2.3.3 空间两点间的距离公式 同步练习3（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.3.3 空间两点间的距离公式 同步练习3（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 181.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-23 19:03:30 | ||
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文档简介
2.3.3
空间两点间的距离公式
同步练习
1．已知A(－1，2，7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB中点关于原点对称的点的坐标是( )．
A．(4，8，2)
B．(4，2，8)
C．(4，2，1)
D．(2，4，1)
解析 AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2，4，1)．
答案 D
2．关于空间直角坐标系，下列叙述正确的是( )．
A．点P(x，y，z)中x，y，z的位置是可以互换的
B．空间直角坐标系中的点与三元有序数组(x，y，z)具有一一对应关系
C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分成了八个部分
D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标、位置可以相同
解析 选项A中，x，y，z的位置不可以互换；在空间中是三个坐标平面把空间分成了八部分而不是三条坐标轴，故C选项错误；对空间中的一点，在不同的坐标系中所对应的三元有序数组不同，位置就不同，D选项也错误，故选B.
答案 B
3．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离为( )．
A.
B.
C.
D.
解析 ∵AB的中点M的坐标为，故|CM|＝
＝
＝，故选C.
答案 C
4．点M(4，－3，
5)到x轴的距离为m，到xOy面的距离为n，则m2＋n＝________.
解析 ∵点M(4，－3，5)到x轴的距离为m＝＝，到xOy面的距离为n＝5，∴m2＋n＝39.
答案 39
5．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO
A′B′C′D′，A′C的中点E到AB的中点F的距离为________．
解析 由图易知A(a，0，0)，B(a，a，0)，
C(0，a，0)，A′(a，0，a)．
∴F，E.
∴|EF|＝
＝
＝a.
答案 a
6．(1)在z轴上求一点，使它到点A(4，5，6)与到点B(－7，3，11)的距离相等；
(2)已知点P到坐标原点的距离等于2，且它的坐标分量相等，求该点坐标．
解 (1)设z轴上一点P(0，0，z)，
则|PA|＝，
|PB|＝，
由|PA|＝|PB|，得z＝，
∴所求点的坐标为.
(2)设点P的坐标为(x，x，x)，
则d|OP|＝＝＝2，
∴x2＝4，x＝±2，
所求点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．
7．已知△ABC顶点坐标分别为A(－1，2，3)，B(2，－2，3)，
C，则△ABC的形状为( )．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析 ∵|AB|＝5，|BC|＝，|AC|＝，
∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，∴△ABC为直角三角形．
答案 C
8．已知A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则A、B两点间的距离的最小值是( )．
A.
B.
C.
D.
解析 |AB|2＝(t＋1)2＋(1－2t)2＋02＝5t2－2t＋2＝52＋≥，∴|AB|min＝，故选C.
答案 C
9．已知平行四边形ABCD，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．
解析 由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点M，设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，∴x＝5，y＝13，z＝－3，所以D(5，13，－3)．
答案 (5，13，－3)
10．如图，已知正方体ABCD
A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，则MN的长________．
解析 以D为原点，建立空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为a，
所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，
C′(0，a，a)，D′(0，0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′中点O′，
所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点．故N.
根据空间两点间的距离公式，
可得|MN|＝＝a.
答案 a
11．建立适当的坐标系，确定棱长为2的正四面体各顶点的坐标．
解 以BC边中点O为原点，射线OC，OD分别为x轴，y轴的正半轴建立如图所示坐标系，则B(－1，0，0)，C(1，0，0)，D(0，
，0)．由立体几何知识可知，A在平面BCD内射影为△BCD的中心M，
∴M，|MD|＝.
又AD＝2，∴|AM|＝，
∴A.
12．(创新拓展)如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCD
A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．
(1)当2|C1Q|＝|QC|时，求|PQ|；
(2)当点Q在棱CC1上移动时，探究|PQ|的最小值．
解 据题意，知B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
故BD1的中点P.
由于点Q在CC1上，故Q点坐标可设为(0，1，a)(0≤a≤1)．
(1)由2|C1Q|＝|QC|，易知|QC|＝，故Q.
从而|PQ|＝
＝.
(2)据题意，知|PQ|＝
＝
(0≤a≤1)．
当a＝时，2＋取得最小值．
从而|PQ|min＝，此时Q.
空间两点间的距离公式
同步练习
1．已知A(－1，2，7)，B(－3，－10，－9)，则线段AB中点关于原点对称的点的坐标是( )．
A．(4，8，2)
B．(4，2，8)
C．(4，2，1)
D．(2，4，1)
解析 AB中点坐标为(－2，－4，－1)，∴关于原点对称的点的坐标为(2，4，1)．
答案 D
2．关于空间直角坐标系，下列叙述正确的是( )．
A．点P(x，y，z)中x，y，z的位置是可以互换的
B．空间直角坐标系中的点与三元有序数组(x，y，z)具有一一对应关系
C．空间直角坐标系中的三条坐标轴把空间分成了八个部分
D．某点在不同的空间直角坐标系中的坐标、位置可以相同
解析 选项A中，x，y，z的位置不可以互换；在空间中是三个坐标平面把空间分成了八部分而不是三条坐标轴，故C选项错误；对空间中的一点，在不同的坐标系中所对应的三元有序数组不同，位置就不同，D选项也错误，故选B.
答案 B
3．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离为( )．
A.
B.
C.
D.
解析 ∵AB的中点M的坐标为，故|CM|＝
＝
＝，故选C.
答案 C
4．点M(4，－3，
5)到x轴的距离为m，到xOy面的距离为n，则m2＋n＝________.
解析 ∵点M(4，－3，5)到x轴的距离为m＝＝，到xOy面的距离为n＝5，∴m2＋n＝39.
答案 39
5．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO
A′B′C′D′，A′C的中点E到AB的中点F的距离为________．
解析 由图易知A(a，0，0)，B(a，a，0)，
C(0，a，0)，A′(a，0，a)．
∴F，E.
∴|EF|＝
＝
＝a.
答案 a
6．(1)在z轴上求一点，使它到点A(4，5，6)与到点B(－7，3，11)的距离相等；
(2)已知点P到坐标原点的距离等于2，且它的坐标分量相等，求该点坐标．
解 (1)设z轴上一点P(0，0，z)，
则|PA|＝，
|PB|＝，
由|PA|＝|PB|，得z＝，
∴所求点的坐标为.
(2)设点P的坐标为(x，x，x)，
则d|OP|＝＝＝2，
∴x2＝4，x＝±2，
所求点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．
7．已知△ABC顶点坐标分别为A(－1，2，3)，B(2，－2，3)，
C，则△ABC的形状为( )．
A．等腰三角形
B．等边三角形
C．直角三角形
D．等腰直角三角形
解析 ∵|AB|＝5，|BC|＝，|AC|＝，
∴|AB|2＝|BC|2＋|AC|2，∴△ABC为直角三角形．
答案 C
8．已知A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，则A、B两点间的距离的最小值是( )．
A.
B.
C.
D.
解析 |AB|2＝(t＋1)2＋(1－2t)2＋02＝5t2－2t＋2＝52＋≥，∴|AB|min＝，故选C.
答案 C
9．已知平行四边形ABCD，且A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，－5)，则顶点D的坐标为________．
解析 由平行四边形对角线互相平分的性质知，AC的中点即为BD的中点，AC的中点M，设D(x，y，z)，则＝，4＝，－1＝，∴x＝5，y＝13，z＝－3，所以D(5，13，－3)．
答案 (5，13，－3)
10．如图，已知正方体ABCD
A′B′C′D′的棱长为a，M为BD′的中点，点N在A′C′上，且|A′N|＝3|NC′|，则MN的长________．
解析 以D为原点，建立空间直角坐标系．
因为正方体的棱长为a，
所以B(a，a，0)，A′(a，0，a)，
C′(0，a，a)，D′(0，0，a)．
由于M为BD′的中点，取A′C′中点O′，
所以M，O′.
因为|A′N|＝3|NC′|，所以N为A′C′的四等分点，从而N为O′C′的中点．故N.
根据空间两点间的距离公式，
可得|MN|＝＝a.
答案 a
11．建立适当的坐标系，确定棱长为2的正四面体各顶点的坐标．
解 以BC边中点O为原点，射线OC，OD分别为x轴，y轴的正半轴建立如图所示坐标系，则B(－1，0，0)，C(1，0，0)，D(0，
，0)．由立体几何知识可知，A在平面BCD内射影为△BCD的中心M，
∴M，|MD|＝.
又AD＝2，∴|AM|＝，
∴A.
12．(创新拓展)如图建立空间直角坐标系，已知正方体ABCD
A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．
(1)当2|C1Q|＝|QC|时，求|PQ|；
(2)当点Q在棱CC1上移动时，探究|PQ|的最小值．
解 据题意，知B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
故BD1的中点P.
由于点Q在CC1上，故Q点坐标可设为(0，1，a)(0≤a≤1)．
(1)由2|C1Q|＝|QC|，易知|QC|＝，故Q.
从而|PQ|＝
＝.
(2)据题意，知|PQ|＝
＝
(0≤a≤1)．
当a＝时，2＋取得最小值．
从而|PQ|min＝，此时Q.