2.3.3 空间两点间的距离公式 学案1（含答案）

2.3.3
空间两点间的距离公式
学案
课前预习导学
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学习目标
重点难点
1．通过特殊到一般的过程推导出空间两点间的距离公式．2．灵活运用空间两点间的距离公式解决有关问题.
重点：空间两点间的距离公式的推导及其应用．难点：一般情况下，空间两点间的距离公式的推导．疑点：如何建立空间直角坐标系解决立体几何问题.
预习导引
1．长方体对角线长
一般地，如果长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么对角线长d＝.
2．空间两点间的距离公式
给出空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB|＝.特别地，点A(x，y，z)到原点的距离公式为|OA|＝.
预习交流1
(1)空间两点A(1，－2，1)，B(3，2，－1)间的距离是________．
(2)点A(2，－1，2)到原点的距离为________，到y轴的距离为________，到yOz平面的距离为________．
提示：(1)2　(2)3　2　2
预习交流2
已知点P(x，y，z)，如果r为定值，那么x2＋y2＋z2＝r2表示什么图形？
提示：由为点P到原点的距离，结合x2＋y2＋z2＝r2知点P到原点的距离为定值|r|，因此r≠0时，x2＋y2＋z2＝r2表示以原点为球心，|r|为半径的球面；r＝0时，x2＋y2＋z2＝r2表示原点．
课堂合作探究
问题导学
1．求空间两点间的距离
活动与探究1
设有长方体ABCD A′B′C′D′，如图所示，长、宽、高分别为|AB|＝4
cm，|AD|＝3
cm，|AA′|＝5
cm，分别以AB，AD，AA′所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系．
(1)求A，B，C，D，A′，B′，C′，D′的坐标；
(2)求这个长方体的对角线AC′的长度．
思路分析：首先写出各点的坐标，然后利用空间两点间的距离公式求AC′的长度.
解：(1)由题意可知A(0，0，0)，B(4，0，0)，C
(4，3，0)，D(0，3，0)，A′(0，0，5)，B′(4，0，5)，C′(4，3，5)，D′(0，3，5)．
(2)方法一：|AC′|＝＝＝5.
方法二：|AC′|＝＝5.
迁移与应用
1．已知A(x，2，3)，B(5，4，7)，且|AB|＝6，求x的值．
解：由两点间的距离公式可得|AB|＝＝6.即(x－5)2＝16，解得x＝1或x＝9.
所以x的值为1或9.
2．如图，正方体OABC D′A′B′C′的棱长为a，|AN|＝2|CN|，|BM|＝2|MC′|.求MN的长．
解：以O为原点，分别以OA，OC，OD′所在的直线为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图．
过N作NE⊥OA于点E，
则NE∥OC，∴△ANE为等腰直角三角形．又∵|AN|＝2|CN|，∴|EN|＝|OC|，|OE|＝|OA|，∴点N的坐标为.同理作MF⊥BC于F，则MF⊥xOy平面，且|MF|＝|CC′|，易得F.∴M.
∴|MN|＝＝.
名师点津
空间中任意两点间的距离的计算，其关键在于明确这两点的坐标．在此基础上，利用坐标间的关系代入求解．在求解过程中，有时也会利用图形特征，结合平面几何的知识直接求解．
2．求空间中点的坐标
活动与探究2
(1)在z轴上求一点，使它到点A(4，5，6)与到点B(－5，0，10)的距离相等；
(2)已知点P到原点O的距离为2，且它的x坐标，y坐标，z坐标都相等，求该点的坐标．
思路分析：(1)解答的关键是设出点的坐标为P(0，0，z)，利用|PB|＝|PA|，求z；(2)利用|OP|＝2及x＝y＝z，求解点的坐标．
解：(1)由题意可知，设该点的坐标为P(0，0，z)，则
|PA|＝，
|PB|＝.
又|PA|＝|PB|，所以z＝6，所以所求点的坐标为(0，0，6)．
(2)由题意可设P点的坐标为(x，y，z)．
所以|OP|＝＝2.
又x＝y＝z，所以＝2.
所以x＝y＝z＝2或x＝y＝z＝－2.
所以该点的坐标为(2，2，2)或(－2，－2，－2)．
迁移与应用
(1)给定空间直角坐标系，在x轴上找一点P，使它与点P0(4，1，2)的距离为；
(2)已知A(1，2，－1)，B(2，0，2)，在xOz平面内的点M到A点与到B点等距离，求点M的坐标满足的关系式．
解：(1)设点P的坐标是(x，0，0)，由题意知，|P0P|＝，即＝，整理得(x－4)2＝25，解得x＝9或x＝－1.所以，P点的坐标为(9，0，0)或(－1，0，0)．
(2)设M的坐标为(x，0，z)，
则有
＝，
得2x＋6z－2＝0，即x＋3z－1＝0.
名师点津
已知点在坐标轴上(或者在坐标平面内)，又满足某些条件，求该点的坐标时，一般根据点所在的位置，先设出点的坐标，再由已知条件列出方程求解．在设点的坐标时，一般根据点的特征设参数，这样不但可以减少参数，也能简化计算．
3．空间两点间距离公式的应用
活动与探究3
已知A(－1，1，2)，B(4，－5，－6)，C(7，6，8)，试判断△ABC的形状，并求该三角形的面积．
思路分析：先利用空间中两点的距离公式求三边的长，再比较各边长的关系，从而判断三角形的形状，然后求出面积．
解：由两点间的距离公式得|AB|＝＝5，同理|AC|＝5，|BC|＝，
所以△ABC是等腰三角形，BC边中点是D，于是BC边上的高|AD|＝.于是△ABC的面积S＝×＝.
迁移与应用
已知三角形的三顶点A(1，－2，－3)，B(－1，－1，－1)，C(0，0，－5)，试证明它是直角三角形．
证明：因为|AB|＝＝＝＝3，
|BC|＝＝＝3，
|AC|＝
＝＝＝3，
所以|AB|2＋|AC|2＝9＋9＝18＝|BC|2，
所以△ABC是直角三角形．
名师点津
已知空间中三点的坐标，判断三角形的形状，可考虑利用空间中两点间的距离公式求出三边，从三边的关系上考虑解决．
当堂检测
1．若已知A(1，1，1)，B(－3，－3，－3)，则|AB|为(　　)．
A．4
B．2
C．4
D．3
解析：|AB|＝＝4.
答案：A
2．坐标原点到下列各点的距离最小的是(　　)．
A．E(1，1，1)
B．F(1，2，2)
C．G(2，－3，5)
D．H(3，0，4)
解析：|OE|＝，|OF|＝＝＝3，
|OG|＝＝，
|OH|＝＝5.
答案：A
3．点B是点A(－1，2，3)在yOz平面内的投影，则|AB|为(　　)．
A.
B.
C．1
D．3
解析：B(0，2，3)，|AB|＝1.
答案：C
4．在z轴上与点A(－4，1，7)和点B(3，5，－2)等距离的点C的坐标为________．
解析：由题意设C(0，0，z)，
由题意知＝，解得z＝，
故点C的坐标为.
答案：
5．已知三点A，B，C的坐标分别是A(3，－2，－1)，B(－1，－3，2)，C(－5，－4，5)，求证：A，B，C三点共线．
证明：由点A，B，C的坐标，得：
|AB|＝＝，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝，
所以|AC|＝|AB|＋|BC|，所以A，B，C三点共线．