北师大版八年级数学上《2.7二次根式》同步练习含答案解析

《2.7
二次根式》
　
一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）
1．下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0
B．x＞3
C．x≥3
D．x≤3
3．对任意实数a，则下列等式一定成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有
（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．要使式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1
B．m≥﹣1
C．m＞﹣1且m≠1
D．m≥﹣1且m≠1
6．下列计算正确的是（　　）
A．（m﹣n）2=m2﹣n2
B．（2ab3）2=2a2b6
C．2xy+3xy=5xy
D．
=2a
7．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．设=a，
=b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（　　）
A．0.3ab
B．3ab
C．0.1ab2
D．0.1a2b
9．若，则（　　）
A．a、b互为相反数
B．a、b互为倒数
C．ab=5
D．a=b
　
二、填空题
10．把化为最简二次根式　　．
11．使是整数的最小正整数n=　　．
12．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2==，那么6※3=　　．
13．把下列各式化成最简二次根式：
=　　；
=　　；
=　　．
14．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为　　．
　
三、解答题
15．化简：
（1）；　　　　
（2）；
（3）；　
（4）．
16．设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，求的值．
17．一圆形转盘的面积是25.12cm2，该圆形转盘的半径是多少？（π取3.14）
18．化简：
（1）；　
（2）；　
（3）．
19．已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱的侧面，请问这个圆柱底面的半径是多少？（π取3，结果保留根号）
20．按要求解决下列问题：
（1）化简下列各式：
=　　，
=　　，
=　　，
=　　，…
（2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．
21．观察下列各式及其验算过程：
=2，验证：
===2；
=3，验证：
===3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
　
《2.7
二次根式》
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共9小题，每小题3分，满分27分）
1．下列各式中，，，，，，二次根式的个数有（　　）
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
【考点】二次根式的定义．
【分析】根据形如
（a≥0）是二次根式，可得答案．
【解答】解：，，，是二次根式，
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的定义，二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
　
2．若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0
B．x＞3
C．x≥3
D．x≤3
【考点】二次根式有意义的条件．
【专题】常规题型．
【分析】先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：∵使在实数范围内有意义，
∴x﹣3≥0，
解得x≥3．
故选：C．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
　
3．对任意实数a，则下列等式一定成立的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】计算题．
【分析】根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断．
【解答】解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误；
B、a为正数时不成立，故本选项错误；
C、∵=|a|≠±a，故本选项错误．
D、本选项正确．
故选D．
【点评】本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．
　
4．下列各式：①，②，③，④中，最简二次根式有
（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【考点】最简二次根式．
【专题】常规题型．
【分析】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可．
【解答】解：①，②
=，③
=2，④
=，
故其中的最简二次根式为①，共一个．
故选A．
【点评】本题考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键．
　
5．要使式子有意义，则m的取值范围是（　　）
A．m＞﹣1
B．m≥﹣1
C．m＞﹣1且m≠1
D．m≥﹣1且m≠1
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
【解答】解：根据题意得：，
解得：m≥﹣1且m≠1．
故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
　
6．下列计算正确的是（　　）
A．（m﹣n）2=m2﹣n2
B．（2ab3）2=2a2b6
C．2xy+3xy=5xy
D．
=2a
【考点】二次根式的性质与化简；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．
【专题】推理填空题．
【分析】根据完全平方公式即可判断A；根据积的乘方和幂的乘方，求出式子的结果，即可判断B；根据合并同类项法则求出后即可判断C；根据二次根式的性质求出后即可判断D．
【解答】解：A、（m﹣n）2=m2﹣2mn+n2，故本选项错误；
B、（2ab3）2=4a2b6，故本选项错误；
C、2xy+3xy=5xy，故本选项正确；
D、=，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了二次根式的性质，合并同类项，幂的乘方和积的乘方，完全平方公式的应用，题目比较典型，但是一道比较容易出错的题目．主要考查学生的辨析能力和计算能力．
　
7．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】最简二次根式．
【专题】计算题．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故A选项错误；
B、=，被开方数为小数，不是最简二次根式；故B选项错误；
C、，是最简二次根式；故C选项正确；
D.
=5，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故D选项错误；
故选C．
【点评】此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
　
8．设=a，
=b，用含a，b的式子表示，则下列表示正确的是（　　）
A．0.3ab
B．3ab
C．0.1ab2
D．0.1a2b
【考点】二次根式的乘除法．
【分析】先把化为、的形式，再把a、b代入计算即可．
【解答】解：∵
=0.3，
=a，
=b，
∴=0.3ab．
故选A．
【点评】此题主要考查二次根式的化简，直到被开方数开不尽为止．
　
9．若，则（　　）
A．a、b互为相反数
B．a、b互为倒数
C．ab=5
D．a=b
【考点】分母有理化．
【分析】由a=，利用分母有理化的知识，即可将原式化简，可得a=，则可求得答案．
【解答】解：∵a==，b=，
∴a=b．
故选：D．
【点评】此题考查了分母有理化的知识．此题比较简单，注意将各二次根式化为最简二次根式是解此题的关键．
　
二、填空题
10．把化为最简二次根式　10　．
【考点】最简二次根式．
【专题】计算题．
【分析】将被开方数500分为100×5，利用二次根式的乘法逆运算变形，再利用二次根式的化简公式化简，即可得到最简结果．
【解答】解：
==×=10．
故答案为：10．
【点评】此题考查了最简二次根式，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．
　
11．使是整数的最小正整数n=　3　．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】先将所给二次根式化为最简二次根式，然后再判断n的最小正整数值．
【解答】解：
=2，由于是整数，所以n的最小正整数值是3．
【点评】解答此题的关键是能够正确的对二次根式进行化简．
　
12．对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=，如3※2==，那么6※3=　1　．
【考点】算术平方根．
【专题】新定义．
【分析】根据※的运算方法列式算式，再根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：6※3==1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，读懂题目信息，理解※的运算方法是解题的关键．
　
13．把下列各式化成最简二次根式：
=　　；
=　　；
=　　．
【考点】最简二次根式．
【分析】把小数化为分数根据二次根式的除法法则化简或根据分母有理化进行化简．
【解答】解：
==，
=，
==．
故答案为：；；．
【点评】本题考查了二次根式的化简及最简二次根式的知识，解题的关键是将被开方数化为能直接开方的因数与另外因数的积的形式和掌握分母有理化的方法．
　
14．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为　5或　．
【考点】勾股定理．
【分析】由于此题没有明确斜边，应考虑两种情况：4是直角边或4是斜边．根据勾股定理进行计算．
【解答】解：4是直角边时，则第三边==5；
4是斜边时，则第三边==．
则第三边是5或．
【点评】此题关键是要考虑两种情况，熟练运用勾股定理．
　
三、解答题
15．化简：
（1）；　　　　
（2）；
（3）；　
（4）．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质即可将化简；
（2）直接利用二次根式的性质即可将化简；
（3）直接利用二次根式的性质即可将化简；
（4）利用分母有理化的知识，可将化简．
【解答】解：（1）==2；
　　　
（2）==4；
（3）=；
（4）==．
【点评】此题考查了二次根式的化简．注意掌握最简二次根式的定义是关键．
　
16．（6分）设a，b为实数，且满足（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，求的值．
【考点】二次根式的性质与化简；非负数的性质：偶次方．
【分析】首先由非负数的非负性，求得a与b的值，再代入，化简即可求得答案．
【解答】解：∵（a﹣3）2+（b﹣1）2=0，
∴a﹣3=0，b﹣1=0，
解得：a=3，b=1，
∴==．
【点评】此题考查了二次根式的化简以及非负数的非负性．注意非负数的和等于0，则每项都等于0．
　
17．一圆形转盘的面积是25.12cm2，该圆形转盘的半径是多少？（π取3.14）
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】首先设该圆形转盘的半径是Rcm，根据题意得：πR2=25.12，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设该圆形转盘的半径是Rcm，
根据题意得：πR2=25.12，
∴R2=8，
∴R=2，
∴该圆形转盘的半径是：2cm．
【点评】此题考查了一元二次方程的应用．注意根据题意构造方程是关键．
　
18．化简：
（1）；　
（2）；　
（3）．
【考点】二次根式的性质与化简．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质即可将化简；
（2）直接利用二次根式的性质即可将化简；
（3）利用分母有理化的知识，可将化简．
【解答】解：（1）==5
（2）==
（3）==．
【点评】此题考查了二次根式的化简．注意掌握最简二次根式的定义是关键．
　
19．已知正方形纸片的面积是32cm2，如果将这个正方形做成一个圆柱的侧面，请问这个圆柱底面的半径是多少？（π取3，结果保留根号）
【考点】二次根式的应用．
【分析】根据正方形面积求边长，即为圆柱底面圆的周长，根据周长求半径．
【解答】解：∵正方形纸片的面积是32cm2，
∴正方形边长为=4，
设圆柱底面圆半径为R，则
2πR=4，
解得R=．
答：圆柱底面的半径为cm．
【点评】本题考查了二次根式的实际运用，掌握圆柱侧面与正方形的关系，用二次根式表示边长是关键．
　
20．按要求解决下列问题：
（1）化简下列各式：
=　2　，
=　4　，
=　6　，
=　10　，…
（2）通过观察，归纳写出能反映这个规律的一般结论，并证明．
【考点】分母有理化．
【专题】规律型．
【分析】（1）题只需将各式分母有理化即可．
（2）将二次根式进行分母有理化，通过（1）观察得出规律．
【解答】解：（1）=2，
==4，
==6，
==10；
（2）由（1）中各式化简情况可得．
证明如下：
==2n．
【点评】本题主要考查了分母有理化的计算方法，找出分母的有理化因式是解决此类问题的关键．
　
21．观察下列各式及其验算过程：
=2，验证：
===2；
=3，验证：
===3
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【考点】二次根式的性质与化简．
【专题】规律型．
【分析】（1）利用已知，观察=2，
=3，可得的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解答】解：（1）∵=2，
=3，
∴=4=4=，
验证：
==，正确；
（2）由（1）中的规律可知3=22﹣1，8=32﹣1，15=42﹣1，
∴=，
验证：
==；正确；
【点评】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
　
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