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1.5.1
平行关系的判定
学案
课时目标 1．理解直线与平面平行的判定定理的含义．2．会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理，并知道其地位和作用．3．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．21世纪教育网版权所有
知识梳理
1．直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点．
2．直线与平面平行的判定定理：
__________一条直线与______________的一条直线平行，则该直线与此平面平行．用符号表示为________________________．21教育网
作业设计
一、选择题
1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)
①若a∥b，bα，则a∥α；
②若a∥α，b∥α，则a∥b；
③若a∥b，b∥α，则a∥α；
④若a∥α，bα，则a∥b．
其中正确说法的个数是( )
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个
2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是( )
A．b∥α
B．b与α相交
C．bα
D．b∥α或b与α相交
3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系一定是( )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．ABα
4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是( )21cnjy.com
A．平行
B．相交
C．在内
D．不能确定
5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面( )
A．不存在
B．只能作出一个
C．能作出无数个
D．以上都有可能
6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有( )21·cn·jy·com
A．4条
B．6条
C．8条
D．12条
二、填空题
7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．
8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：
(1)与直线AB平行的平面是______________；
(2)与直线AA1平行的平面是______________；
(3)与直线AD平行的平面是______________．
9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是_______________________________________________________________．
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．
求证：EF∥平面BDD1B1．
11．如图所示，P是 ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．
求证：EF∥平面PBC．
能力提升
12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)
13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)www.21-cn-jy.com
反思感悟
直线与平面平行的判定方法
(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．
(2)利用直线和平面平行的判定定理：aα，a∥b，bα，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．
答案
知识梳理
2．平面外 此平面内 aα，bα，且a∥b a∥α
作业设计
1．A ①aα也可能成立；②a，b还有可能相交或异面；③aα也可能成立；④a，b还有可能异面．
2．D 3．C 4．A 5．D
6．D
[如图所示，与BD平行的有4条，与BB1平行的有4条，四边形GHFE的对角线与面BB1D1D平行，同等位置有4条，总共12条，故选D．2·1·c·n·j·y
7．无数
8．(1)平面A1C1和平面DC1 (2)平面BC1和平面DC1 (3)平面B1C和平面A1C1
9．平行
解析 设BD的中点为F，则EF∥BD1．
10．证明 取D1B1的中点O，
连接OF，OB．
∵OF平行且等于B1C1，BE平行且等于B1C1，
∴OF平行且等于BE．
∴四边形OFEB是平行四边形，
∴EF∥BO．
∵EF平面BDD1B1，
BO平面BDD1B1，
∴EF∥平面BDD1B1．
11．证明 连接AF延长交BC于G，
连接PG．
在 ABCD中，
易证△BFG∽△DFA．
∴＝＝，
∴EF∥PG．
而EF平面PBC，
PG平面PBC，
∴EF∥平面PBC．
12．①③
13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB交BE于M，作QN∥AB交BC于N，连接MN．
∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB，
∴AE＝BD．
又∵AP＝DQ，∴PE＝QB．
又∵PM∥AB∥QN，∴＝，＝．
∴PM平行且等于QN．
∴四边形PQNM是平行四边形．∴PQ∥MN．
又MN平面BCE，PQ平面BCE，
∴PQ∥平面BCE．
方法二 如图(2)所示，连接AQ并延长交BC(或其延长线)于K，连接EK．
∵KB∥AD，∴＝．
∵AP＝DQ，AE＝BD，
∴BQ＝PE．
∴＝．∴＝．∴PQ∥EK．
又PQ面BCE，EK面BCE，
∴PQ∥面BCE．
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1.5.1
平行关系的判定
学案
课时目标 1．理解平面与平面平行的判定定理的含义．2．能运用平面与平面平行的判定定理，证明一些空间面面平行的简单问题．21教育网
知识梳理
1．平面α与平面β平行是指两平面______公共点．若α∥β，直线aα，则a与β的位置关系为________．21·cn·jy·com
2．定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
作业设计
一、选择题
1．经过平面α外的两个点作该平面的平行平面，可以作出( )
A．0个
B．1个
C．0个或1个
D．1个或2个
2．α和β是两个不重合的平面，在下列条件中，可判定α∥β的是( )
A．α内有无数条直线平行于β
B．α内不共线三点到β的距离相等
C．
l、m是平面α内的直线，且l∥α，m∥β
D．l、m是异面直线且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
3．给出下列结论，正确的有( )
①平行于同一条直线的两个平面平行；
②平行于同一平面的两个平面平行；
③过平面外两点，不能作一个平面与已知平面平行；
④若a，b为异面直线，则过a与b平行的平面只有一个．
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
4．若不在同一直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα，则( )
A．α∥平面ABC
B．△ABC中至少有一边平行于α
C．△ABC中至多有两边平行于α
D．△ABC中只可能有一边与α相交
5．两个平面平行的条件是( )
A．一个平面内一条直线平行于另一个平面
B．一个平面内两条直线平行于另一个平面
C．一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面
D．两个平面都平行于同一条直线
6．正方体EFGH—E1F1G1H1中，下列四对截面中，彼此平行的一对截面是( )
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
二、填空题
7．已知直线a、b，平面α、β，且a∥b，a∥α，α∥β，则直线b与平面β的位置关系为________．www.21-cn-jy.com
8．有下列几个命题：
①平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β；
②α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β；
③平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β；
④平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β．其中正确的有________(填序号)．21cnjy.com
9．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1．2·1·c·n·j·y
三、解答题
10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E、F、G分别是BC、DC和SC的中点．求证：平面EFG∥平面BDD1B1．【来源：21·世纪·教育·网】
11．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心．
(1)求证平面MNG∥平面ACD；
(2)求S△MNG∶S△ADC．
能力提升
12．三棱柱ABC－A1B1C1，D是BC上一点，且A1B∥平面AC1D，D1是B1C1的中点．
求证：平面A1BD1∥平面AC1D．
13．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO？
反思感悟
判定或证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义；
(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行．
答案
知识梳理
1．无 a∥β
作业设计
1．C 2．D 3．B 4．B
5．C 6．A
7．b∥β或bβ
8．③
解析 ①不正确，当两平面相交时，在一个平面两侧分别有无数点满足条件；②不正确，当平面β与γ相交时也可满足条件；③正确，满足平面平行的判定定理；④不正确，当两平面相交时，也可满足条件．21世纪教育网版权所有
9．M∈线段FH
解析 ∵HN∥BD，HF∥DD1，
HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，
∴平面NHF∥平面B1BDD1，
故线段FH上任意点M与N连接，
有MN∥平面B1BDD1．
10．证明 如图所示，连接SB，SD，
∵F、G分别是DC、SC的中点，
∴FG∥SD．
又∵SD?平面BDD1B1，
FG平面BDD1B1，
∴直线FG∥平面BDD1B1．
同理可证EG∥平面BDD1B1，
又∵EG平面EFG，
FG平面EFG，
EG∩FG＝G，
∴平面EFG∥平面BDD1B1．
11．(1)证明 (1)连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H．
∵M，N，G分别为△ABC，△ABD，△BCD的重心，
则有＝＝＝2，
且P，H，F分别为AC，CD，AD的中点．
连接PF，FH，PH，有MN∥PF．
又PF平面ACD，MN平面ACD，
∴MN∥平面ACD．
同理MG∥平面ACD，MG∩MN＝M，
∴平面MNG∥平面ACD．
(2)解 由(1)可知＝＝，
∴MG＝PH．
又PH＝AD，
∴MG＝AD．
同理NG＝AC，MN＝CD．
∴△MNG∽△ACD，其相似比为1∶3．
∴S△MNG∶S△ACD＝1∶9．
12．
证明 连接A1C交AC1于点E，
∵四边形A1ACC1是平行四边形，
∴E是A1C的中点，连接ED，
∵A1B∥平面AC1D，
ED平面AC1D，
∴A1B与ED没有交点，
又∵ED平面A1BC，A1B平面A1BC，
∴ED∥A1B．
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点．
又∵D1是B1C1的中点，
∴BD1∥C1D，A1D1∥AD，
∴BD1∥平面AC1D，A1D1∥平面AC1D．
又A1D1∩BD1＝D1，
∴平面A1BD1∥平面AC1D．
13．解 当Q为CC1的中点时，
平面D1BQ∥平面PAO．
∵Q为CC1的中点，P为DD1的中点，
∴QB∥PA．
∵P、O为DD1、DB的中点，
∴D1B∥PO．
∴D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
又PO∩PA＝P，D1B∩QB＝B，
∴平面D1BQ∥平面PAO．
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