本题的关键．
2．空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标．在此基础上，利用坐标间的关系代入公式求解．在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解．
变式训练
已知△ABC的三顶点A(1，5，2)，
B(2，3，4)，C(3，1，5)，求△ABC中最短边的边长．
【解】 (1)由空间两点间距离公式得：
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝.
∴△ABC中最短边是BC，其长度为.
类型2
由距离公式求空间点的坐标
例2 (1)在z轴上求一点使得它到点A(4，5，6)与到点B(－5，0，10)的距离相等；
(2)已知点P到坐标原点的距离等于2，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．
【思路探究】 设出点的坐标，列出相应方程，从而求解．
【自主解答】 (1)由题意可知，设该点的坐标为P(0，0，z)，则|PA|＝，
|PB|＝.
又|PA|＝|PB|，所以z＝6，
所以所求点的坐标为(0，0，6)．
(2)由题意可知P点的坐标为(x，y，z)．
所以|OP|＝＝2.
又x＝y＝z，所以＝2.
所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2.
所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．
规律方法
1．该类题目以空间中任意两点间的距离公式为载体，借助于题设中的等量关系建立含参变量的有关方程(组)，利用方程(组)的观点求解其坐标，充分体现了立体几何中以数助形，以形解数的特征．
2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．
互动探究
若把本例中的(1)“在z轴上求一点”换成“在xOy平面内的直线2x－y＝0上求一点”，其余条件不变，求相应问题．
【解】 设该点的坐标P为(a，2a，0)，
则|PA|＝，
|PB|＝.
又|PA|＝|PB|，∴a＝－，
∴所求点的坐标为(－，－，0).
类型3
距离公式的应用
例3 在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3，4，5)的距离最小，并求出最小值．
【思路探究】 设出M坐标，根据距离公式列出|PM|求最小值．
【自主解答】 ∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴设点M(a，2a，0)，
则|MP|＝＝＝，
∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1，2，0)，
∴M坐标为(1，2，0)时|PM|最小，最小值为3.
规律方法
1．本题主要利用了距离公式表示|PM|，根据二次函数求其最小值．
2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．
变式训练
在空间直角坐标系中，求到两定点A(2，3，0)，B(5，1，0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．
【解】 ∵点P(x，y，z)
由题意可得|PA|＝
|PB|＝
∵|PA|＝|PB|，
∴
＝，
整理得6x－4y－13＝0，
∴P点坐标满足条件为6x－4y－13＝0.
解析法在空间直角坐标系中的应用
图2－3－12
典例 (12分)如图2－3－12所示，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．求：
(1)MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
【思路点拨】 建立空间直角坐标系，将MN的长度转化为空间两点间的距离问题求解．
【规范解答】 (1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD.
∴AB，BC，BE两两垂直.2分
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.4分
则M(a，0，1－a)，N(a，a，0).6分
∴|MN|＝
＝＝(0＜a＜).8分
(2)∵|MN|＝，
∴当a＝时，|MN|min＝.
即a＝时，MN的长最小.12分
【思维启迪】 把几何问题通过建系找出相应的坐标转化为代数形式进行运算．
1．对于空间两点间距离公式，既要学会正用求距离，又要学会逆用求坐标，学会用方程的思想求字母的值和函数思想求值．
2．中点坐标公式
在空间给定P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，若P是P1P2的中点，P点的坐标为(x，y，z)，则x＝，y＝，z＝.
1．已知点A(2，3，5)，B(－2，1，3)，则|AB|等于( )
A. B．2 C. D．2
【解析】 |AB|＝＝＝＝2.
【答案】 B
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为( )
A．9
B.
C．4
D．2
【解析】 长方体的高h＝＝2.
【答案】 D
3．点P(－1，1，1)到原点的距离是________．
【解析】 |OP|＝＝.
【答案】
4．已知点A(－3，1，4)，则点A关于原点的对称点B，求AB的长．
【解】 A关于原点的对称点B的坐标为(3，－1，－4)，
∴|AB|＝＝＝2.
一、选择题
1.已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( )
A．|AB|＞|CD|
B．|AB|＜|CD|
C．|AB|≤|CD|
D．|AB|≥|CD|
【解析】 |AB|＝＝≥，
|CD|＝＝，
∴|AB|≥|CD|.
【答案】 D
2．点P(1，2，5)到平面xOy的距离是( )
A．1 B．2 C．5 D．不确定
【解析】 点P(1，2，5)在面xOy内的射影为P′(1，2，0)，∴点P(1，2，5)到面的距离为|PP′|＝5.
【答案】 C
3．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )
A．(1，0，0)
B．(－1，0，0)
C．(1，0，0)或(0，－1，0)
D．(1，0，0)或(－1，0，0)
【解析】 ∵点P在x轴上，∴设点P(x，0，0)
由题意|PP1|＝2|PP2|，
∴
＝2，
解得x＝±1.
【答案】 D
4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)两点，当|AB|取最小值时，x的值为( )
A．19
B．－
C.
D.
【解析】 |AB|＝
＝.
∴当x＝时，|AB|取得最小值．
【答案】 C
5．点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，)，则|PA|的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O、P、A三点共线时，|PA|最小，此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝－1＝4－1＝3.
【答案】 B
二、填空题
6．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和B(2，－1，6)的距离是________．
【解析】 |AB|＝＝.
【答案】
7．已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，点P在y轴上且|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．
【解析】 设P(0，y，0)，
∵|PA|＝|PB|，
∴＝，
∴y＝6.
∴P点坐标为(0，6，0)．
【答案】 (0，6，0)
8．已知A(3，5，－7)和点B(－2，4，3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影长度为________．
【解析】 A(3，5，－7)在平面yOz上的射影为A′(0，5，－7)，
B(－2，4，3)在平面yOz上的射影为B′(0，4，3)
∴|A′B′|＝＝
【答案】
三、解答题
图2－3－13
9．如图2－3－13，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD—A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．
【解】 以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，
D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，
∴|AD1|＝＝，
|AB1|＝
＝5，
|AC1|＝＝.
10．已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．
求AC边上中线的长度．
【解】 由中点坐标公式得，AC的中点坐标为(2，3，)．
∴AC边上中线的长度为
＝.
11．在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)，试问：在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|？
【解】 假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
因M在y轴上，可设M(0，y，0)，由|MA|＝|MB|，可得
＝，
显然，此式对任意y∈R恒成立，这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.
备选例题
已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．
【思路探究】 先计算三边长，再利用勾股定理的逆定理判断．
【自主解答】 |AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89，又|AB|2＝89，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．
规律方法
已知空间中三点的坐标，判断三角形的形状，可考虑利用空间中两点间的距离公式求出这三边，从三边的关系上解决．
备选变式
已知A(－4，2，3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于( )
A．8 B．12 C．16 D．19
【解析】 A(－4，2，3)，A2(4，2，3)，
∴|AA2|＝＝8.
【答案】 A
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专题归纳提升
专题1
待定系数法
待定系数法是一种常用的解题方法，其实质是方程思想，做法是使用一些字母作为待定的系数，然后根据条件列出方程或方程组，解出这些待定的系数．直线和圆的方程常用待定系数法求解．
例1 根据下列条件求圆的方程．
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)经过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
【思路点拨】 (1)可设出圆的标准方程；(2)可设出圆的一般方程根据条件求出参数．21世纪教育网
【规范解答】 (1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
变式训练
已知圆经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上，求圆的方程．
【解】 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意列出方程组
解之得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
专题2
直线方程问题
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
例2 从点P(3，－2)发出的光线l，经过直线l1：x＋y－2＝0反射，若反射光线的反向延长线恰好通过点Q(5，1)，求l的方程．
【思路点拨】 求直线l的方程，已知点P在l上，只需在l上再求出一个点即可．
【规范解答】 设点P(3，－2)关于l1：x＋y－2＝0对称的点P1的坐标为(x，y)，则直线l1为线段PP1的垂直平分线，可得方程组
解之得即P1(4，－1)．
于是直线P1Q的方程为2x－y－9＝0.
设直线l1与直线P1Q交于A，
∴∴A(，－)．
于是l的方程为x－2y－7＝0.
变式训练
一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．
【解】 设过原点的直线l交已知两直线于P1，P2，且O为P1，P2的中点，∴P1与P2关于原点对称．
若设P1(x0，y0)，则P2(－x0，－y0)，
∴
①＋②得x0＋6y0＝0.
∴点P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程x＋6y＝0，
∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点，
∴所求直线l的方程即为x＋6y＝0.
专题3
最值问题
最值问题有两个求解思路：一、几何法；二、代数法．几何法：先考查式子的几何意义，然后用几何性质求解；代数法：先建立目标函数，然后通过函数最值的求法求函数的最值．
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地，形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．
例3 已知点P(x，y)满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
【思路点拨】 (1)可以看作是圆(x，y)与原点连线的斜率，(2)x2＋y2可看作是(x，y)与原点距离的平方．
(1)
【规范解答】 将x2＋y2－6x－4y＋12＝0配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1，它表示以C(3，2)为圆心，半径r＝1的圆．
(1)设＝k，得y＝kx，所以k表示过原点的直线的斜率，如图(1)所示．
当直线y＝kx为圆C的切线时，取得最值，
所以＝1，解得k＝.
故的最大值为，最小值为.
(2)
(2)设u＝，则u为圆C上的点到原点的距离，如图(2)所示．连接OC并延长交圆于A、B两点，圆心C(3，2)与原点O的距离是|OC|＝.
∴|OA|＝－1，|OB|＝＋1.
∴u＝|OB|2＝(＋1)2＝14＋2，
u＝|OA|2＝(－1)2＝14－2.
故x2＋y2的最大值为14＋2，最小值为14－2.
变式训练
已知点P(x，y)满足关系式x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求x－y的最大值与最小值．
【解】 将x2＋y2－6x－4y＋12＝0配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1表示以C(3，2)为圆心，半径r＝1的圆．
设x－y＝m，即y＝x－m，m为直线在y轴上截距的相反数，如图所示，则当直线y＝x－m与圆C相切时，x－y取得最值．
∵＝1，
∴m＝1±.
故x－y的最大值为1＋，最小值为1－.
专题4
数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．
本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到事半功倍的效果．
例4 当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝1＋有交点时，实数k的取值范围是( )
A．(，] B．(，]
C．(0，]
D．[，＋∞)
【思路点拨】 根据图形的特点求解．
【解析】 先作出已知曲线y＝1＋的图形，再根据直线y＝k(x－2)＋4过定点(2，4)．
如图所示，曲线是以(0，1)为圆心，r＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2，4)的动直线．由图形中关系可求得kPC＝.
【答案】 D
变式训练
点P
(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是( )
A．[，1]
B．(，1)
C．[，1]
D．(，1)
【解析】 令k＝，则k可以看成过点D(1，2)和(x，y)的直线斜率，显然kAD是最小值，kBD是最大值．由于不包含边界，所以k∈(，1)．
【答案】 D
综合检测(二)
第二章 解析几何初步
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过两点A(－2，m)，B(m，4)的直线倾斜角是45°，则m的值是( )
A．－1 B．3 C．1 D．－3
【解析】 kAB＝＝tan
45°＝1，∴m＝1.
【答案】 C
2．若两直线ax＋2y＝0和x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的值是( )
A．－1或2
B．－1
C．2
D.
【解析】 由a(a－1)－1×2＝0得a＝－1或2，
经检验a＝－1时，两直线重合．
【答案】 C
3．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1，3)
B．(－3，3)
C．[－1，1]
D．(－3，－1]∪[1，3)
【解析】 数形结合
∵(0，0)、(a、a)所在直线是存在两点的垂直平分线，
∴1＜a＜3或－3＜a＜－1.
【答案】 A
4．在空间直角坐标系O—xyz中，点M的坐标是(1，3，5)，则其关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－1，－3，－5)
B．(－1，－3，5)
C．(1，－3，－5)
D．(1，3，－5)
【解析】 M(1，3，5)关于x轴对称的点，在x轴上的坐标不变，其他是其相反数，即为(1，－3，－5)．
【答案】 C
5．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2
B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2
C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2
D．(x－3)2＋(y－4)2＝2
【解析】 圆心(3，－4)关于y＝0对称的点为(3，4)，
∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.
【答案】 D
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
【解析】 由题意得直线方程为y＝x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝＝1，弦长|AB|＝2＝2.
【答案】 D
7．若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，则a的值是( )
A．－3
B．1
C．－1
D．1或－3
【解析】 ∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或－3.
【答案】 D
8．若点P(a，b，c)关于原点的对称点是P′，则|PP′|＝( )
A.
B．2
C．|a＋3＋c|
D．2|a＋b＋c|
【解析】 P′(－a，－b，－c)．由两点间距离公式得
|PP′|＝
＝2.
【答案】 B
9．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由(a－3)x＋2ay＋6＝0，
得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0.
令得
∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．
【答案】 D
10．使得方程
－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围是( )
A．－4≤m≤4
B．－4≤m≤4
C．－4≤m≤4
D．4≤m≤4
【解析】 设f(x)＝，g(x)＝x＋m，在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形，如图所示．则m是直线y＝x＋m在y轴上的截距．由图可知－4≤m≤4.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与B的距离相等，则M的坐标是________．
【解析】 ∵M在y轴上，设其坐标为(0，y，0)，由空间两点间的距离公式得
＝，得y＝－1，
∴M的坐标为(0，－1，0)．
【答案】 (0，－1，0)
12．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为________．
【解析】 点P在直线3x＋y－5＝0上，设P(x0，y0)，
即P(x0，5－3x0)．由点到直线的距离公式，得
＝，解得x0＝2或x0＝1，所以点P的坐标为(2，－1)
或(1，2)．
【答案】 (2，－1)
或(1，2)
13．两平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：6x＋ay－5＝0的距离等于__________．
【解析】 由3a－24＝0，得a＝8，
∴l2：3x＋4y－＝0.
∴d＝＝.
【答案】
14．已知方程x2＋y2＋2mx－2my－2＝0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A，若点A又在直线l：mx＋ny＋1＝0上，则m＋n＝________.
【解析】 已知方程即x2＋y2－2＋2m(x－y)＝0，该曲线系恒经过圆x2＋y2－2＝0与直线x－y＝0的交点，由得所过定点为(－1，－1)，(1，1)，∵点A为第三象限的点，∴A点的坐标为(－1，－1)，将其代入直线l的方程得(－1)·m＋(－1)·n＋1＝0，即m＋n＝1.
【答案】 1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题12分)菱形ABCD中，A(－4，7)、C(6，－5)、BC边所在直线过点P(8，－1)，求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
【解】 (1)kBC＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2.
∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，
即2x－y＋15＝0.
(2)kAC＝－，∵菱形对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴kBD＝，
而AC中点(1，1)，也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.
图1
16．(本小题12分)如图1所示，⊙O的方程为x2＋y2＝9，点P的坐标为(4，0)，求：
(1)以点P为圆心且与⊙O外切的圆的标准方程；
(2)以点P为圆心且与⊙O内切的圆的标准方程．
【解】 (1)满足条件的圆P是以(4，0)为圆心，1为半径的圆．所以圆P的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
(2)满足条件的圆P是以(4，0)为圆心，7为半径的圆，
所以圆P的标准方程为(x－4)2＋y2＝49.
17．(本小题12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．
【解】 (1)x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
D＝－2，E＝－4，F＝m，
D2＋E2－4F＝20－4m＞0，m＜5.
(2)将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，y1＋y2＝，y1y2＝，∵OM⊥ON，得出：x1x2＋y1y2＝0，
∴5y1y2－8(y1＋y2)＋16＝0，∴m＝.
18．(本小题14分)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线l上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解】 (1)如图所示，△PAC≌△PBC，则有SPACB＝2S△PAC.圆心C(1，1)，半径r＝1.由切线性质得AC⊥PA，则|PA|＝，又|AC|＝1，
∴S△PAC＝|AC|·|PA|＝
.
又P在直线l上，则|PC|的最小值是C到直线l的距离d＝＝3.
∴S△PAC的最小值为＝.
∴四边形PACB面积的最小值是2.
(2)假设直线l上存在点P满足题意．
∵∠APB＝60°，∴|AP|＝|AC|＝，|PC|＝2.
设P(x，y)，则有
整理可得25x2＋40x＋96＝0.
∵Δ＝402－4×25×96<0，
∴这样的点P是不存在的．
必修2
模块高考热点透视
模块高考热点透视
第一章 立体几何初步
【命题趋势】 从近几年的高考试题看，本章主要考查空间几何体的结构，三视图与几何体表面积、体积的计算，空间直线、平面的位置关系、空间中平行与垂直关系.
考向1
空间几何体的结构和三视图
根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物图．
图1
真题印证
1．某三棱锥的三视图如图2所示，该三棱锥的表面积是( )
图2
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12
D．60＋12
【命题意图】 本题主要考查三视图和几何体表面积相结合的计算．
【解析】 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.
又CD⊥BD，CD⊥AE，
则CD⊥平面ABD，
故CD⊥AD，
所以AC＝且S△ACD＝10.
在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2.
在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝.
在△ABD中，AE＝4，BD＝5，
故S△ABD＝10.
在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝，
则AB边上的高h＝6，
故S△ABC＝×2×6＝6.
因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6.
【答案】 B
2．一个几何体的三视图如图3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
图3
【命题意图】 本题考查了由三视图还原几何体及几何体的体积计算．
【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V＝π××2＋1×3×6＝9π＋18.
【答案】 18＋9π
对点练习
1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱
【解析】 球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.
不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.
【答案】 D
2．某几何体的三视图如图4所示，它的体积为( )
图4
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
【解析】 由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示．
圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，
∴V＝V圆锥＋V圆柱＝Sh1＋Sh2＝×π×32×4＋π×32×5＝57π.
【答案】 C
考向2
空间平行、垂直关系
如图5，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB点E是棱PB的中点，求证：AE⊥PC.
图5
真题印证
1．如图6，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
图6
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
【命题意图】 本题综合考查了垂直关系及二面角大小的求解，考查学生的综合计算能力．
【解】 (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
因为BC 平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)．
则＝(0，0，－1)，＝(1，－1，1)，＝(－1，0，1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则
即
可取n＝(1，1，0)．
同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则
即
可取m＝(1，2，1)．
从而cos〈n，m〉＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
图7
2．如图7，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
证明：PC⊥平面BED.
【命题意图】 本题主要考查线面垂直问题．
【证明】 因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，
所以PC⊥BD.
如图，设AC∩BD＝F，连接EF.
因为AC＝2，
PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.
由此知PC⊥EF.
因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
对点练习
1．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l α，l β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．
【答案】 B
2．如图8，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
图8
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
【证明】 (1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD 平面ABC，
所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，DE 平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，
所以A1F∥AD.
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
第二章 解析几何初步
【命题趋势】 从近几年的高考试题看，本章主要考查直线方程的求解与应用；两直线平行与垂直的条件，平面解析几何中的距离公式；圆的标准方程与一般方程；直线和圆的位置关系；圆与圆的位置关系，考查的主要方法有数形结合，坐标法，化归与转化，待定系数法，代入法等.
考向3
直线与圆的位置关系
判断下列直线与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系．
(1)x－y－2＝0；(2)x＋2y－1＝0.
真题印证
1．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能
【命题意图】 考查直线与圆的位置关系及两点距离公式．
【解析】 将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内．
∴过点P的直线l定与圆C相交．
【答案】 A
2．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
【命题意图】 本题主要考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式．
【解析】 可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.
圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.
【答案】
对点练习
1．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )
A．3
B．2
C.
D．1
【解析】 圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝＝1.
∴|AB|＝2＝2＝2.
【答案】 B
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】 由题意知，圆心为(a，0)，半径r＝.
若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，
即≤，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1，故选C.
【答案】 C
必修2
模块学习评价
模块学习评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线－＝1的倾斜角的大小为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】 设直线斜率k＝，∴tan
α＝，∴α＝30°.
【答案】 A
2.如图1所示，空心圆柱体的主视图是( )
图1
【解析】 看不到的部分用虚线表示，主视图应是矩形．
【答案】 C
3．已知点A(1，2)、B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．4x＋2y＝5
B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5
D．x－2y＝5
【解析】 AB的中点坐标为(2，)，kAB＝－，
∴AB中垂线的斜率为2，
∴中垂线方程为y－＝2(x－2)即4x－2y＝5.
【答案】 B
4．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(x，－1，6)的距离为，则x等于( )
A．2
B．－8
C．2或－8
D．8或2
【解析】 由空间两点距离公式得
＝，∴x＝2或－8.
【答案】 C
5．已知m是平面α的一条斜线，点A α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )
A．l∥m，l⊥α
B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α
D．l∥m，l∥α
【解析】 如图l可以垂直m，且l平行α.
【答案】 C
6．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离
【解析】 (x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1，0)，圆心到直线的距离：d＝＝0.
∴直线x－y＋1＝0过圆心．
【答案】 B
7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7
B．4
C．9
D．3
【解析】 S圆台侧＝π(r＋3r)l＝84π，又l＝7.
∴r＝3.
【答案】 D
8．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
【解析】 根据面面垂直的判定定理，知②正确．
由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一平面，知④正确．
【答案】 D
9．圆x2＋y2－8x＋6y＋16＝0与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交
B．相离
C．内切
D．外切
【解析】 设圆x2＋y2＝16的圆心为O，则O(0，0)，r1＝4.
设圆x2＋y2－8x＋6y＋16＝0的圆心为C，半径为r2，则C(4，－3)，r2＝3.
∴|OC|＝＝5，
∴|r1－r2|＜|OC|＜r1＋r2，
∴两圆相交．
【答案】 A
图2
10．如图2，在斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )
A．直线AC上
B．直线AB上
C．直线BC上
D．△ABC内部
【解析】 ∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA＝B，
∴AC⊥平面BC1A，∴平面BAC⊥平面BC1A，
∵C1H⊥平面ABC且H为垂足，平面BAC∩平面BC1A＝AB，
∴H∈AB.
【答案】 B
11．如图3，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
图3
A．6
B．9
C．12
D．18
【解析】 由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝×6×3＝9，
∴V＝Sh＝×9×3＝9.
【答案】 B
12．若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是( )
A．(0，]
B．[，]
C．[0，]
D．[0，1]
【解析】 曲线y＝－可化为(x－2)2＋y2＝1它表示以(2，0)为圆心，1为半径的x轴下方的半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k≤1.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋11＝0平行，则实数m的值是________．
【解析】 由条件可知，＝≠，
解得m＝8.
【答案】 8
14．已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
【解析】 依题意可设点P(0，0，z)，
∵|PA|＝|PB|，
∴
＝
解得z＝3，∴P(0，0，3)．
【答案】 (0，0，3)
15．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．
图4
【解析】 设球的直径为d，
则据题意V圆柱＝π()2·d＝；
V圆锥＝π()2·d＝；
V球＝π()3＝.
∴V圆柱∶V圆锥∶V球＝3∶1∶2.
【答案】 3∶1∶2
16．过点A(m，2)总可以作两条直线和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4相切，则实数m的取值范围是________．
【解析】 由题意，点A在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的外部，故(m＋1)2＋(2－2)2＞4，即|m＋1|＞2，
解得m＞1或m＜－3.
【答案】 (－∞，－3)∪(1，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知四棱锥P—ABCD，其三视图和直观图如图5，求该四棱锥的体积．
图5
【解】 由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，
即棱锥的高为2，
则体积VP—ABCD＝SABCD×PE＝×2×4×2＝.
18．(本小题12分)(2013·温州高一检测)已知直线l过两直线3x－y－10＝0和x＋y－2＝0的交点，且直线l与点A(1，3)和点B(5，2)的距离相等，求直线l的方程．
【解】 由得交点为(3，－1)，
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，
则＝，
解得k＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－3)，
即x＋4y＋1＝0；
又当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，也满足题意．
故x＋4y＋1＝0或x＝3为所求．
图6
19．(本小题12分)(2013·济宁高一检测)如图6，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD，DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
【证明】 (1)因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.
取CE的中点G，连接BG，GF，
因为F为CD的中点，
所以GF∥ED∥BA，
GF＝ED＝BA，
从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.
因为AF 平面BCE，BG?平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)因为AB⊥平面ACD，AF?平面ACD，
所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.
又AC＝AD，所以AF⊥CD.
而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，
即AF⊥平面CDE.
因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.
因为BG?平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.
20．(本小题12分)若一圆经过直线l：2x＋y＋4＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有交点．求
(1)面积最小的圆的方程；
(2)过点(2，－1)的圆的方程．
【解】 设过圆C和直线l的交点的圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0.
(1)[x＋(1＋λ)]2＋(y＋)2＝，
∵圆的面积最小，∴只需r2最小．
∵r2＝＝(λ－)2＋≥，
∴当λ＝时，r2有最小值.
∴所求圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1＋(2x＋y＋4)＝0，
即5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0.
(2)由于圆过点(2，－1)，
∴22＋1＋2×2－4×(－1)＋1＋λ(2×2－1＋4)＝0，
∴14＋7λ＝0，即λ＝－2，
∴所求圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1－2(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2－2x－6y－7＝0.
图7
21．(本小题12分)在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D，E分别为BC，CA的中点．
(1)试在BC上求作一点F，使AD∥平面PEF，并证明你的结论；
(2)设AB＝PA＝2，对于(1)中的点F，求三棱锥B—PEF的体积．
【解】 (1)证明：CD的中点F即为所求．证明如下：
取CD的中点F，
∵E，F分别为CA，CD的中点，
∴AD∥EF.又AD 平面PEF，EF?平面PEF，
∴AD∥平面PEF.
(2)∵VB—PEF＝VP—BEF，
又S△BEF＝BF×EF＝×BC×AD＝.
∴VB—PEF＝VP—BEF＝S△BEF×PA＝.
22．(本小题12分)(2013·长沙高一检测)已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
【解】 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则
＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，
此即为所求．
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝.
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
∴|QM|最小＝4.
空间直角坐标系
教案
●三维目标
1．知识与技能
掌握空间直角坐标系的有关概念，会写一些简单几何体的有关点坐标．
2.过程与方法
通过设置具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，通过空间直角坐标系的建立，使学生初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决空间问题的基本思路．
3．情感、态度与价值观
通过本节的学习，培养学生的动手操作能力、空间想象能力．
●重点难点
重点：在空间直角坐标系中，确定点的坐标．
难点：通过建立适当的直角坐标系，确定空间点的坐标．
介绍空间直角坐标系时，可以从平面直角坐标系开始，使学生感受到只要在平面直角坐标系的基础上再增加一根竖轴(z轴)，就成了空间直角坐标系．
●教学建议
本节课的授课内容是空间直角坐标系及其建立、空间直角坐标系的中点坐标．教学时教师要充分抓住学生的原有认知基础，紧紧扣住二维平面直角坐标系的推广，引导学生将空间立体几何借助于建立空间坐标系来代数化．教学时提供多个现实情境，让学生来分析、思考、解决，进而让学生感受建立空间直角坐标系的必要性，内容由浅入深、环环相扣，体现了知识的发生、发展的过程，能够很好的诱导学生积极地参与到知识的探究过程中．对于空间坐标系建立的教学，紧紧地抓住了学生已有的立体几何知识，也可为水到渠成，自然流畅．而中点公式的教学则又一次的利用了平面到空间的类比推广．教学时注重学生参与与学法指导，真正体现以学生为主．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，理解空间直角坐标系的有关概念 通过例1及变式训练，使学生掌握根据点的坐标确定点的位置 通过例2及互动探究，使学生掌握已知点的位置写出其坐标 通过例3及变式训练，使学生掌握空间中点的对称问题 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.了解空间直角坐标系的建立方法及有关概念．
2.会在空间直角坐标系中用三元有序数组刻画点的位置(重点、难点).
知识1
空间直角坐标系
【问题导思】
只给飞机所在位置的经度和纬度，能确定飞机的位置吗？再给出高度，能确定飞机的位置吗？在空间为了确定空间任意点的位置，需要几个实数呢？
【提示】 不能，能，3个．
1．空间直角坐标系的建立
(1)空间直角坐标系建立的流程图：
平面直角坐标系
↓
通过原点O，再增加一条与xOy平面垂直的z轴
↓
空间直角坐标系
(2)空间直角坐标系的建系原则——右手螺旋法则：
①伸出右手，让四指与大拇指垂直．
②四指先指向x轴正方向．
③让四指沿握拳方向旋转90°指向y轴正方向．
④大拇指的指向即为z轴正方向．
图2－3－1
(3)有关名称
如图2－3－1所示，
①O叫作原点．
②x，y，z轴统称为坐标轴．
③由坐标轴确定的平面叫作坐标平面．
x，y轴确定的平面记作xOy平面，
y，z轴确定的平面记作yOz平面，
x，z轴确定的平面记作xOz平面．
2．空间直角坐标系中点的坐标
(1)空间直角坐标系中任意一点P的位置，可用一个三元有序数组来刻画．
(2)空间任意一点P的坐标记为(x，y，z)，第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标．
(3)空间直角坐标系中：点一一对应三元有序数组．
(4)对于空间中点P坐标的确定方法是：过点P分别向坐标轴作垂面，构造一个以O、P为顶点的长方体，如果长方体在三条坐标轴上的顶点P1、P2、P3的坐标分别为(x，0，0)、(0，y，0)、(0，0，z)，则点P的坐标为(x，y，z)．
类型1
根据点的坐标确定点的位置
例1 在空间直角坐标系中，作出点M(2，－6，4)．
【思路探究】 可以先确定点(2，－6，0)在xOy平面的位置，再由竖坐标确定在空间直角坐标系中的位置．
【自主解答】 法一 先确定点M′(2，－6，0)在xOy平面上的位置，因为点M的竖坐标为4，
则|MM′|＝4，且点M和z轴的正半轴在xOy平面的同侧，这样就可确定点M的位置了(如图所示)
法二 以O为一个顶点，构造三条棱长分别为2，6，4的长方体，使此长方体在点O处的三条棱分别在x轴正半轴、y轴负半轴、z轴正半轴上，则长方体中与顶点O相对的顶点即为所求的点(图略)．
规律方法
1．先确定点(x0，y0，0)在xOy平面上的位置，再由竖坐标确定点(x0，y0，z0)在空间直角坐标系中的位置；
2．以原点O为一个顶点，构造棱长分别为|x0|、|y0|、|z0|的长方体(三条棱的位置要与x0、y0、z0的符号一致)，则长方体中与O相对的顶点即为所求的点．
变式训练
在空间直角坐标系中作出点M(2，3，4)．
【解】 如图，在xOy平面内确定点M1(2，3，0)，作M1M平行于z轴，
在M1M上沿z轴的正方向取|M1M|＝4，则点M的坐标为(2，3，4).
类型2
已知点的位置写出它的坐标
例2 已知棱长为1的正方体ABCD－A′B′C′D′，建立如图2－3－2所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．
图2－3－2
【思路探究】 解答本题中的(1)可先写出A，B，C，D的坐标，然后再结合正方体的性质得出A′，B′，C′，D′的坐标；解答本题中的(2)可先写出A′，B′，C′，D′的坐标，然后再结合正方体的性质得出A，B，C，D的坐标．
【自主解答】 (1)因为D是坐标原点，A，C，D′分别在x轴，y轴，z轴的正半轴上，正方体的棱长为1，所以D(0，0，0)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，D′(0，0，1)．因为B点在xDy平面上，所以B(1，1，0)．同理，A′(1，0，1)，C′(0，1，1)．因为B′B垂直于xDy平面且与z轴正半轴在xDy平面同侧，且|B′B|＝1，所以B′(1，1，1)．
(2)因为D′是坐标原点，A′，C′分别在x轴，
y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A′(1，0，0)，C′(0，1，0)，D(0，0，－1)，D′(0，0，0)．
同(1)得B′(1，1，0)，A(1，0，－1)，C(0，1，－1)，B(1，1，－1)．
规律方法
1．已知点M的位置，求其坐标的方法
作MM′垂直平面xOy，垂足为M′，求M′的x坐标，y坐标，即点M的x坐标，y坐标，再求M点在z轴上射影的z坐标，即点M的z坐标，于是得到M点坐标(x，y，z)．
2．在空间直角坐标系中，三条坐标轴和三个坐标平面上的点的坐标形式如下表所示．其中x，y，z∈R.
分类
坐标轴
坐标平面
x轴
y轴
z轴
xOy平面
yOz平面
xOz平面
坐标
形式
(x，0，0)
(0，y，0)
(0，0，z)
(x，y，0)
(0，y，z)
(x，0，z)
互动探究
图2－3－3
如果把本例中正方体的棱长变为，且建立如图2－3－3所示的空间直角坐标系，求正方体各顶点的坐标．
【解】 依题意知|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝1，
∴A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(－1，0，0)，D(0，－1，0)．
∵AA′⊥平面xOy，且|AA′|＝，
∴A′(1，0，)，B′(0，1，)，C′(－1，0，)，D′(0，－1，).
类型3
空间中点的对称问题
例3 求点M(a，b，c)关于坐标平面，坐标轴及坐标原点的对称点的坐标．
【思路探究】 类比平面直角坐标系中点的对称问题，确定坐标和位置即可．
【自主解答】 点M关于xOy平面的对称点M1的坐标为(a，b，－c)，关于xOz平面的对称点M2的坐标为(a，－b，c)，关于yOz平面的对称点M3的坐标为(－a，b，c)．
关于x轴的对称点M4的坐标为(a，－b，－c)，
关于y轴的对称点M5的坐标为(－a，b，－c)，
关于z轴的对称点M6的坐标为(－a，－b，c)，
关于原点对称的点M7的坐标为(－a，－b，－c)．
规律方法
1．关于坐标平面、坐标轴及坐标原点对称的点有以下特点：
规律方法
2．点的对称可简单记为“关于谁对称，谁不变，其他的变为相反数；关于原点对称，都变”．
变式训练
在空间直角坐标系中，点P(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为P′，则P′关于坐标原点的对称点的坐标是__________．
【解析】 点P在xOz平面上的射影P′的坐标为(－2，0，－3)，P′关于坐标原点的对称点的坐标为(2，0，3)．
【答案】 (2，0，3)
忽视建立空间直角坐标系的条件致误
图2－3－4
典例 如图2－3－4，三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．
【错解】 如图，分别以AB、AC、AA1所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．
显然A(0，0，0)，
又∵各棱长均为1，且B、C、A1均在坐标轴上，
∴B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，
B1，C1分别在xOz平面和yOz平面内，
∴B1(1，0，1)，C1(0，1，1)，
∴各点坐标为A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)．
【错因分析】 因为三棱柱各棱长均为1，所以△ABC为正三角形，即∠BAC＝60°，即错解中建立的坐标系∠xOy≠90°.故本题做错的根本原因在于建系时没有抓住空间直角坐标系三个坐标轴两两垂直的本质．建系时应选取从一点出发的三条两两垂直的线做为坐标轴．如果没有满足条件的直线，可以让某一条坐标轴“悬空”．
【防范措施】 建立直角坐标系，一定找准两两垂直的三直线方可建系．
【正解】 取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，
分别以OB，OC，OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，
∵三棱柱各棱长均为1，
∴OA＝OC＝O1C1＝O1A1＝，
OB＝，
∵A，B，C均在坐标轴上，
∴A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，
点A1与C1在yOz平面内，
∴A1(0，－，1)，C1(0，，1)，
∴点B1在xOy面内射影为B，且BB1＝1.
∴B1(，0，1)，
∴各点的坐标为A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，A1(0，－，1)，B1(，0，1)，C1(0，，1)．
1．确定空间定点M的坐标的步骤
(1)过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于P、Q和R.
(2)确定P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标x，y和z.
(3)得出点M的坐标为(x，y，z)．
2．已知M点坐标为(x，y，z)确定点M位置的步骤
(1)在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q、R.
(2)过P、Q、R分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面．
(3)三个平面的唯一交点就是M.
3．对于空间点关于坐标轴和坐标平面对称的问题，要记住“关于谁对称谁不变”的原则.
1．点Q(0，0，3)的位置是( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在z轴上
D．在面xOy上
【解析】 只有z坐标不为0，显然在z轴上．
【答案】 C
2．点A(－3，1，5)，点B(4，3，1)的中点坐标是( )
A．(，1，－2)
B．(，2，3)
C．(－12，3，5)
D．(，，2)
【解析】 中点x＝＝，y＝＝2，2＝＝3.
【答案】 B
3．点P1(－1，1，4)关于坐标平面yOz对称的点为P2，则点P2关于坐标平面xOy的对称点P3的坐标为________．
【解析】 P1(－1，1，4) P2(1，1，4) P3(1，1，－4)．
【答案】 (1，1，－4)
4．在平行四边形ABCD中，已知A(1，0，0)，B(3，1，2)，C(0，－2，1)求D点坐标．
【解】 可设D(x，y，z)，
由A、C的中点与B、D的中点重合，
则有＝，＝，＝，
得x＝－2，y＝－3，z＝－1.
故D点坐标为(－2，－3，－1).
一、选择题
1．点P(0，2，0)位于( )
A．x轴上 B．y轴上
C．xOy平面内
D．yOz平面内
【解析】 由于x＝z＝0，y＝2，∴P在y轴上．
【答案】 B
2．点P(a，b，c)到坐标平面xOz的距离是( )
A．|a|
B．|b|
C．|c|
D.以上都不对
【解析】 设点P在面xOz的射影为P′，则|PP′|＝|b|.
【答案】 B
3．已知点A(2，3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点为A′(λ，7，－6)，则λ，μ，v的值为( )
A．λ＝－2，μ＝－4，v＝－5
B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5
C．λ＝2，μ＝10，v＝8
D．λ＝2，μ＝10，v＝7
【解析】 两个点关于x轴对称，那么这两个点的x坐标不变，y坐标与z坐标均互为相反数，故有λ＝2，7＝－(3－μ)，－6＝－(－1＋v)，
∴λ＝2，μ＝10，v＝7.
【答案】 D
4．设z为任一实数，则点(2，2，z)表示的图形是( )
A．z轴
B．与平面xOy平行的一直线
C．平面xOy
D．与平面xOy垂直的一直线
【解析】 (2，2，z)表示过点(2，2，0)且与z轴平行的直线，即与平面xOy垂直的直线．
【答案】 D
图2－3－5
5．长方体ABCD－A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图2－3－5所示，且AB＝3，AD＝2，AA1＝1，则DD1C1C所在平面上点的坐标形式是( )
A．(0，－2，－1)
B．(x，－2，z)
C．(－3，－2，－1)
D．(－3，y，z)
【解析】 DD1C1C所在的平面平行于xOz面，且与xOz面的距离为2，上面任意一点的y坐标都是－2，而x、z坐标可取任意实数．
【答案】 B
二、填空题
图2－3－6
6．如图2－3－6，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则CC1中点N的坐标为________．
【解析】 C(0，2，0)，|CN|＝1，∴N(0，2，1)．
【答案】 (0，2，1)
7．写出点P(2，3，4)在三条坐标轴上的射影的坐标________，________，________.
【解析】 P(2，3，4)在x轴上的射影为(2，0，0)，在y轴上的射影为(0，3，0)在z轴上的射影为(0，0，4)．
【答案】 (2，0，0) (0，3，0) (0，0，4)
8．在空间直角坐标系中，点M(－2，4，－3)在xOz平面上的射影为M′点，则M′关于原点对称的点的坐标是________．
【解析】 点M在xOz上的射影为(－2，0，－3)，其关于原点对称的坐标为(2，0，3)．
【答案】 (2，0，3)
三、解答题
图2－3－7
9．如图2－3－7，棱长为a的正方体OABC—D′A′B′C′中，对角线OB′与BD′相交于点Q，顶点O为坐标原点，OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，试写出点Q的坐标．
【解】 因为OB′与BD′相交于点Q，所以Q点在xOy平面内的投影应为OB与AC的交点，所以Q的坐标为(a，a，z)．
同理可知Q点在xOz平面内的投影也应为AD′与OA′的交点，所以Q点的坐标为(a，a，a)．
图2－3－8
10．如图2－3－8所示，长方体ABCD－A1B1C1D1的对称中心为坐标原点，交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面，顶点A(－2，－3，－1)，求其它七个顶点的坐标．
【解】 长方体的对称中心为坐标原点O，
∵顶点A(－2，－3，－1)．
∴A关于原点的对称点C1的坐标为(2，3，1)．
又∵C与C1关于坐标平面xOy对称，
∴C(2，3，－1)．而A1与C关于原点对称，
∴A1(－2，－3，1)．
又∵C与D关于坐标平面yOz对称，
∴D(－2，3，－1)．
B与C关于坐标平面xOz对称，
∴B(2，－3，－1)．
B1与B关于坐标平面xOy对称，∴B1(2，－3，1)．
同理，D1(－2，3，1)．
综上知长方体其他七个顶点的坐标为C1(2，3，1)，C(2，3，－1)，A1(－2，－3，1)，B(2，－3，－1)，B1(2，－3，1)，D(－2，3，－1)，D1(－2，3，1)．
图2－3－9
11．如图2－3－9，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG＝CD，H为C1G的中点，试建立适当的直角坐标系，写出点E，F，G，H的坐标．
【解】 以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴建立空间直角坐标系．
∵点E在z轴上，且为D1D的中点，
故点E坐标为(0，0，)．
过F作FM⊥AD，FN⊥DC，
则|FM|＝|FN|＝，
故点F坐标为(，，0)；
点G在y轴上，
又|GD|＝，故点G坐标为(0，，0)；
过H作HK⊥CG于点K，由于H为C1G的中点，
故|HK|＝，|CK|＝.
∴|DK|＝.故点H的坐标为(0，，).
备选例题
在同一空间直角坐标系中作出下列各点：
(1)A(0，0，1)；(2)B(1，－1，2)；
(3)C(－1，1，2)；(4)D(1，0，3)．
【思路探究】 根据点的坐标确定点的位置，可按如下程序进行：
①先作出该点在平面xOy上的射影；+
②过这个射影作平面xOy的垂线；
③再根据竖坐标，在垂线上确定该点的位置．
【自主解答】 (1)沿z轴(向上)方向取|OA|＝1，
则A(0，0，1)即为所求的点；
(2)在平面xOy内确定点B′(1，－1，0)，
过B′作平面xOy的垂线l，
在l上沿z轴(向上)方向取|B′B|＝2，
则B(1，－1，2)即为所求的点；
(3)C点的作法同B点的作法；
(4)D点的作法同B点的作法．
规律方法
空间中点P坐标的确定方法：
(1)由P点分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，依次交x轴、y轴、z轴于点Px，Py，Pz，这三个点在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x，y，z，那么点P的坐标就是(x，y，z)．
(2)若题所给图形中存在垂直于坐标轴的平面，或点P在坐标轴或坐标平面上，则要充分利用这一性质解题．
备选变式
已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，如图，以底面ABCD的中心O为原点，分别以射线AB、BC、BB1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，请在图中分别指出点E(1，1，1)，F(1，0，2)，G(0，1，1)，H(0，－1，1)的位置．
【解】 如图，点E是CC1的中点；
点F是B1C1的中点；
点G是CD1与DC1的交点；
点H是AB1与BA1的交点．
●三维目标
1．知识与技能
(1)会推导和应用长方体对角线长公式．
(2)会推导空间两点间的距离公式．
(3)能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题．
2．过程与方法
通过特殊长方体顶点坐标，探索并得出空间两点间的距离公式．
3．情感、态度与价值观
使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程．
●重点难点
重点：空间两点间的距离公式．
难点：空间两点间的距离公式的推导过程．
教学中教师可引导学生从已有的知识：平面直角坐标系中两点之间的距离公式，再借助于长方体顶点坐标，把平面两点间距离公式推广到空间得到空间两点距离公式．
●教学建议
教学时可以通过长方体顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式，进一步利用勾股定理，不难得出，在空间直角坐标系中，任意一点P(x，y，z)到原点的距离为|OP|＝类比平面直角坐标系中两点间的距离，得到空间任意两点间的距离公式．
●教学流程
创设问题情境，提出问题 引导学生回答问题，让学生掌握空间两点间的距离公式 通过例1及变式训练使学生掌握两点间的距离公式 通过例2及互动探究，使学生掌握由距离公式求点坐标 通过例3及变式训练，距离公式的综合应用 归纳整理，进行课堂小结，整体认识所学知识 完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈、矫正
课标解读
1.会推导和应用长方体对角线长公式(重点)．
2.会推导空间两点间的距离公式(重点)．
3.能用空间两点间的距离公式处理一些简单的问题(难点).
知识
空间两点间的距离公式
【问题导思】
1．在空间直角坐标系中，点M(0，0，3)到原点的距离是多少？
2．点N(3，0，4)到原点的距离为多少？
【提示】 1.|OM|＝3.
2．因为点N在平面xOz上，可利用平面直角坐标系中坐标公式得|ON|＝＝5.
1．长方体的对角线及其长的计算公式
图2－3－10
(1)连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线．(如图2－3－10)
(2)如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长d＝.
2．空间两点间的距离公式
空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离
|AB|＝.
3．中点坐标公式
已知点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，则线段P1P2的中点M的坐标为(，，).
类型1
求空间中两点间的距离
图2－3－11
例1 长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点，建立如图2－3－11所示空间直角坐标系．
(1)写出点D，M，N的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度．
【思路探究】 先写出点的坐标，再利用距离公式求线段的长度．
【自主解答】 (1)∵A(2，0，0)，B(2，2，0)，N是AB的中点，
∴N(2，1，0)．
同理可得M(1，2，3)，
又D是原点，则D(0，0，0)．
(2)|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
规律方法
1．求准点的坐标是解答本题的关键．
2．空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标．在此基础上，利用坐标间的关系代入公式求解．在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解．
变式训练
已知△ABC的三顶点A(1，5，2)，
B(2，3，4)，C(3，1，5)，求△ABC中最短边的边长．
【解】 (1)由空间两点间距离公式得：
|AB|＝＝3，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝.
∴△ABC中最短边是BC，其长度为.
类型2
由距离公式求空间点的坐标
例2 (1)在z轴上求一点使得它到点A(4，5，6)与到点B(－5，0，10)的距离相等；
(2)已知点P到坐标原点的距离等于2，且它的x坐标、y坐标、z坐标均相等，求该点的坐标．
【思路探究】 设出点的坐标，列出相应方程，从而求解．
【自主解答】 (1)由题意可知，设该点的坐标为P(0，0，z)，则|PA|＝，
|PB|＝.
又|PA|＝|PB|，所以z＝6，
所以所求点的坐标为(0，0，6)．
(2)由题意可知P点的坐标为(x，y，z)．
所以|OP|＝＝2.
又x＝y＝z，所以＝2.
所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2.
所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．
规律方法
1．该类题目以空间中任意两点间的距离公式为载体，借助于题设中的等量关系建立含参变量的有关方程(组)，利用方程(组)的观点求解其坐标，充分体现了立体几何中以数助形，以形解数的特征．
2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．
互动探究
若把本例中的(1)“在z轴上求一点”换成“在xOy平面内的直线2x－y＝0上求一点”，其余条件不变，求相应问题．
【解】 设该点的坐标P为(a，2a，0)，
则|PA|＝，
|PB|＝.
又|PA|＝|PB|，∴a＝－，
∴所求点的坐标为(－，－，0).
类型3
距离公式的应用
例3 在xOy平面内的直线2x－y＝0上确定一点M，使它到点P(－3，4，5)的距离最小，并求出最小值．
【思路探究】 设出M坐标，根据距离公式列出|PM|求最小值．
【自主解答】 ∵点M在xOy平面内的直线2x－y＝0上，
∴设点M(a，2a，0)，
则|MP|＝＝＝，
∴当a＝1时，|MP|取最小值3，此时M(1，2，0)，
∴M坐标为(1，2，0)时|PM|最小，最小值为3.
规律方法
1．本题主要利用了距离公式表示|PM|，根据二次函数求其最小值．
2．确定空间一点，主要有以下两种类型：一类是已知有关某点的等量关系，列方程(组)求点坐标；另一类是知某动点的运动变化规律，建立函数模型求距离最值问题．无论哪种类型，根据点的特征，合理地设出点的坐标，不但能减少参数，还能简化计算．
变式训练
在空间直角坐标系中，求到两定点A(2，3，0)，B(5，1，0)距离相等的点的坐标P(x，y，z)满足的条件．
【解】 ∵点P(x，y，z)
由题意可得|PA|＝
|PB|＝
∵|PA|＝|PB|，
∴
＝，
整理得6x－4y－13＝0，
∴P点坐标满足条件为6x－4y－13＝0.
解析法在空间直角坐标系中的应用
图2－3－12
典例 (12分)如图2－3－12所示，正方形ABCD与正方形ABEF的边长都是1，而且平面ABCD与平面ABEF互相垂直．点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0＜a＜)．求：
(1)MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
【思路点拨】 建立空间直角坐标系，将MN的长度转化为空间两点间的距离问题求解．
【规范解答】 (1)∵平面ABCD⊥平面ABEF，
平面ABCD∩平面ABEF＝AB，
AB⊥BE，
∴BE⊥平面ABCD.
∴AB，BC，BE两两垂直.2分
∴以B为原点，以BA，BE，BC所在直线为x轴、y轴和z轴，建立如图所示空间直角坐标系.4分
则M(a，0，1－a)，N(a，a，0).6分
∴|MN|＝
＝＝(0＜a＜).8分
(2)∵|MN|＝，
∴当a＝时，|MN|min＝.
即a＝时，MN的长最小.12分
【思维启迪】 把几何问题通过建系找出相应的坐标转化为代数形式进行运算．
1．对于空间两点间距离公式，既要学会正用求距离，又要学会逆用求坐标，学会用方程的思想求字母的值和函数思想求值．
2．中点坐标公式
在空间给定P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，若P是P1P2的中点，P点的坐标为(x，y，z)，则x＝，y＝，z＝.
1．已知点A(2，3，5)，B(－2，1，3)，则|AB|等于( )
A. B．2 C. D．2
【解析】 |AB|＝＝＝＝2.
【答案】 B
2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线长为6，且底面是边长为4的正方形，则该长方体的高为( )
A．9
B.
C．4
D．2
【解析】 长方体的高h＝＝2.
【答案】 D
3．点P(－1，1，1)到原点的距离是________．
【解析】 |OP|＝＝.
【答案】
4．已知点A(－3，1，4)，则点A关于原点的对称点B，求AB的长．
【解】 A关于原点的对称点B的坐标为(3，－1，－4)，
∴|AB|＝＝＝2.
一、选择题
1.已知A(1，2，3)，B(3，3，m)，C(0，－1，0)，D(2，－1，－1)，则( )
A．|AB|＞|CD|
B．|AB|＜|CD|
C．|AB|≤|CD|
D．|AB|≥|CD|
【解析】 |AB|＝＝≥，
|CD|＝＝，
∴|AB|≥|CD|.
【答案】 D
2．点P(1，2，5)到平面xOy的距离是( )
A．1 B．2 C．5 D．不确定
【解析】 点P(1，2，5)在面xOy内的射影为P′(1，2，0)，∴点P(1，2，5)到面的距离为|PP′|＝5.
【答案】 C
3．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为( )
A．(1，0，0)
B．(－1，0，0)
C．(1，0，0)或(0，－1，0)
D．(1，0，0)或(－1，0，0)
【解析】 ∵点P在x轴上，∴设点P(x，0，0)
由题意|PP1|＝2|PP2|，
∴
＝2，
解得x＝±1.
【答案】 D
4．已知A(x，5－x，2x－1)，B(1，x＋2，2－x)两点，当|AB|取最小值时，x的值为( )
A．19
B．－
C.
D.
【解析】 |AB|＝
＝.
∴当x＝时，|AB|取得最小值．
【答案】 C
5．点P(x，y，z)的坐标满足x2＋y2＋z2＝1，点A(－2，3，)，则|PA|的最小值是( )
A．2
B．3
C．4
D．5
【解析】 x2＋y2＋z2＝1在空间中表示以坐标原点O为球心、1为半径的球面，所以当O、P、A三点共线时，|PA|最小，此时|PA|＝|OA|－|OP|＝|OA|－1＝－1＝4－1＝3.
【答案】 B
二、填空题
6．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)和B(2，－1，6)的距离是________．
【解析】 |AB|＝＝.
【答案】
7．已知A(1，1，1)，B(3，3，3)，点P在y轴上且|PA|＝|PB|，则P点坐标为________．
【解析】 设P(0，y，0)，
∵|PA|＝|PB|，
∴＝，
∴y＝6.
∴P点坐标为(0，6，0)．
【答案】 (0，6，0)
8．已知A(3，5，－7)和点B(－2，4，3)，则线段AB在坐标平面yOz上的射影长度为________．
【解析】 A(3，5，－7)在平面yOz上的射影为A′(0，5，－7)，
B(－2，4，3)在平面yOz上的射影为B′(0，4，3)
∴|A′B′|＝＝
【答案】
三、解答题
图2－3－13
9．如图2－3－13，在棱长分别为2，4，3的长方体ABCD—A1B1C1D1中，利用空间两点间的距离公式，求对角线AD1，AB1和AC1的长．
【解】 以D为坐标原点，DA，DC和DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，
D1(0，0，3)，B1(2，4，3)，C1(0，4，3)，
∴|AD1|＝＝，
|AB1|＝
＝5，
|AC1|＝＝.
10．已知△ABC的三个顶点A(1，5，2)，B(2，3，4)，C(3，1，5)．
求AC边上中线的长度．
【解】 由中点坐标公式得，AC的中点坐标为(2，3，)．
∴AC边上中线的长度为
＝.
11．在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)，试问：在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|？
【解】 假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
因M在y轴上，可设M(0，y，0)，由|MA|＝|MB|，可得
＝，
显然，此式对任意y∈R恒成立，这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.
备选例题
已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)为三角形的三个顶点，求证：三角形ABC为直角三角形．
【思路探究】 先计算三边长，再利用勾股定理的逆定理判断．
【自主解答】 |AB|＝＝，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
∴|AC|2＋|BC|2＝75＋14＝89，又|AB|2＝89，
∴|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
∴∠ACB＝90°，∴△ABC为直角三角形．
规律方法
已知空间中三点的坐标，判断三角形的形状，可考虑利用空间中两点间的距离公式求出这三边，从三边的关系上解决．
备选变式
已知A(－4，2，3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于( )
A．8 B．12 C．16 D．19
【解析】 A(－4，2，3)，A2(4，2，3)，
∴|AA2|＝＝8.
【答案】 A
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专题归纳提升
专题1
待定系数法
待定系数法是一种常用的解题方法，其实质是方程思想，做法是使用一些字母作为待定的系数，然后根据条件列出方程或方程组，解出这些待定的系数．直线和圆的方程常用待定系数法求解．
例1 根据下列条件求圆的方程．
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)；
(2)经过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
【思路点拨】 (1)可设出圆的标准方程；(2)可设出圆的一般方程根据条件求出参数．21世纪教育网
【规范解答】 (1)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有
解得a＝1，b＝－4，r＝2.
∴圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.
∴所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
变式训练
已知圆经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上，求圆的方程．
【解】 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由题意列出方程组
解之得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
专题2
直线方程问题
解题时要根据题目条件灵活选择，注意其适用条件：点斜式和斜截式不能表示斜率不存在的直线，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直和过原点的直线，一般式虽然可以表示任何直线，但要注意A2＋B2≠0，必要时要对特殊情况进行讨论．
例2 从点P(3，－2)发出的光线l，经过直线l1：x＋y－2＝0反射，若反射光线的反向延长线恰好通过点Q(5，1)，求l的方程．
【思路点拨】 求直线l的方程，已知点P在l上，只需在l上再求出一个点即可．
【规范解答】 设点P(3，－2)关于l1：x＋y－2＝0对称的点P1的坐标为(x，y)，则直线l1为线段PP1的垂直平分线，可得方程组
解之得即P1(4，－1)．
于是直线P1Q的方程为2x－y－9＝0.
设直线l1与直线P1Q交于A，
∴∴A(，－)．
于是l的方程为x－2y－7＝0.
变式训练
一条直线被两条直线l1：4x＋y＋6＝0和l2：3x－5y－6＝0截得的线段的中点恰好是坐标原点，求直线l的方程．
【解】 设过原点的直线l交已知两直线于P1，P2，且O为P1，P2的中点，∴P1与P2关于原点对称．
若设P1(x0，y0)，则P2(－x0，－y0)，
∴
①＋②得x0＋6y0＝0.
∴点P1(x0，y0)，P2(－x0，－y0)都满足方程x＋6y＝0，
∵过两点的直线有且只有一条，且该直线过原点，
∴所求直线l的方程即为x＋6y＝0.
专题3
最值问题
最值问题有两个求解思路：一、几何法；二、代数法．几何法：先考查式子的几何意义，然后用几何性质求解；代数法：先建立目标函数，然后通过函数最值的求法求函数的最值．
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地，形如μ＝的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题．
例3 已知点P(x，y)满足关系式：x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求：
(1)的最大值和最小值；
(2)x2＋y2的最大值和最小值．
【思路点拨】 (1)可以看作是圆(x，y)与原点连线的斜率，(2)x2＋y2可看作是(x，y)与原点距离的平方．
(1)
【规范解答】 将x2＋y2－6x－4y＋12＝0配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1，它表示以C(3，2)为圆心，半径r＝1的圆．
(1)设＝k，得y＝kx，所以k表示过原点的直线的斜率，如图(1)所示．
当直线y＝kx为圆C的切线时，取得最值，
所以＝1，解得k＝.
故的最大值为，最小值为.
(2)
(2)设u＝，则u为圆C上的点到原点的距离，如图(2)所示．连接OC并延长交圆于A、B两点，圆心C(3，2)与原点O的距离是|OC|＝.
∴|OA|＝－1，|OB|＝＋1.
∴u＝|OB|2＝(＋1)2＝14＋2，
u＝|OA|2＝(－1)2＝14－2.
故x2＋y2的最大值为14＋2，最小值为14－2.
变式训练
已知点P(x，y)满足关系式x2＋y2－6x－4y＋12＝0，求x－y的最大值与最小值．
【解】 将x2＋y2－6x－4y＋12＝0配方得(x－3)2＋(y－2)2＝1表示以C(3，2)为圆心，半径r＝1的圆．
设x－y＝m，即y＝x－m，m为直线在y轴上截距的相反数，如图所示，则当直线y＝x－m与圆C相切时，x－y取得最值．
∵＝1，
∴m＝1±.
故x－y的最大值为1＋，最小值为1－.
专题4
数形结合思想
数形结合思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，即把代数中的“数”与几何上的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法．数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”，以“数”解“形”．
本章直线的方程和直线与圆的位置关系中有些问题，如距离、倾斜角、斜率、直线与圆相切等都很容易转化成“形”，因此这些问题若利用直观的几何图形处理会收到事半功倍的效果．
例4 当直线y＝k(x－2)＋4和曲线y＝1＋有交点时，实数k的取值范围是( )
A．(，] B．(，]
C．(0，]
D．[，＋∞)
【思路点拨】 根据图形的特点求解．
【解析】 先作出已知曲线y＝1＋的图形，再根据直线y＝k(x－2)＋4过定点(2，4)．
如图所示，曲线是以(0，1)为圆心，r＝2为半径的半圆，直线表示过定点(2，4)的动直线．由图形中关系可求得kPC＝.
【答案】 D
变式训练
点P
(x，y)在以A(－3，1)，B(－1，0)，C(－2，0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是( )
A．[，1]
B．(，1)
C．[，1]
D．(，1)
【解析】 令k＝，则k可以看成过点D(1，2)和(x，y)的直线斜率，显然kAD是最小值，kBD是最大值．由于不包含边界，所以k∈(，1)．
【答案】 D
综合检测(二)
第二章 解析几何初步
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．过两点A(－2，m)，B(m，4)的直线倾斜角是45°，则m的值是( )
A．－1 B．3 C．1 D．－3
【解析】 kAB＝＝tan
45°＝1，∴m＝1.
【答案】 C
2．若两直线ax＋2y＝0和x＋(a－1)y＋(a2－1)＝0平行，则a的值是( )
A．－1或2
B．－1
C．2
D.
【解析】 由a(a－1)－1×2＝0得a＝－1或2，
经检验a＝－1时，两直线重合．
【答案】 C
3．如果圆(x－a)2＋(y－a)2＝8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是( )
A．(－3，－1)∪(1，3)
B．(－3，3)
C．[－1，1]
D．(－3，－1]∪[1，3)
【解析】 数形结合
∵(0，0)、(a、a)所在直线是存在两点的垂直平分线，
∴1＜a＜3或－3＜a＜－1.
【答案】 A
4．在空间直角坐标系O—xyz中，点M的坐标是(1，3，5)，则其关于x轴的对称点的坐标是( )
A．(－1，－3，－5)
B．(－1，－3，5)
C．(1，－3，－5)
D．(1，3，－5)
【解析】 M(1，3，5)关于x轴对称的点，在x轴上的坐标不变，其他是其相反数，即为(1，－3，－5)．
【答案】 C
5．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝2关于直线y＝0对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y－4)2＝2
B．(x－4)2＋(y＋3)2＝2
C．(x＋4)2＋(y－3)2＝2
D．(x－3)2＋(y－4)2＝2
【解析】 圆心(3，－4)关于y＝0对称的点为(3，4)，
∴圆的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝2.
【答案】 D
6．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( )
A.
B．2
C.
D．2
【解析】 由题意得直线方程为y＝x，圆的方程为x2＋(y－2)2＝4，圆心到直线的距离d＝＝1，弦长|AB|＝2＝2.
【答案】 D
7．若直线l1：ax＋(1－a)y－3＝0与直线l2：(a－1)x＋(2a＋3)y－2＝0互相垂直，则a的值是( )
A．－3
B．1
C．－1
D．1或－3
【解析】 ∵l1⊥l2，∴a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，解得a＝1或－3.
【答案】 D
8．若点P(a，b，c)关于原点的对称点是P′，则|PP′|＝( )
A.
B．2
C．|a＋3＋c|
D．2|a＋b＋c|
【解析】 P′(－a，－b，－c)．由两点间距离公式得
|PP′|＝
＝2.
【答案】 B
9．不论a为何数，直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【解析】 由(a－3)x＋2ay＋6＝0，
得(x＋2y)a＋(6－3x)＝0.
令得
∴直线(a－3)x＋2ay＋6＝0恒过定点(2，－1)．从而该直线恒过第四象限．
【答案】 D
10．使得方程
－x－m＝0有实数解，则实数m的取值范围是( )
A．－4≤m≤4
B．－4≤m≤4
C．－4≤m≤4
D．4≤m≤4
【解析】 设f(x)＝，g(x)＝x＋m，在同一坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图形，如图所示．则m是直线y＝x＋m在y轴上的截距．由图可知－4≤m≤4.
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
11．在空间直角坐标系中，已知点A(1，0，2)，B(1，－3，1)，点M在y轴上，且M到A与B的距离相等，则M的坐标是________．
【解析】 ∵M在y轴上，设其坐标为(0，y，0)，由空间两点间的距离公式得
＝，得y＝－1，
∴M的坐标为(0，－1，0)．
【答案】 (0，－1，0)
12．已知点P在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为，则P点坐标为________．
【解析】 点P在直线3x＋y－5＝0上，设P(x0，y0)，
即P(x0，5－3x0)．由点到直线的距离公式，得
＝，解得x0＝2或x0＝1，所以点P的坐标为(2，－1)
或(1，2)．
【答案】 (2，－1)
或(1，2)
13．两平行直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：6x＋ay－5＝0的距离等于__________．
【解析】 由3a－24＝0，得a＝8，
∴l2：3x＋4y－＝0.
∴d＝＝.
【答案】
14．已知方程x2＋y2＋2mx－2my－2＝0表示的曲线恒过第三象限的一个定点A，若点A又在直线l：mx＋ny＋1＝0上，则m＋n＝________.
【解析】 已知方程即x2＋y2－2＋2m(x－y)＝0，该曲线系恒经过圆x2＋y2－2＝0与直线x－y＝0的交点，由得所过定点为(－1，－1)，(1，1)，∵点A为第三象限的点，∴A点的坐标为(－1，－1)，将其代入直线l的方程得(－1)·m＋(－1)·n＋1＝0，即m＋n＝1.
【答案】 1
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(本小题12分)菱形ABCD中，A(－4，7)、C(6，－5)、BC边所在直线过点P(8，－1)，求：
(1)AD边所在直线的方程；
(2)对角线BD所在直线的方程．
【解】 (1)kBC＝2，∵AD∥BC，∴kAD＝2.
∴直线AD方程为y－7＝2(x＋4)，
即2x－y＋15＝0.
(2)kAC＝－，∵菱形对角线互相垂直，
∴BD⊥AC，∴kBD＝，
而AC中点(1，1)，也是BD的中点，
∴直线BD的方程为y－1＝(x－1)，即5x－6y＋1＝0.
图1
16．(本小题12分)如图1所示，⊙O的方程为x2＋y2＝9，点P的坐标为(4，0)，求：
(1)以点P为圆心且与⊙O外切的圆的标准方程；
(2)以点P为圆心且与⊙O内切的圆的标准方程．
【解】 (1)满足条件的圆P是以(4，0)为圆心，1为半径的圆．所以圆P的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.
(2)满足条件的圆P是以(4，0)为圆心，7为半径的圆，
所以圆P的标准方程为(x－4)2＋y2＝49.
17．(本小题12分)已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值．
【解】 (1)x2＋y2－2x－4y＋m＝0，
D＝－2，E＝－4，F＝m，
D2＋E2－4F＝20－4m＞0，m＜5.
(2)将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，y1＋y2＝，y1y2＝，∵OM⊥ON，得出：x1x2＋y1y2＝0，
∴5y1y2－8(y1＋y2)＋16＝0，∴m＝.
18．(本小题14分)已知P是直线l：3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线l上是否存在点P，使∠BPA＝60°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解】 (1)如图所示，△PAC≌△PBC，则有SPACB＝2S△PAC.圆心C(1，1)，半径r＝1.由切线性质得AC⊥PA，则|PA|＝，又|AC|＝1，
∴S△PAC＝|AC|·|PA|＝
.
又P在直线l上，则|PC|的最小值是C到直线l的距离d＝＝3.
∴S△PAC的最小值为＝.
∴四边形PACB面积的最小值是2.
(2)假设直线l上存在点P满足题意．
∵∠APB＝60°，∴|AP|＝|AC|＝，|PC|＝2.
设P(x，y)，则有
整理可得25x2＋40x＋96＝0.
∵Δ＝402－4×25×96<0，
∴这样的点P是不存在的．
必修2
模块高考热点透视
模块高考热点透视
第一章 立体几何初步
【命题趋势】 从近几年的高考试题看，本章主要考查空间几何体的结构，三视图与几何体表面积、体积的计算，空间直线、平面的位置关系、空间中平行与垂直关系.
考向1
空间几何体的结构和三视图
根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物图．
图1
真题印证
1．某三棱锥的三视图如图2所示，该三棱锥的表面积是( )
图2
A．28＋6 B．30＋6
C．56＋12
D．60＋12
【命题意图】 本题主要考查三视图和几何体表面积相结合的计算．
【解析】 由几何体的三视图可知，该三棱锥的直观图如图所示，
其中AE⊥平面BCD，CD⊥BD，且CD＝4，BD＝5，BE＝2，ED＝3，AE＝4.
∵AE＝4，ED＝3，∴AD＝5.
又CD⊥BD，CD⊥AE，
则CD⊥平面ABD，
故CD⊥AD，
所以AC＝且S△ACD＝10.
在Rt△ABE中，AE＝4，BE＝2，故AB＝2.
在Rt△BCD中，BD＝5，CD＝4，故S△BCD＝10，且BC＝.
在△ABD中，AE＝4，BD＝5，
故S△ABD＝10.
在△ABC中，AB＝2，BC＝AC＝，
则AB边上的高h＝6，
故S△ABC＝×2×6＝6.
因此，该三棱锥的表面积为S＝30＋6.
【答案】 B
2．一个几何体的三视图如图3所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
图3
【命题意图】 本题考查了由三视图还原几何体及几何体的体积计算．
【解析】 由三视图知，几何体下面是两个球，球半径为；上面是长方体，其长、宽、高分别为6、3、1，所以V＝π××2＋1×3×6＝9π＋18.
【答案】 18＋9π
对点练习
1．一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等，那么这个几何体不可以是( )
A．球
B．三棱锥
C．正方体
D．圆柱
【解析】 球、正方体的三视图形状都相同，大小均相等，首先排除选项A和C.对于如图所示三棱锥O－ABC，当OA、OB、OC两两垂直且OA＝OB＝OC时，其三视图的形状都相同，大小均相等，故排除选项B.
不论圆柱如何放置，其三视图的形状都不会完全相同，故答案选D.
【答案】 D
2．某几何体的三视图如图4所示，它的体积为( )
图4
A．12π
B．45π
C．57π
D．81π
【解析】 由三视图知该几何体是由圆柱、圆锥两几何体组合而成，直观图如图所示．
圆锥的底面半径为3，高为4，圆柱的底面半径为3，高为5，
∴V＝V圆锥＋V圆柱＝Sh1＋Sh2＝×π×32×4＋π×32×5＝57π.
【答案】 C
考向2
空间平行、垂直关系
如图5，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB点E是棱PB的中点，求证：AE⊥PC.
图5
真题印证
1．如图6，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD.
图6
(1)证明：DC1⊥BC；
(2)求二面角A1－BD－C1的大小．
【命题意图】 本题综合考查了垂直关系及二面角大小的求解，考查学生的综合计算能力．
【解】 (1)证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形．由于D为AA1的中点，故DC＝DC1.
又AC＝AA1，可得DC＋DC2＝CC，所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD，DC∩BD＝D，所以DC1⊥平面BCD.
因为BC 平面BCD，所以DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1，且BC⊥CC1，则BC⊥平面ACC1A1，所以CA，CB，CC1两两相互垂直．
以C为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
由题意知A1(1，0，2)，B(0，1，0)，D(1，0，1)，C1(0，0，2)．
则＝(0，0，－1)，＝(1，－1，1)，＝(－1，0，1)．
设n＝(x，y，z)是平面A1B1BD的法向量，则
即
可取n＝(1，1，0)．
同理，设m＝(x，y，z)是平面C1BD的法向量，则
即
可取m＝(1，2，1)．
从而cos〈n，m〉＝＝.
故二面角A1－BD－C1的大小为30°.
图7
2．如图7，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，AC＝2，PA＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC.
证明：PC⊥平面BED.
【命题意图】 本题主要考查线面垂直问题．
【证明】 因为底面ABCD为菱形，
所以BD⊥AC.
又PA⊥底面ABCD，
所以PC⊥BD.
如图，设AC∩BD＝F，连接EF.
因为AC＝2，
PA＝2，PE＝2EC，
故PC＝2，EC＝，FC＝，
从而＝，＝.
因为＝，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°.
由此知PC⊥EF.
因为PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.
对点练习
1．设l是直线，α，β是两个不同的平面( )
A．若l∥α，l∥β，则α∥β
B．若l∥α，l⊥β，则α⊥β
C．若α⊥β，l⊥α，则l⊥β
D．若α⊥β，l∥α，则l⊥β
【解析】 设α∩β＝a，若直线l∥a，且l α，l β，则l∥α，l∥β，因此α不一定平行于β，故A错误；由于l∥α，故在α内存在直线l′∥l，又因为l⊥β，所以l′⊥β，故α⊥β，所以B正确；若α⊥β，在β内作交线的垂线l，则l⊥α，此时l在平面β内，因此C错误；已知α⊥β，若α∩β＝a，l∥a，且l不在平面α，β内，则l∥α且l∥β，因此D错误．
【答案】 B
2．如图8，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．
图8
求证：(1)平面ADE⊥平面BCC1B1；
(2)直线A1F∥平面ADE.
【证明】 (1)因为ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.
又AD 平面ABC，
所以CC1⊥AD.
又因为AD⊥DE，DE 平面BCC1B1，CC1∩DE＝E，
所以AD⊥平面BCC1B1.
又AD 平面ADE，
所以平面ADE⊥平面BCC1B1.
(2)因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.
因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F 平面A1B1C1，
所以CC1⊥A1F.
又因为CC1，B1C1 平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，
所以A1F⊥平面BCC1B1.
由(1)知AD⊥平面BCC1B1，
所以A1F∥AD.
又AD 平面ADE，A1F 平面ADE，所以A1F∥平面ADE.
第二章 解析几何初步
【命题趋势】 从近几年的高考试题看，本章主要考查直线方程的求解与应用；两直线平行与垂直的条件，平面解析几何中的距离公式；圆的标准方程与一般方程；直线和圆的位置关系；圆与圆的位置关系，考查的主要方法有数形结合，坐标法，化归与转化，待定系数法，代入法等.
考向3
直线与圆的位置关系
判断下列直线与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系．
(1)x－y－2＝0；(2)x＋2y－1＝0.
真题印证
1．已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3，0)的直线，则( )
A．l与C相交 B．l与C相切
C．l与C相离
D．以上三个选项均有可能
【命题意图】 考查直线与圆的位置关系及两点距离公式．
【解析】 将点P(3，0)的坐标代入圆的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴点P(3，0)在圆内．
∴过点P的直线l定与圆C相交．
【答案】 A
2．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
【命题意图】 本题主要考查了直线与圆的位置关系及点到直线的距离公式．
【解析】 可转化为圆C的圆心到直线y＝kx－2的距离不大于2.
圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4，0)．由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即≤2.整理，得3k2－4k≤0.解得0≤k≤.故k的最大值为.
【答案】
对点练习
1．在平面直角坐标系xOy中，直线3x＋4y－5＝0与圆x2＋y2＝4相交于A、B两点，则弦AB的长等于( )
A．3
B．2
C.
D．1
【解析】 圆x2＋y2＝4的圆心为(0，0)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y－5＝0的距离为d＝＝1.
∴|AB|＝2＝2＝2.
【答案】 B
2．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A．[－3，－1]
B．[－1，3]
C．[－3，1]
D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】 由题意知，圆心为(a，0)，半径r＝.
若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径，
即≤，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1，故选C.
【答案】 C
必修2
模块学习评价
模块学习评价
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线－＝1的倾斜角的大小为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】 设直线斜率k＝，∴tan
α＝，∴α＝30°.
【答案】 A
2.如图1所示，空心圆柱体的主视图是( )
图1
【解析】 看不到的部分用虚线表示，主视图应是矩形．
【答案】 C
3．已知点A(1，2)、B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．4x＋2y＝5
B．4x－2y＝5
C．x＋2y＝5
D．x－2y＝5
【解析】 AB的中点坐标为(2，)，kAB＝－，
∴AB中垂线的斜率为2，
∴中垂线方程为y－＝2(x－2)即4x－2y＝5.
【答案】 B
4．空间直角坐标系中，点A(－3，4，0)与点B(x，－1，6)的距离为，则x等于( )
A．2
B．－8
C．2或－8
D．8或2
【解析】 由空间两点距离公式得
＝，∴x＝2或－8.
【答案】 C
5．已知m是平面α的一条斜线，点A α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形中可能出现的是( )
A．l∥m，l⊥α
B．l⊥m，l⊥α
C．l⊥m，l∥α
D．l∥m，l∥α
【解析】 如图l可以垂直m，且l平行α.
【答案】 C
6．直线x－y＋1＝0与圆(x＋1)2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切
B．直线过圆心
C．直线不过圆心但与圆相交
D．相离
【解析】 (x＋1)2＋y2＝1的圆心为(－1，0)，圆心到直线的距离：d＝＝0.
∴直线x－y＋1＝0过圆心．
【答案】 B
7．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为7，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7
B．4
C．9
D．3
【解析】 S圆台侧＝π(r＋3r)l＝84π，又l＝7.
∴r＝3.
【答案】 D
8．给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面互相平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直；③垂直于同一直线的两条直线互相平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是( )
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④
【解析】 根据面面垂直的判定定理，知②正确．
由若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线必垂直于另一平面，知④正确．
【答案】 D
9．圆x2＋y2－8x＋6y＋16＝0与圆x2＋y2＝16的位置关系是( )
A．相交
B．相离
C．内切
D．外切
【解析】 设圆x2＋y2＝16的圆心为O，则O(0，0)，r1＝4.
设圆x2＋y2－8x＋6y＋16＝0的圆心为C，半径为r2，则C(4，－3)，r2＝3.
∴|OC|＝＝5，
∴|r1－r2|＜|OC|＜r1＋r2，
∴两圆相交．
【答案】 A
图2
10．如图2，在斜三棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，过C1作C1H⊥底面ABC，垂足为H，则点H在( )
A．直线AC上
B．直线AB上
C．直线BC上
D．△ABC内部
【解析】 ∵BC1⊥AC，BA⊥AC，BC1∩BA＝B，
∴AC⊥平面BC1A，∴平面BAC⊥平面BC1A，
∵C1H⊥平面ABC且H为垂足，平面BAC∩平面BC1A＝AB，
∴H∈AB.
【答案】 B
11．如图3，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为( )
图3
A．6
B．9
C．12
D．18
【解析】 由题意知，此几何体是三棱锥，其高h＝3，相应底面面积为S＝×6×3＝9，
∴V＝Sh＝×9×3＝9.
【答案】 B
12．若直线y＝kx－1与曲线y＝－有公共点，则k的取值范围是( )
A．(0，]
B．[，]
C．[0，]
D．[0，1]
【解析】 曲线y＝－可化为(x－2)2＋y2＝1它表示以(2，0)为圆心，1为半径的x轴下方的半圆，直线y＝kx－1过定点(0，－1)，要使直线与曲线有公共点(如图)，易知0≤k≤1.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)
13．已知直线3x＋4y－3＝0与直线6x＋my＋11＝0平行，则实数m的值是________．
【解析】 由条件可知，＝≠，
解得m＝8.
【答案】 8
14．已知A(1，－2，1)，B(2，2，2)，点P在z轴上，且|PA|＝|PB|，则点P的坐标为________．
【解析】 依题意可设点P(0，0，z)，
∵|PA|＝|PB|，
∴
＝
解得z＝3，∴P(0，0，3)．
【答案】 (0，0，3)
15．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与某一个球的直径相等，这时圆柱、圆锥、球的体积之比为________．
图4
【解析】 设球的直径为d，
则据题意V圆柱＝π()2·d＝；
V圆锥＝π()2·d＝；
V球＝π()3＝.
∴V圆柱∶V圆锥∶V球＝3∶1∶2.
【答案】 3∶1∶2
16．过点A(m，2)总可以作两条直线和圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4相切，则实数m的取值范围是________．
【解析】 由题意，点A在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的外部，故(m＋1)2＋(2－2)2＞4，即|m＋1|＞2，
解得m＞1或m＜－3.
【答案】 (－∞，－3)∪(1，＋∞)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．(本小题10分)已知四棱锥P—ABCD，其三视图和直观图如图5，求该四棱锥的体积．
图5
【解】 由三视图知底面ABCD为矩形，AB＝2，BC＝4，顶点P在面ABCD内的射影为BC中点E，
即棱锥的高为2，
则体积VP—ABCD＝SABCD×PE＝×2×4×2＝.
18．(本小题12分)(2013·温州高一检测)已知直线l过两直线3x－y－10＝0和x＋y－2＝0的交点，且直线l与点A(1，3)和点B(5，2)的距离相等，求直线l的方程．
【解】 由得交点为(3，－1)，
当直线l斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，
则＝，
解得k＝－，
所以直线l的方程为y＋1＝－(x－3)，
即x＋4y＋1＝0；
又当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝3，也满足题意．
故x＋4y＋1＝0或x＝3为所求．
图6
19．(本小题12分)(2013·济宁高一检测)如图6，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC＝AD，DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：(1)AF∥平面BCE；
(2)平面BCE⊥平面CDE.
【证明】 (1)因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，所以AB∥DE.
取CE的中点G，连接BG，GF，
因为F为CD的中点，
所以GF∥ED∥BA，
GF＝ED＝BA，
从而ABGF是平行四边形，于是AF∥BG.
因为AF 平面BCE，BG?平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
(2)因为AB⊥平面ACD，AF?平面ACD，
所以AB⊥AF，即ABGF是矩形，所以AF⊥GF.
又AC＝AD，所以AF⊥CD.
而CD∩GF＝F，所以AF⊥平面GCD，
即AF⊥平面CDE.
因为AF∥BG，所以BG⊥平面CDE.
因为BG?平面BCE，所以平面BCE⊥平面CDE.
20．(本小题12分)若一圆经过直线l：2x＋y＋4＝0与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0有交点．求
(1)面积最小的圆的方程；
(2)过点(2，－1)的圆的方程．
【解】 设过圆C和直线l的交点的圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1＋λ(2x＋y＋4)＝0.
(1)[x＋(1＋λ)]2＋(y＋)2＝，
∵圆的面积最小，∴只需r2最小．
∵r2＝＝(λ－)2＋≥，
∴当λ＝时，r2有最小值.
∴所求圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1＋(2x＋y＋4)＝0，
即5x2＋5y2＋26x－12y＋37＝0.
(2)由于圆过点(2，－1)，
∴22＋1＋2×2－4×(－1)＋1＋λ(2×2－1＋4)＝0，
∴14＋7λ＝0，即λ＝－2，
∴所求圆的方程为
x2＋y2＋2x－4y＋1－2(2x＋y＋4)＝0，
即x2＋y2－2x－6y－7＝0.
图7
21．(本小题12分)在三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D，E分别为BC，CA的中点．
(1)试在BC上求作一点F，使AD∥平面PEF，并证明你的结论；
(2)设AB＝PA＝2，对于(1)中的点F，求三棱锥B—PEF的体积．
【解】 (1)证明：CD的中点F即为所求．证明如下：
取CD的中点F，
∵E，F分别为CA，CD的中点，
∴AD∥EF.又AD 平面PEF，EF?平面PEF，
∴AD∥平面PEF.
(2)∵VB—PEF＝VP—BEF，
又S△BEF＝BF×EF＝×BC×AD＝.
∴VB—PEF＝VP—BEF＝S△BEF×PA＝.
22．(本小题12分)(2013·长沙高一检测)已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
【解】 (1)设点P的坐标为(x，y)，
则
＝2.
化简可得(x－5)2＋y2＝16，
此即为所求．
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图，则直线l是此圆的切线，连接CQ，
则|QM|＝＝.
当CQ⊥l1时，|CQ|取最小值，
|CQ|＝＝4，
∴|QM|最小＝4.