2.3.3 空间两点间的距离公式 同步练习1（含答案）

2.3.3
空间两点间的距离公式
同步练习
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.点A(3，5，-6)在z轴上的投影为B，则|AB|=(
)
(A)5
(B)6
(C)
(D)
2.点P(x，2，1)到Q(1，1，2)，R(2，1，1)的距离相等，则x=(
)
(A)
(B)1
(C)
(D)2
3.设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB中点M到点C的距离为(
)
(A)
(B)
(C)
(D)
4.在空间直角坐标系中，正方体ABCD
-A1B1C1D1的顶点A(3，-1，2)，其中心M的坐标为(0，1，2)，则该正方体的棱长为(
)
(A)10
(B)
(C)
(D)
二、填空题(每小题4分，共8分)
5.在空间直角坐标系O-xyz中，满足条件x2+y2+z2≤1的点(x，y，z)构成的空间区域的体积为V，则V=________.
6.(易错题)点M(4，-3，5)到x轴的距离为m，到xOy平面的距离为n，则m2+n=
_________.
三、解答题(每小题8分，共16分)
7.如图所示，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，P，Q分别是D′B，B′C的中点，求PQ的长.
8.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，
且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移
动，点N在BF上移动，若CM=BN=a(0＜a＜)．
(1)求MN的长；
(2)当a为何值时，MN的长最小．
【挑战能力】
(10分)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，以正方体的三条棱所在直线为轴建立空间直角坐标系O
-xyz.
(1)若点P在线段BD1上，且满足
3|BP|=|BD1|，试写出点P的坐标，并
写出P关于y轴的对称点P′的坐标；
(2)在线段C1D上找一点M，使得点M
到点P的距离最小，求出点M的坐标.
答案解析
1.【解析】选C.点A(3，5，-6)在z轴上的投影为B(0，0，-6)，所以
2.【解析】选B.
因为|PQ|=|PR|，所以(x-1)
2+2=(x-2)
2+1，
解得x=1.
【变式训练】已知点A(a，0，1)，B
(3，3，5)间的距离为5，则实数a=_________.
【解析】|AB|
解得a=3.
答案:3
3.【解析】选C.由中点坐标公式可得M(2，，3)，再由两点间的距离公式可得
4.【解析】选B.由A(3，-1，2)，中心M(0，1，2)，所以C1(-3，
3，2).正方体的对角线长为AC1=
所以正方体棱长为
5.【解析】由题意知，
满足条件x2+y2+z2≤1的点(x，y，z)构成的空间区域为半径为1的一个球，V=π.
答案:
π
6.【解析】由题意n=5，
所以m2+n=34+5=39.
答案:39
【误区警示】解决此类问题容易把点到坐标轴的距离与点到坐标平面的距离混淆，导致出现计算错误.
7.【解析】以D为坐标原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，由题意得，B(a，a，0)，
D′(0，0，a)，
∴P(，，).
又∵C(0，a，0)，B′(a，a，a)，
∴Q(，a，
).
∴|PQ|=
8.【解析】(1)如图，以点B为原点，BA，BE，BC所在直线分别为x轴，y轴，
z轴，建立空间直角坐标系．
可求得M()，
N()．
∴
(2)由(1)知
∴当时，|MN|=
，即M，N分别移动到AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为.
【挑战能力】
【解题指南】第(1)问借助3|BP|=|BD1|及平面几何的知识求点P的坐标，利用对称关系求点P′的坐标；第(2)问利用空间两点间的距离公式建立点M到点P的距离的函数，并用函数的思想求其最小值，即此时的点M的坐标.
【解析】(1)由题意知P的坐标为()，
P关于y轴的对称点P′的坐标为().
(2)设线段C1D上一点M的坐标为(0，m，m)，则有
当m=时|MP|取到最小值，
所以点M为(0，，).