2.3.1-2.3.2 空间直角坐标系的建立和空间直角坐标系中点的坐标 学案1（含答案）

2.3.1
空间直角坐标系的建立
2.3.2
空间直角坐标系中点的坐标
学案
　课前预习导学
目标导航
学习目标
重点难点
1．通过数轴与数，平面直角坐标系与有序实数对，深刻感受空间直角坐标系建立的背景，体会建立空间直角坐标系的必要性．2．理解空间直角坐标系中点的坐标表示．会根据条件建立适当的空间直角坐标系，并能求出点的坐标.3.记住空间中的点关于特殊点、线、面对称的点的坐标.
重点：空间直角坐标系的建立，空间直角坐标系中点的坐标表示．难点：空间直角坐标系中点的坐标表示．空间中的点关于特殊点、线、面对称的点的坐标.疑点：建立空间直角坐标系的原则：垂直性和对称性原则.
预习导引
1．建立空间直角坐标系
如图，在空间直角坐标系中，O叫作原点，x，y，z轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫作坐标平面，x，y轴确定的平面记作xOy平面，y，z轴确定的平面记作yOz平面，x，z轴确定的平面记作
xOz平面．
温馨提示：一般地，将x轴和y轴放置在水平面上，那么z轴就垂直于水平面，它们的方向通常符合右手螺旋法则．这样我们建立的坐标系为右手系．
预习交流1
如何理解空间直角坐标系？
提示：(1)空间直角坐标系建立的流程图
↓
↓
(2)将空间直角坐标系画在纸上时，
①x轴与y轴成135°(或45°)，x轴与z轴成135°(或45°)．
②y轴垂直于z轴，y轴和z轴的单位长度相等，x轴上的单位长度则等于y轴单位长度的.
2．空间直角坐标系中点的坐标
在空间直角坐标系中，对于空间任意一点P，都可以用一个三元有序数组(x，y，z)来表示，其中第一个是x坐标，第二个是y坐标，第三个是z坐标；反之，任何一个三元有序数组(x，y，z)，都可以确定空间中的一个点P.这样，在空间直角坐标系中，点与三元有序数组之间建立了一一对应的关系．
预习交流2
在空间直角坐标系中，给定点的坐标，如何确定点的位置呢？
提示：已知点P(x，y，z)，可以先确定点P′(x，y，0)在xOy平面上的位置．|P′P|＝|z|，如果z＝0，则点P即点P′；如果z＞0，则点P与z轴的正半轴在xOy平面的同侧；如果z＜0，则点P与z轴的负半轴在xOy平面的同侧．
(1)如图，在空间直角坐标系中，OABC D′A′B′C′是边长为1的正方体，写出下面三个点的坐标：A______；B′______；C′______.
(2)点M(3，0，6)位于(　　)．
A．z轴上
B．xOy平面内
C．xOz平面内
D．yOz平面内
提示：(1)(1，0，0)　
(1，1，1)　(0，1，1)　(2)C
课堂合作探究
问题导学
1．确定空间中任一点的坐标
活动与探究1
如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，棱长为4，E是A1C1的中点，且|BF|＝3|FB1|.建立空间直角坐标系并求E，F的坐标．
思路分析：根据正方体的特点，建立适当的空间直角坐标系，然后对特殊点，可直接写出坐标；对于非特殊点，首先找出所求点在xOy平面上的投影点，然后再确定该点的z坐标，从而确定该点的坐标．
解：如图所示，以D点为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．E点在xOy平面上的投影为AC的中点H(2，2，0)，
又|EH|＝4，∴E点的z坐标为4.
因此E点的坐标为(2，2，4)．
F点在平面xOy上的投影为B(4，4，0)，
∵|BB1|＝4，|BF|＝3|FB1|，
∴|BF|＝3，即点F的z坐标为3.
∴点F的坐标为(4，4，3)．
迁移与应用
1．在空间直角坐标系中，过点P(2，
3，7)且与y轴垂直的平面与y轴的交点坐标为______，点P在xOy平面上的投影坐标为______，在yOz平面上的投影坐标是______．
答案：(0，3，0)　(2，3，0)　(0，3，7)
2．在长方体ABCD A1B1C1D1中，|AD|＝3，|AB|＝4，|AA1|＝2，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出D1，C，A1，B1四点的坐标．
解：D1(0，0，2)，C(0，4，0)，A1(3，0，2)，B1(3，4，2)．
名师点津
1.建立空间直角坐标系时应遵循以下原则：
(1)让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内；
(2)充分利用几何图形的对称性．
2．对于正方体或长方体，一般取相邻的三条棱为x，y，z轴建立空间直角坐标系．确定某点的坐标时，一般先找这一点在某一坐标平面的投影点，确定其两个坐标，再确定第三个坐标．
2.求空间对称点的坐标
活动与探究2
在空间直角坐标系中，有一点P(－2，1，4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
思路分析：类比平面直角坐标系中点的对称问题，掌握对称点的变化规律即可求解．
解：(1)由于点P关于x轴对称后，它的x坐标不变，y坐标，z坐标变为原来的相反数，所以对称点为P1(－2，－1，－4)．
(2)由于点P关于xOy平面对称后，它的x坐标，y坐标不变，z坐标变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2，1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12，所以P3(6，－3，－12)．
活动与探究3
已知点A(－4，2，3)关于坐标原点的对称点为A1，A1关于xOz平面的对称点为A2，A2关于z轴的对称点为A3，求线段AA3的中点M的坐标．
解：∵点A(－4，2，3)关于坐标原点的对称点A1的坐标为(4，－2，－3)，点A1(4，－2，－3)关于xOz平面的对称点A2的坐标为(4，2，－3)，点A2(4，2，－3)关于z轴的对称点A3的坐标为(－4，－2，－3)，∴AA3中点M的坐标为(－4，0，0)．
迁移与应用
1．点(3，－2，1)关于yOz平面的对称点是________，关于x轴的对称点是________，关于z轴的对称点是________．
答案：(－3，－2，1)　(3，2，－1)　(－3，2，1)
2．已知A(－1，2，7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB的中点M关于原点对称的点的坐标是________．
解析：线段AB的中点M的坐标是(－2，－4，－1)，
∴M关于原点对称的点的坐标为(2，4，1)．
答案：
(2，4，1)
名师点津
关于坐标平面、坐标轴及原点对称的点有以下特点：
(1)P(x，y，z)P1(x，y，－z)，
P(x，y，z)P2(－x，y，z)，
P(x，y，z)P3(x，－y，z)；
(2)P(x，y，z)P4(x，－y，－z)，
P(x，y，z)P5(－x，y，－z)，
P(x，y，z)P6(－x，－y，z)；
(3)P(x，y，z)P7(－x，－y，－z)．
求对称点问题可以用“关于谁对称谁保持不变，其余坐标相反”的口诀来记忆．
当堂检测
1．点P(3，0，－1)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)．
A．y轴上
B．xOy平面上
C．xOz平面上
D．yOz平面上
答案：C
2．点M(0，3，0)在空间直角坐标系中的位置是在(　　)．
A．x轴上
B．y轴上
C．z轴上
D．xOz平面上
答案：B
3．在空间直角坐标系中，P(2，3，4)，Q(－2，－3，－4)两点的位置关系是(　　)．
A．关于x轴对称
B．关于yOz平面对称
C．关于原点对称
D．以上都不对
答案：C
4．点M(1，2，4)关于x轴对称的点的坐标是________，关于z轴对称的点的坐标是________，关于原点对称的点的坐标是________，关于xOy平面对称的点的坐标是________，关于yOz平面对称的点的坐标是________．
答案：(1，－2，－4)　(－1，－2，4)　(－1，－2，－4)
(1，2，－4)　(－1，2，4)
5．已知棱长为1的正方体ABCD A′B′C′D′，建立如图所示的不同空间直角坐标系．试分别写出正方体各顶点的坐标．
解：(1)因为D′是原点，A′，C′分别在x轴，y轴的正半轴上，D在z轴的负半轴上，且正方体的棱长为1，所以A′(1，0，0)，C′(0，1，0)，D(0，0，－1)，D′(0，0，0)，B′(1，1，0)，A(1，0，－1)，C(0，1，－1)，B(1，1，－1)．
(2)因为正方体ABCD A′B′C′D′的棱长为1，从而|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OD|＝.又A，B，C，D都在坐标轴上，所以点A，B，C，D.又点A′，B′，C′，D′的z坐标都为1，从而A′，B′，C′，D′.