1.4
空间图形的基本关系与公理
第1课时
学案
空间图形的基本关系与公理1～公理3
问题导学
1．公理1的应用
活动与探究1
如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，M，N分别是所在棱的中点，连接D′M，交C′B′的延长线于点E，连接C′N，交CB的延长线于点F.
求证：直线EF平面BCC′B′.
迁移与应用
如图，在△ABC中，若AB，BC在平面α内，试判断AC是否在平面α内．
名师点津
公理1的作用：(1)用直线检验平面；(2)判断直线是否在平面内，要证明直线在平面内，我们需要在直线上找到两个点，这两个点都在这个平面内，那么直线就在这个平面内．解决问题的关键就在于寻找这样的点．
2．公理2的应用
活动与探究2
已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求证：a，b，c三条直线在同一平面内．
迁移与应用
1．经过同一直线上的三个点的平面( )．
A．有且只有一个 B．有且只有三个
C．有无数个
D．不存在
2．已知A∈l，B∈l，C∈l，Dl(如图)，求证：直线AD，BD，CD共面．
名师点津
公理2的作用：(1)确定一个平面；(2)证明点、线的共面问题；(3)判断一图形是否为平面图形．对于平面的确定问题，务必分清它们的条件，对于证明几点(或几条直线)共面问题，可先由其中几个点(或直线)确定一个平面后，再证明其他点
(或直线)也在该平面内即可．
3．公理3的应用
活动与探究3
已知△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P，Q，R三点(如图)，求证：P，Q，R三点共线．
迁移与应用
如图，在三棱锥S－ABC的边SA，SC，AB，BC上分别取点E，F，G，H，若EF∩GH=P，求证：EF，GH，AC三条直线交于一点．
名师点津
1．公理3的作用：(1)判断两平面是否相交；(2)证明点在直线上；(3)证明共线问题；(4)证明共点问题．证明三点共线问题的常用方法有：方法一是首先找出两个平面，然后证明这三个点都是这两个平面的公共点，根据公理3，这些点都在交线上．方法二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点在其上．
2．证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．
当堂检测
1．点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为( )．
A．Pl，lα
B．P∈l，l∈α
C．Pl，l∈α
D．P∈l，lα
2．如图所示是表示两个相交平面，其中画法正确的是( )．
3．下列说法正确的是( )．
A．线段AB在平面α内，直线AB不会在α内
B．平面α和β有时只有一个公共点
C．三点确定一个平面
D．过一条直线可以作无数个平面
4．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为棱A1B1，BB1的中点，则D1E与CF的延长线交于一点，此点在直线( )．
A．AD上
B．B1C1上
C．A1D1上
D．BC上
5．如图，O1是正方体ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是对角线A1C和截面B1D1A的交点．求证：O1，M，A三点共线．
盘点收获
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习导引
1．(1)点在直线上 点在直线外
A∈l Bl (2)点在平面内 点在平面外 (3)同一平面 没有公共点 a∥b 只有一个公共点 a∩b＝P 不同在任何一个平面内 (4)有无数个公共点 只有一个公共点 l∩α＝P 没有公共点 l∥α (5)没有公共点 α∥β 不重合但有公共点
预习交流1 提示：不能．如图所示，a在平面α内，b在平面β内，但是a与b平行．
预习交流2 提示：当两直线在同一平面内时，没有公共点就一定平行；在空间中，当两直线不同在任何一个平面内时，没有公共点，是异面直线．
2．两点 所有的点 在平面内 lα 不在同一条直线上 有且只有 确定 有且只有一个平面α 有一个公共点 有且只有 α∩β＝l且A∈l
预习交流3 提示：“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一．“有且只有”强调的是存在性和唯一性两个方面，确定一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在性和唯一性这两个方面．
预习交流4 提示：(1)能；(2)能；(3)能．
课堂合作探究
问题导学
活动与探究1 思路分析：要证明直线在平面内，只需证明直线上有两个点在这个平面内．
证明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′，
∴直线BC平面BCC′B′.
又∵C′N∩CB＝F，
∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′.
同理可得E∈平面BCC′B′.
∴直线EF平面BCC′B′.
迁移与应用 解：AC在平面α内，证明如下：
∵AB在平面α内，∴A点一定在平面α内．
∵BC在平面α内，∴C点一定在平面α内．∴A点、C点都在平面α内．∴直线AC在平面α内．
活动与探究2 思路分析：依题意，可先证a与b确定一个平面，再证明c在这个平面内，从而可证a，b，c在同一平面内．
证明：∵a∥b，∴a与b确定一个平面α，
∵a∩c＝A，∴A∈a，从而A∈α；
∵b∩c＝B，∴B∈b，从而B∈α.
于是ABα，即cα，故a，b，c三条直线在同一平面内．
迁移与应用 1．C21世纪教育网
2．证明：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内即可．
因为A∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα.
同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α内，即它们共面．
活动与探究3 思路分析：只需证明P，Q，R三点在平面ABC内，又在平面α内，再利用公理3推得结论．
证明：方法一：∵AB∩α＝P，
∴P∈AB，P∈平面α.
又AB平面ABC，∴P∈平面ABC.
∴由公理3可知，点P在平面ABC与平面α的交线上．
同理可证Q，R也在平面ABC与平面α的交线上，
∴P，Q，R三点共线．
方法二：∵AP∩AR＝A，
∴直线AP与直线AR确定平面APR.
又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R，
∴平面APR∩平面α＝PR.
又B∈平面APR，C∈平面APR，
∴BC平面APR.又∵Q∈直线BC，
∴Q∈平面APR.又Q∈α，
∴Q∈PR.∴P，Q，R三点共线．
迁移与应用 证明：∵E∈SA，SA平面SAC，F∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F∈平面SAC，∴EF平面SAC.
同理可得GH平面ABC.
又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC.
∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC，
即直线EF，GH，AC共点于P.
当堂检测
1．D 2．D 3．
D 4．B
5．证明：因为上底面中A1C1∩B1D1＝O1，A1C1平面A1C1CA，B1D1平面AB1D1，
所以，O1是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．
又因为A1C∩平面AB1D1＝M，
A1C平面A1C1CA，
所以，M是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．
又因为A∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA，
所以，A是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点．
所以，O1，M，A都是平面A1C1CA与平面AB1D1的公共点，由公理3可知，O1，M，A三点共线．1.4
空间图形的基本关系与公理
第2课时
学案
公理4(平行公理)与异面直线所成的角
问题导学
1．公理4的应用
活动与探究1
在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD上的点且，请回答并证明当空间四边形ABCD的四条边及点G，H满足什么条件时，四边形EFGH，
(1)为平行四边形？
(2)为菱形？
迁移与应用
如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD．
名师点津
空间中证明两直线平行的方法：
(1)借助平面几何知识，如三角形的中位线性质、平行四边形的性质，成比例线段平行．
(2)利用公理4，即证明两条直线都与第三条直线平行．
2．等角定理的应用
活动与探究2
如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．
(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；
(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.
迁移与应用
如图，空间图形A－BCD的四个面分别为△ABC，△ACD，△ADB和△BCD，E，F，G分别是线段AB，AC，AD上的点，且满足AE∶AB＝AF∶AC＝AG∶AD．求证：△EFG∽△BCD．
名师点津
1．要明确等角定理的两个条件，即两个角的两条边分别对应平行，并且方向相同，这两个条件缺一不可．
2．空间中证明两个角相等，可以利用等角定理，也可以利用三角形的相似或全等，还可以利用平行四边形的对角相等．在利用等角定理时，关键是弄清楚两个角对应边的关系．
3．异面直线及其所成的角
活动与探究3
如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′.
(1)哪些棱所在的直线与直线BC′是异面直线？
(2)求异面直线AD′与B′C、A′C与AB所成角的正切值．
迁移与应用
已知正方体ABCD－A′B′C′D′，求：
(1)BC′与CD′所成的角；
(2)AD与BC′所成的角．
名师点津
由异面直线所成角的定义求异面直线所成角的一般步骤是：平移→构造三角形→解三角形→作答．在几何体中进行平移构造异面直线所成角时，一般选择两异面直线中一条上的一点，或几何体顶点、棱的中点等特殊点．
当堂检测
1．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α＝50°，则β等于( )．
A．50°
B．130°
C．40°
D．50°或130°
2．空间四边形的两条对角线长度相等，顺次连接四条边的中点得到的四边形是( )．
A．梯形
B．平行四边形
C．菱形
D．矩形
3．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为________．
(第3题图)
4．如图所示，在三棱锥P－ABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有________对．
(第4题图)
盘点收获
提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记.
答案：
课前预习导学
预习导引
1．平行 a∥c
预习交流1 提示：(1)本质：表明了空间中线线平行的传递性．
(2)作用：公理4给出了空间两条直线平行的一种证明方法．它是论证平行问题的主要依据之一，也是研究空间两直线的位置关系、直线与平面位置关系的基础．
(3)关键：寻找第三条直线分别与前两条直线平行是应用公理4证明线线平行的关键．
2．相等或互补
预习交流2 提示：相等；互补．
3．不在
预习交流3 提示：一定不相交．若对角线相交，则四个顶点共面，这与定义中四个顶点不共面相矛盾．
4．锐角 直角 互相垂直
预习交流4 提示：两条异面直线所成角的范围是(0°，90°]．
课堂合作探究
问题导学
活动与探究1 思路分析：由＝＝，可想到证明EF∥AC；为使四边形EFGH为平行四边形，需证明GH＝EF，且GH∥AC；为使四边形EFGH为菱形，在(1)成立的情况下，还需证明EH＝EF，进一步可得AC，BD的关系．
解：(1)当＝＝时，
四边形EFGH为平行四边形．
理由：∵＝＝，
∴EF∥AC且EF＝AC.
若＝＝，
则HG∥AC且HG＝AC.
∴EF∥HG，EF＝HG，
∴四边形EFGH为平行四边形．
(2)当＝＝且AC＝BD时，四边形EFGH为菱形．
理由：由(1)知，若＝＝，
则四边形EFGH为平行四边形，且EF＝AC，EH＝BD.若AC＝BD，则EF＝AC＝BD＝EH.
∴平行四边形EFGH为菱形．
迁移与应用 证明：(1)如题图，在△ABD中，
∵EH是△ABD的中位线，
∴EH∥BD，EH＝BD.
又FG是△CBD的中位线，
∴FG∥BD，FG＝BD，
∴FG∥EH，∴E，F，G，H四点共面．又FG＝EH，
∴四边形EFGH是平行四边形．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.∴AC⊥BD.
活动与探究2 思路分析：(1)欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；(2)可结合(1)利用定理证明或利用三角形全等证明．
证明：(1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，
∴MM1＝AA1，MM1∥AA1.
又∵AA1＝BB1，AA1∥BB1，
∴MM1∥BB1，且MM1＝BB1，
∴四边形BB1M1M为平行四边形．
(2)方法一：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1∥BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，
∴C1M1∥CM.
由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角，
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
方法二：由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，
∴B1M1＝BM.
同理可得四边形CC1M1M为平行四边形．
∴C1M1＝CM.
又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1.
∴∠BMC＝∠B1M1C1.
迁移与应用 证明：在△ABD中，
∵AE∶AB＝AG∶AD，
∴EG∥BD.同理，GF∥DC，EF∥BC.
又∠GEF与∠DBC两组对边方向分别相同，∴∠GEF＝∠DBC.
同理，∠EGF＝∠BDC.
∴△EFG∽△BCD.
活动与探究3 思路分析：(1)按照异面直线的定义进行判断；(2)根据异面直线所成角的定义进行求解．
解：(1)所在直线与BC′是异面直线的棱有：AA′，DD′，A′B′，DC，AD，A′D′.
(2)因为AD′∥BC′，所以AD′与B′C所成的角就是BC′与B′C所成的角，而BC′⊥B′C，所以AD′与B′C所成的角等于90°，其正切值不存在．
因为AB∥CD，所以∠A′CD就是异面直线A′C与AB所成的角．
在△A′CD中，若设正方体棱长为a，则CD＝a，A′D＝a，A′C＝a，
因此△A′CD是直角三角形，
于是tan∠A′CD＝＝.
迁移与应用 解：(1)连接BA′，则BA′∥CD′，
则∠A′BC′就是BC′与CD′所成的角．
连接A′C′，由△A′BC′为正三角形，知∠A′BC′＝60°.
即BC′与CD′所成的角为60°.
(2)由AD∥BC，知AD与BC′所成的角就是∠C′BC.易知∠C′BC＝45°.
当堂检测
1．D 2．C 3．60° 4．3
