2017春《课堂点睛》八年级数学下册（北师版）教师用书-正文学案部分（PDF版）

１　
　三角形的证明
１．１　等腰三角形
第１课时　三角形全等和等腰三角形的性质
１ 全等三角形的判定定理及其推论:　SSS　、　SAS　、　ASA　、　AAS　．
２ 全等三角形的　对应边　相等、　对应角　相等．
　
如
图,点
D、E
在
３ 等腰三角形的两底角　相等　,简述为　等边对等角　．
△ABC的BC
边上,AB＝AC,
４ 等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线及底边上的高　互相重合　．
AD＝AE．求证:BD＝CE．
１ 如图,△ACB≌△DCE,∠DCE＝６０°,则∠ACB
的度数为
(B
)
A ３０°
B ６０°
C ４０°
D ９０°
分析:要
证
明
线
段
相
等,只
要
过点A
作BC
的垂线,利用三
线合一得到P
为DE
及BC
的
中点,线段相减即可得证．
证明:
,
　　　　　
　　　　　如
图
过
点
A
作AP⊥
第１题图
第４题图
第５题图
BC于P．
在
∵AB＝AC,AP⊥BC,
２
△ABC
和△FED
中,∠C＝∠D,∠B＝∠E,要判定这两个三角形全等,
还需要条件
(C
)∴BP＝PC．
∵AD＝AE,AP⊥DE,
A AB＝ED
B AB＝FD
C AC＝FD
D ∠A＝∠F
若等腰三角形的顶角为
,则它的底角为
(
∴DP＝PE．
３
７０°
B
)
∴BP－DP＝PC－PE,
A ４５°
B ５５°
C ６５°
D ７０°
∴BD＝CE．
４ 如图,在等腰△ABC中,AB＝AC,BD⊥AC,∠ABC＝７２°,则∠ABD＝
(B
)
A ３６°
B ５４°
C １８°
D ６４°
１
等边对等角只限于在同一
５ 如图,在△ABC中,AB＝AC,D
为BC
的中点,∠BAD＝３５°,则∠CAB
的度
三角形中,若两个三角形有
数为
(C
)
相等的边,则它们所对的角
A ３５°
B ４５°
C ７０°
D ６０°
不一定相等．
６ (２０１６年武汉市)如图,点B、E、C、F
在同一条直线上,AB＝DE,AC＝DF,
２ “三线合一”是证明角、线段
BE＝CF,求证:AB∥DE．
相等或线段垂直的重要定
证明：∵BE＝CF,
理,即等腰三角形的顶角平
∴BE＋EC＝CF＋EC,
分线、底边上的中线、底边
∴BC＝EF．
上的高三者中只要满足其
又∵
,
AB＝DE
,AC＝DF,
中一个
就可以得到另外两
∴△ABC≌△DEF(SSS),
个．
第６题图
∴∠ABC＝∠DEF,
∴AB∥DE．
　　忽略多种情况,造成漏解
而出错．
　若等腰三角形的两
边长分别为４cm
和３cm,则它
的周长为　　　　．
学生解答:１１cm或１０cm
２　
∴∠A＝∠C．
ì∠D＝∠B,
７ (２０１６
)如图,
在△
和△
中,∠
已知
∠ABC＝
AFD
CEB
í
A＝
∠C,
年
六
盘
水
三
中
期
中

,

,∠DCB
下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB
AF＝CE
的是
(D
)
∴△AFD≌△CEB（AAS）,
∴
A ∠A＝∠D
B AB＝DC
AD＝BC．
C ∠ACB＝∠DBC
D AC＝BD
１３ (２０１６年重庆市)如图,
　　　　
在
△ABC
和
△CED
第７题图
第８题图
中,AB∥CD,AB＝CE,
８
如图所示,在等腰△ABC
中,AB＝AC,AD
平分
AC＝CD,求证:∠B＝
∠BAC,AD＝３,BD＝４,则图中阴影部分的面积是
∠E．
(B
)
证明：∵AB∥CD,
第１３题图
A ３
B ６
C ９
D １２
∴∠DCA＝∠CAB．
９ (２０１６年邵阳市)如图所示,点D
又∵AB＝CE,AC＝CD,
是△ABC的边AC
上一点(不含
∴△CAB≌△DCE．
端点),AD＝BD,则下列结论正
∴∠B＝∠E．
确的是
(A
)
A AC＞BC
第９题图
B AC＝BC
C ∠A＞∠ABC
D ∠A＝∠ABC
１０ 已知等腰三角形的一个内角是８０°,则它的顶角的
１４
综合拓展
如图,∠A＝１５°,AB＝BC＝CD＝DE
度数为　８０°或２０°　．
１１ 如图,
:
在△ABC中,AB＝AC,点D
是BC
的中点,
＝EF．求
:
(１)点E
在AD
上
求证
∠CBD
的度数
;
．
(
()
;１)△ABD≌△ACD;
２
∠DCE
的度数
(２)
()
BE
的度数＝CE．
３
∠MEF
．
,
证明：（１）∵点D
是BC
,
解：（１）∵∠的中点
A＝１５°
第１４题图
,
∴BD＝CD．
AB＝BC
ABD
ACD
,
第１１题图
∴∠
∠在△
和△
中
A＝
ACB＝１５°
,
∴∠CBD＝∠A＋∠ACB＝３０°．
ì

AB＝AC,
,
,
íBD＝CD,
（２）∵∠CBD＝３０°BC＝CD

AD＝AD,
∴∠CBD＝∠CDB＝３０°
,
∴∠
°
∴△ABD≌△ACD(SSS)．
BCD＝１２０
．
,
（２）∵AB＝AC,
D
BC
,
又∵∠ACB＝１５°点
是
的中点
∴∠BAD
DAC,
∴∠DCE＝１８０°－１５°－１２０°＝４５°＝∠
．
ABE
ACE(
),
（３）∵∠
°
,
,
易证△
≌△
SAS
DCE＝４５
CD＝DE
,
∴BE＝CE
∴∠．
DCE＝∠DEC＝４５°
∴∠CDE＝９０°．
又∵∠
°,
１２ 如图,已知在△AFD
和△CEB
中,点A,E,F,C
CDB＝３０
,
在同一直线上,AE＝CF,∠B＝∠D,AD
BC
∴∠
°
°
°
°∥
．求
EDF＝１８０
－９０
－３０
＝６０
:
,证
AD
又∵＝BC．
DE＝EF
AE
CF,
∴∠证明：∵
＝
DEF＝６０°
,
∴AE＋EF＝CF＋EF,
∴∠MEF＝１８０°－６０°－４５°＝７５°．
∴AF＝CE．
又∵AD∥BC,
第１２题图

３　
第２课时　等边三角形的性质
１ 等腰三角形两底角的平分线　相等　,两腰上的高　相等　,两腰上的中线
　相等　．
　
如
图,已
知
△ABC
２ 等边三角形的三个内角都　相等　,并且每个角都　等于６０°　．
和△ADE
都
是
等
边
三
角
形,
连接CD,BE．求证:CD＝BE．
１
如图,已知在△ABC
中,AB＝AC,给出下列条件,不能使
BD＝CE
的是
(D
)
A BD
和CE
分别为AC
和AB
边上的中线
B BD
和CE
分别为∠ABC和∠ACB
的平分线
C CE⊥AB,BD⊥AC
分析:利用等边三角形的三边
D ∠ABD＝∠BCE
第１题图
相等和各角都等于６０°,可
证
２ 若等腰三角形两腰上的高相交所成的钝角为１００°,则顶角的度数为
(B
)
得:△ADC≌△AEB．
A ５０°
B ８０°
C １００°
D １３０°
证明:∵△ABC
和
△ADE
都
３ 如图,一个等边三角形纸片,剪去一个角后得到一个四边形,则图中∠α＋∠β
是等
边
三
角
形,∴AB＝AC,
的度数是
(C
)
AE＝AD,∠DAE＝∠CAB,
A １８０°
B ２２０°
C ２４０°
D ３００°
∴∠DAE－
∠CAE＝
∠CAB
－∠CAE,∠DAC＝∠EAB．
在△ADC和△AEB
中,
AD＝AE,
{∠DAC＝∠EAB,
　　　　
　　　　第３题图
第４题图
第,
５题图AC＝AB
４ 如图,在等边三角形ABC中,BD、CE
是两条中线,则∠１的度数为
(ADC
AEB
C
)
∴△
≌△
．
A ９０°
B ３０°
C １２０°
D １５０°
∴CD＝BE．
５ 如图,在△ABC中,CA＝CB,AD⊥BC,BE⊥AC,AC＝５,CD＝３,则BE＝
　４　．
１
利用等腰三角形的两个底
６ 如图,在△ABC中,AB＝AC,D、E
分别是AB、AC
的中点,F
是BE、CD
的
角相等,结合全等三角形可
交点,请写出图中两组全等的三角形,并选一组加以证明．
以说明等腰三角形两腰上
解：△ABE≌△ACD、△BCD≌△CBE、△BDF≌△CEF;
的高、中线以及底角的平分
选择△ABE≌△ACD
进行证明．
线分别相等．
证明：∵AB＝AC,D、E
分别是AB、AC的中点,
２
等腰三角形是轴对称图形,
∴AE＝AD．
由此性质还可推出许多类
,
似的变式结论．
在△ABE
和△ACD
中,{AB＝AC∠A＝∠A,
３
等边三角形是特殊的等腰
AE＝AD,
第６题图
三角形,所以它具备等腰三
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
角形的所有性质,同样具备
一般三角形的所有性质．
７ 如图,已知在等边三角形
ABC
中,D、E
分别是AB、AC
上的点,且
AD＝
CE．求证:CD＝BE．
证明：∵△ABC是等边三角形．
　　忽略高线可能在三角形
∴BC＝AC,∠A＝∠,
ACB＝６０°．外部
造成漏解．
{AC＝BC
,
　等腰三角形一腰上
在△ADC与△CEB
中,∠A＝∠ACB,
的高与
另
一
腰
的
夹
角
为３０°,
AD＝CE,
则它的顶角为
．
∴△ADC≌△CEB(SAS),
第７题图
学生解答:６０°或１２０°．
∴CD＝BE．
４　
１４
如图,在
△ABC
中,AB＝AC,BD⊥AC,CE⊥
AB,求证:BO＝CO．
８ (２０１６年内江市)已知等边三角形的边长为３,点P
证明：∵AB＝AC,
为等边三角形内任意一点,则点P
到三边的距离之
∴∠ABC＝∠ACB,
和为
(B
)
又∵BD⊥AC,CE⊥AB,
A
３
B ３
３
３
∴∠BEC＝∠CDB＝９０°,
C
D 不能确定２
２
２
在△BCE
和△CBD
中,
第１４题图
９
如图,A、C、B
三点在同一条直线上,△DAC
和
ì∠
BEC＝∠CDB,
△EBC都是等边三角形,AE、BD
分别与CD、CE
í∠ABC＝∠ACB,
交于点M、N,有如下结论:①△ACE≌△DCB;②
BC＝BC,
△BCN≌△ECM;③AC＝DN．其中,正确结论的
∴△BCE≌△CBD(AAS),
个数是
(B
)
∴∠BCE＝∠CBD,
A ３个
B ２个
C １个
D ０个
∴BO＝CO．
　　　
１５
综合拓展
(２０１６年龙岩市)(１)如图①,在等边三
第９题图
第１０题图
角形ABC中,点
M
是边BC
上的任意一点(不含
１０ 如图,将等边△APQ
的边PQ
向两边延长,使BP
端点B、C),连接AM,以AM
为边作等边三角形
＝PQ＝QC,则∠BAC＝　１２０°　．
AMN,连接CN．求证:∠ABC＝∠ACN．
１１ 如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同
【类比探究】
一直线上,且CG＝CD,DF＝DE,则∠E＝　１５°　．
(２)如图②,在等边三角形ABC中,点M
是BC
延
长线上的任意一点,其他条件不变,(１)中结论
∠ABC＝∠ACN
还成立吗
请说明理由．
　　　
第１１题图
第１２题图
１２ 如图,点D
是等边△ABC的边AC
上一点,以BD
为边
作
等
边
△BDE,若
BC＝１０,BD
＝８,则
△ADE
的周长为　１８　．
第１５题图
１３ 如图,在等边三角形ABC
中,BD
平分∠ABC,延
证明:（１）∵△ABC和△AMN
都是等边三角形,
长BC到E,使CE＝CD,连接DE．
(１)小颖同学说:“∠DBC＝∠E．”她说得对吗
∴AB＝AC,AM＝AN,
∠
∠
°
请你说明道理;
BAC＝
MAN＝６０
．
(２)小敏说:“把BD
平分∠ABC
改成其他条件,
∴∠BAC－∠MAC＝∠MAN－∠MAC,
也能得到同样的结论．”你认为应该如何改呢
即∠BAM＝∠CAN．
解：(１)对．理由如下：
∴△BAM≌△CAN(SAS)．
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC＝∠ACN．
BD
平分∠ABC,
(２)结论∠ABC＝∠ACN
仍成立．
∴∠DBC＝３０°．
理由：∵△ABC和△AMN
都是等边三角形,
∵∠DCE＝１２０°,
第１３题图
∴AB＝AC,AM＝AN,
CE＝CD,
∠BAC＝∠MAN＝６０°．
∴∠E＝３０°,∴∠DBC＝∠E．
∴∠BAC＋∠CAM＝∠MAN＋∠CAM,
(２)答案不唯一,如可以改为：BD
为AC
边
即∠BAM＝∠CAN．
上的高．
∴△BAM≌△CAN．
理由：∵BD⊥AC,∴∠DBC＝３０°,
∴∠ABC＝∠ACN．
由(１)可知∠E＝３０°,∴∠DBC＝∠E．

５　
第３课时　等腰三角形的判定与反证法
１ 有两个角相等的三角形是　等腰三角形　,简述为　等角对等边　．
２ 先假设命题的结论不成立,然后推导出与定义、基本事实、定理或已知条件
　如图,在△ABC
中,
相　矛盾　的结果,从而证明命题的结论　一定成立　,这种证明方法称为
AB＝AC,∠A＝３６°,BD、CE
分
别
为
∠ABC、∠ACB
的
平
反证法．
分线,则图中等腰三角形共有
(　　)
１ 下列能断定△ABC为等腰三角形的是
(D
)
A ∠A＝３０°,∠B＝６０°
B AB＝３,BC＝７,周长为１３
C AB＝AC＝２,BC＝４
D ∠A＝５０°,∠B＝８０°
２ 如图所示方格纸中的三角形是
(A
)
A 等腰三角形
B 等边三角形
A ５个　　　　B ６个
C 直角三角形
D 等腰直角三角形
C ７个
D ８个
分析:利用等角对等边．
∵AB＝AC,∠A＝３６°,
∴∠ABC＝∠ACB＝７２°,
又BD、CE
为角平分线,
　　　　
　　　　
∴∠ABD＝
∠CBD＝
∠ACE
第２题图
第３题图
第５题图
＝∠BCE＝３６°．
利用三角形的内角和可得:
３ 如图,在△ABC中,∠ABC
和∠ACB
的平分线交于点E,过点E
作MN∥
∠BOC＝１０８°,
BC交AB
于M,交AC于N,若BM＋CN＝９,则线段MN
的长为
(D
)
∠BEO＝
∠BOE＝
∠COD＝
A ６
B ７
C ８
D ９
∠CDO＝７２°,
∴
△ABC、△ADB、△AEC、
４ 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于６０°”时,首先应该假
△BCD、
△BCE、
△BEO、
设这个三角形中
(D
)
△BOC、△DOC
是
等
腰
三
角
A 有一个内角小于６０°
B 每一个内角都小于６０°
形,共８个．
C 有一个内角大于６０°
D 每一个内角都大于:
６０°解
D
５ 聪明的小亮用含有３０°的两个完全相同的直角三角板拼成如图所示的图案,
１
等腰三角形的判定方法有
并发现图中有等腰三角形,请找出图中的两个等腰三角形:　
△ABE、
两种:①根据定义判定;②
△BCE、△DCE（写出其中两个即可）　．
等角对等边．
６ 如图,把一张矩形纸片ABCD
沿对角线BD
折叠,使C
点落在C′,且BC′与
２ “等角对等边”可以将图形
AD
交于E
点,试判断重叠部分的三角形BED
的形状,并证明你的结论．
中角的等量关系转化为线
段的等量关系,是证明线段
解：△BED
是等腰三角形．理由如下：
相等的一种重要方法．
∵AD∥BC,
３
反证法是数学证明的一种
∴∠ADB＝∠CBD．
重要方法,对直接证明较困
又由BC′是边BC
沿BD
折叠而成,难的命题均可用反证法证
明．它的三个基本步骤:①
故∠EBD＝∠CBD．
第６题图
反设;②推出矛盾;③否定
∴∠ADB＝∠EBD．
反设,肯定原命题成立．
∴△BED
是等腰三角形．
７ 用反证法证明:等腰三角形的底角必为锐角．
　　用反证法证明时,命题反
面列举不全．
已知：△ABC中,AB＝AC．
　已知△ABC
中,AB
求证：∠B、∠C必为锐角．
＝AC,求
证:∠B＜９０°．用
反
证明：假设∠B、∠C不是锐角,则∠B＝∠C≥９０°．
证
法
证
明,第
一
步
是:假
设
则∠A＋∠B＋∠C＞１８０°．
．
这与三角形的内角和定理相矛盾,所以假设不成立．
学生解答:∠B≥９０°
故∠B、∠C必为锐角．
６　
１３
如图所示,∠BAC＝∠ABD,AC＝BD,点
O
是
AD、BC的交点,点E
是AB
的中点．试判断OE
和
８ 要使得△ABC
是等腰三角形,则需要满足下列条
AB
的位置关系,并给出证明．
(
)
解：件中的
C
OE
⊥AB．
证明如下：
A ∠A＝５０°,∠B＝６０°
B ∠A＝５０°,∠B＝１００°
在△BAC和△ABD中,
C ∠A＋１２∠B＝９０°
D ∠A＋∠B＝９０°
AC＝BD,
第１３题图
９
如图,在△ABC
中,∠ACB＝
∠BAC＝∠ABD,AB＝BA,
９０°,CD
是AB
上的高,∠BAC
∴△BAC≌△ABD．
的平分线AF
交CD
于E,交
∴∠OBA＝∠OAB．
BC于F,则△CEF
必为
∴OA＝OB．
第
(
)
９
题图
A
又∵AE＝BE,
A 等腰三角形
B 等边三角形
∴OE⊥AB．
C 直角三角形
D 等腰直角三角形
１０ 用反证法证明“一个三角形中不能有两个角是直
角”,则第一步是假设这个三角形中　有两个角是
直角　;第二步论证得到这与　三角形内角和定
１４
综合拓展
如图所示,在△ABC
中,已知∠ABC＝
理　相矛盾;从而得出原命题正确．
∠ACB,BO
平分∠ABC,CO
平分∠ACB．
１１ 如图,在直角坐标
(１)想想看,你能得到什么结论
系中,O
是
原
点,
(２)若过点O
作一直线EF
和边BC
平行,与AB
已知
A(４,３),P
交于点E,与AC交于点F,则图②中有几个等
是坐标轴上的一
腰三角形
线段EF
和EB、FC之间有怎样的
点,若以
O、A、P
关系
三点组成的三角
(３)若∠ABC≠∠ACB,其他条件不变,图③中是
形为等腰三角形,
否还有等腰三角形
(２)中第二问的关系是否
则满足条件的点
还存在
写出你的理由．
P
共有
　８　
个,
第１１题图
写出其中一个点P
的坐标是　(５,０)　．
１２ 如图,在△ABC
中,D、E
分别是AC、AB
边上的
中点,且BD≠CE．求证:AB≠AC．
证明：假设AB＝AC．
第１４题图
∵D、E
分
别
是AC、AB
边
解：(１)△OBC是等腰三角形(BC
为底)或∠BOC
上的中点,
１
∴AE＝AD,
＝９０°＋
∠２
A．
在△ABD
和△ACE
中,
(２)等
腰
三
角
形
有
△ABC,△OBC,△BOE,
ìAB＝AC,
△OCF,△AEF．
í∠A＝∠A,
第１２题图

EF＝EB＋FC．
AD＝AE,
(３)等腰三角形有△BOE,△COF,
∴△ABD≌△ACE（SAS）,
仍有EF＝EB＋FC．
∴BD＝CE,
理由：∵BO、CO
分别平分∠ABC、∠ACB,
这与已知条件BD≠CE
矛盾,
∴∠EBO＝∠OBC,∠FCO＝∠OCB．
∴AB≠AC．
又∵EF∥BC,
∴∠OBC＝∠BOE,∠OCB＝∠COF,
∴∠BOE＝∠EBO,∠COF＝∠FCO,
∴EB＝EO,FC＝FO．
∴EF＝EO＋FO＝EB＋FC．

７　
第４课时　等边三角形的判定
１ 三个角都相等的三角形是　等边三角形　．
２ 有一个角等于　６０°　的等腰三角形是等边三角形．
　
如
图
所
示,已
知
等
３ 在直角三角形中,如果一个锐角等于３０°,那么它所对的直角边等于　斜边　的
腰三角形
ABC
中,AB＝AC,
AD
是△ABC
的
角
平
分
线,E
一半．
是AC
延
长
线
上
一
点,且
CE
＝CD,AD＝DE,求证:△ABC
是等边三角形．
１ 下面给出几种三角形,其中是等边三角形的个数有
(C
)
①有两个内角为６０°的三角形　②外角都相等的三角形　③一边上的高也
是这边上中线的三角形　④有一个角是６０°的三角形
A ４个
B ３个
C ２个
D １个
分析:由等腰三角形性质得出
２ 三角形三边长分别为a、b、c,它们满足(a－b)２＋|b－c|＝０,则该三角形是
AD⊥BC,利用等边对等角和
(C
)
补
角、内
角
和
求
出
∠ACD＝
A 等腰三角形
直角三角形６０°得证．
B
证明:∵CD＝CE,
C 等边三角形
D 等腰直角三角形
∴∠E＝∠CDE,
３ 如图,△ABC
中,∠C＝９０°,AC＝３,∠B＝３０°,点P
是BC
边上的动点,则
∴∠ACB＝２∠E．
长不可能是
(
)
又∵AD
平分∠BAC,
AP
D
AB＝AC,
A ３．５
B ４．２
C ５．８
D ７
∴∠ADC＝９０°．
∵AD＝DE,
∴∠E＝∠DAC．
在
Rt△ADC
中
∠DAC
＋
∠ACB＝９０°,
∴３∠DAC＝９０°,
∠DAC＝３０°,
∠ACB＝６０°,
　　
　　
又∵AB＝AC,
第３题图
第４题图
第６题图
∴△ABC是等边三角形．
４ 如图,已知△ABC中,∠B＝６０°,AB＝AC＝４,过BC上一点D
作PD⊥BC,
交BA
的延长线于点P,交AC于点Q,若CD＝１,则PA＝　２　．
１
等边三角形共有五种判定
,
,
,
方法:①三边都相等;②三
５ 已知等腰△ABC中
AB＝AC
∠B＝６０°
则∠A＝　６０　度．
个内角都是６０°;③三个角
６ 如图,在△ABC中,AB＝AC＝６,∠B＝１５°,CD
是腰AB
上
都相
等;④
有
两
个
角
等
于
的高,那么CD＝　３　．
６０°;⑤有一个角为６０°的等
(
腰三角形．
７
２０１６年宁波市)如图,在一次数学课外实践活动中,小聪在
２ “直角三角形中,３０°角所对
距离旗杆１０m
的A
处测得旗杆顶端B
的仰角为６０°,测角
的直角边等于斜边的一半”
仪高AD
为１m,则旗杆高BC为　(１０
３＋１)　m．(结果保是直角三角形中边角转换
的依据,在实际应用中起着
留根号)
第７题图
重要作用．
８ 如图,在△ABC
中,∠ACB＝１２０°,CD
平分∠ACB,AE∥
DC,交BC的延长线于点E,试说明△ACE
是等边三角形．
　　忽略了三角形的高的分
解：∵CD
平分∠ACB,∠ACB＝１２０°,
类．
　
∴∠
∠
°若等腰三角形一腰
BCD＝
ACD＝６０
．
上的高等于腰长的一半,则这
∵AE∥DC,
个等腰三角形的底角度数为
∴∠CAE＝∠ACD＝６０°,
(　　)
第８题图
∠E＝∠BCD＝６０°,
A ７５°或１５°　　B ３０°或６０°
C ７５°
D ３０°
∴∠CAE＝∠E＝６０°,
学生解答:A
∴△ACE
是等边三角形．
８　
∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝３０°．
（２）∵AB＝AC,∠BAC＝１２０°,
∴∠B＝∠９
将一个有４５°角的三角板的直
C＝３０
°．
∵∠
角顶点放在一张宽为３cm
的纸
DAC＝９０
°,
∴
带边沿上,另一个顶点在纸带
DC＝２AD．第９题图
,
∵∠
∠
°,的另一边沿上
测得三角板的一边与纸带的一边所
BAD＝
B＝３０
∴
在的直线成３０°角,如图,则三角板的最大边的长为
AD＝BD
,
(
)
∴D
DC＝２BD．
A ３cm
B ６cm
C ３
２cm
D ６
２cm
,
综合拓展
在四边形
中,１０ 如图
P
为∠AOB
内一点,∠AOB＝３０°,P
关于
１５
ABCD
AB＝BC＝CD＝
OA、OB
的对称点分别为M、N,则△MON
一定
DA,∠B＝∠D＝６０°,连接AC．
是
(B
)
(１)如图１,点E、F
分别在边BC、CD
上,且BE＝
A 等腰三角形
B 等边三角形
CF．求证:
C 直角三角形
D 等腰直角三角形
①△ABE≌△ACF;
②△AEF
是等边三角形．
(２)若点E
在BC
的延长线上,在直线CD
上是否
存在点F,使△AEF
是等边三角形
请证明
你的结论(图２备用)．
　　　
第１０题图
第１１题图
１１ (２０１６年黄石市)如图所示,一艘海轮位于灯塔P
的北偏东３０°方向,距离灯塔４海里的A
处,该海
轮沿南偏东３０°方向航行　４　海里后,到达位于
第１５题图
灯塔P
的正东方向的B
处．
解：(１)证明：①∵AB＝BC,∠B＝６０°,
１２ (２０１６年齐齐哈尔市)有一面积为５
３的等腰三
∴△ABC是等边三角形．
角形,它的一个内角是３０°,则以它的腰为边的正
∴AB＝AC．
,
,
方形面积为　２０或２０
３　．
同理
△ADC也是等边三角形
１３ 如图,在△ABC
中,∠ACB＝９０°,∠A＝３０°,CD
∴∠ACF＝∠B＝６０°．
,
⊥AB
于D,BC＝６cm,求AD
的长．
又∵BE＝CF
∴△
≌△
(
)
解：∵∠ACB＝９０°,
ABE
ACFSAS
．
A＝３０
,BC＝６cm,
②∵△ABE≌△∠
°
ACF
,
,
∴∠B＝６０
,
∴°
AE＝AF
∠BAE＝∠CAF．
AB＝２BC＝１２cm．
∵∠BAE＋∠CAE＝６０°
,
第１３题图
CD
AB
D,
∴∠又∵
⊥
于
CAF＋∠CAE＝６０°
,
BDC＝９０
．
即∠∴∠
°
EAF＝６０°．
∴∠DCB＝３０°．
∴△AEF
是等边三角形．
()
∴DB＝１
２
存在．
２BC＝３cm．
证明：
在
CD
延
长
线
上
∴AD＝AB－DB＝９cm．
取点F,使
CF＝BE,连
接AE、EF、AF．
与(１)①同理可证△ABE≌△ACF,
１４ 如图,在△ABC
中,AB＝AC,∠BAC＝１２０°,AD
∴AE＝AF,∠BAE＝∠CAF．
⊥AC于点A．
∴∠CAF－∠CAE＝∠BAE－∠CAE．
(１)求∠BAD
的度数．
∴∠EAF＝∠BAC＝６０°．
(２)求证:DC＝２BD．
∴△AEF
是等边三角形．
解：（１）∵AD⊥AC,
(注：在CD
延长线上取点F,使DF＝CE
也
∴∠DAC＝９０°．
第１４题图
可)
∵∠BAC＝１２０°,

９　

滚动小专题(一)　等腰三角形的性质与判定的应用
　等腰三角形两底角相等的应用
５ 如图,已知AD＝AE,BD＝CE,试探究AB
和AC
１
如
图,在
△ABC
中,AC＝BC,△ABC
的
外
角
的大小关系,并说明理由．
∠ACE＝８０°,则∠A
的度数为
(A
)
解：AB＝AC．
A ４０°
B ５０°
C ８０°
D １００°
理由：∵AD＝AE,
∴∠ADE＝∠AED,
∴∠ADB＝∠AEC,
在△ABD
和△ACE中,
第５题图
,
ìAD＝AE
∠
∠
,
　　　
í
ADB＝
AEC
BD＝CE,
第１题图
第２题图
∴△
≌△
,
２ 如图,AD＝BD＝CD,∠DAB＝５０°,∠ACD＝３０°,
ABD
ACE
∴
则∠DCB
的度数为
(A
)
AB＝AC．
A １０°
B ２０°
C ３０°
D ４０°
３ (２０１６年安顺市)如图,直
　等腰三角形“三线合一”性质应用
线m∥n,△ABC为等腰直
６ 如图,△ABC中,AB＝AC,点D
为BC
边的中点,
角三
角
形,∠BAC＝９０°,
∠BAD＝２０°,则∠B＝　７０°　．
则∠１＝　４５　度．
４ 等腰三角形一腰上的高与
第３题图
另一腰的夹角为４０°,求该
等腰三角形的底角度数．
解：①
如
图
１,等
腰
三
角
形
ABC
　　　
中,AB＝AC,BD⊥AC,
第６题图
第７题图
∠ABD＝４０°,
７ 如图,△ABC中,AB＝AC,且周长为３２,AD⊥BC
∵BD⊥AC,
于点D,△ACD
的周长为２４,则AD＝　８　．
∠ABD＝４０°,
８ (２０１６年北京四中模拟)如图,在△ABC
中,AB＝
∴∠A＝５０°,
图１
AC,AD
是BC
边上的中线,BE⊥AC于点E．
又∵AB＝AC,
求证:∠CBE＝１∠BAC．
∴∠ABC＝∠C＝（１８０°－５０°）÷２＝６５°．
２
②
如
图
２,等
腰
证明：∵AB＝AC,
△ABC中,AB＝AC,
AD
是BC
边上的中线,
BD⊥AC,
∴AD⊥BC,
∠ABD＝４０°,
∠BAD＝∠DAC＝１∠２
BAC
,
第８题图
∵BD⊥AC,
图２
又∵BE⊥AC,
∠ABD＝４０°,
∴∠
∠
∠
∠
°,
∴∠BAD＝５０°,
CBE＋
C＝
CAD＋
C＝９０
∠CAD＝∠,
CBE
,
∠BAC＝１３０°
１
又∵AB＝AC,
∴∠CBE＝
∠２
BAC．
∴∠ABC＝∠C＝(１８０°－１３０°)÷２＝２５°．
综上,底角度数为６５°或２５°．




１０　
９ 如图所示,五边形ABCDE
中,AB＝AE,BC＝DE,
　等边三角形的性质与判定
∠ABC＝
∠AED,F
是CD
的中点．求证:AF⊥
１２ 如图,△ABC为等边三角形,∠１＝∠２,BD＝CE,
CD．
求证:△ADE
是等边三角形．
证明：连接AC、AD．
证明：∵△ABC是等边三角形,
在△ABC和△AED
中,
∴AB＝AC,
ìAB＝AE,

∠BAC＝６０°,
í∠ABC＝∠AED,

在△ABD
和△ACE
中,
BC＝ED,
ìAB＝AC,
∴△ABC≌△AED(

SAS)．
第９题图
í∠１＝∠２,
第１２题图
∴AC＝AD(全等三角形的对应边相等)．
BD＝CE,
又∵△ACD
中AF
是CD
边上的中线,
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AF⊥CD(等腰三角形底边上的高和底边
∴AD＝AE,∠BAD＝∠CAE＝６０°,
上的中线互相重合)．
∴△ADE
为等边三角形．
　等腰三角形的判定
１０ 如图,点E、F
在BC
上,∠A＝∠D,∠B＝∠C,
１３ 如图,△ABC是等边三角形,点D、E
分别在BC、
AF
与DE
交于点O,试判断△OEF
的形状．并说
AC边上,且AE＝CD,AD
与BE
交于点F．
明理由．
(１)求证:△ABE≌△CAD．
解：△OEF
为
等
腰
三
角
(２)求∠BFD
的度数．
形．理由：
解：（１）∵
△ABC
是
等
边
三
∵∠A＝∠D,
角形,
∠B＝∠C,
∴
∠ABC
＝
∠BCA
＝
∴
∠A＋
∠B＝
∠D
∠CAB＝６０°,
第
题图
第１３题图
＋∠C,
１０
AB＝BC＝AC,
又∵∠AFB＝１８０°－(∠A＋∠B),
在△ABE
和△CAD
中,
∠DEC＝１８０°－(∠C＋∠D),
ìAB＝AC,
∴∠AFB＝∠DEC,
í∠BAE＝∠C,

∴△OEF
为等腰三角形．
AE＝CD,
∴△ABE≌△CAD(SAS)．
(２)∵△ABE≌△CAD,
１１ 如图,锐角△ABC的两条高BD、CE
相交于点O,
∴∠１＝∠２,
且OB＝OC,求证:△ABC是等腰三角形．
又∵∠BFD＝∠２＋∠BAF,
证明：∵OB＝OC,
∴∠BFD＝∠１＋∠BAF＝∠BAC＝６０°．
∴∠OBC＝∠OCB,
又∵BD、CE
为
△ABC
的
高,
∴∠OBC＋∠ACB＝９０°,
∠OCB＋∠ABC＝９０°,
第１１题图
∴∠ACB＝∠ABC,
∴△ABC是等腰三角形．

１１　
１．２　直角三角形
第１课时　直角三角形的性质与判定
１ 直角三角形的两个锐角　互余　,有两个锐角　互余　的三角形是直角三
角形．
　
如
图,四
边
形
ABＧ
２ 直角三角形两条直角边的　平方和　等于　斜边　的平方,如果三角形两条
CD
中,∠B＝９０°,AB＝３,BC
边的平方和　等于　第三条边的平方,那么这个三角形是　直角　三角形．
＝４,CD＝１２,AD＝１３,求
四
３ 在两个命题中,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的　结论　边形ABCD
的面积．
和　条件　,那么这两个命题称为互逆　命题　,其中一个命题称为另一个
命题的　逆命题　．
４ 一个命题是真命题,它的逆命题　不一定　是真命题,如果一个定理的逆命
题经过证明是　真　命题,那么它也是一个定理,这两个定理称为　互逆　
分析:这是一个不规则的四边
形,可连接
AC
变化成两个三
定理,其中一个定理称为另一个定理的　逆定理　．
角形,其中△ABC是直角三角
形,由
勾
股
定
理
求
出
AC
的
长,在△ACD
中,由勾股定理
的逆定理可判断△ACD
是一
１ (２０１６年长沙市)下列各图中,∠１与∠２互为余角的是
(B
)
个直角三角形．
解:连结AC．∵∠B＝９０°,AB
＝３,BC＝４,∴AC２
＝AB２
＋
BC２＝９＋１６＝２５(勾股定理)．
∴AC＝５,∵AC２＋CD２＝５２＋
２ 下列条件中不能判断△ABC为直角三角形的条件是
(D
)
１２２＝１６９,AD２＝１３２＝１６９,∴
AC２＋CD２
＝AD２,∴
∠ACD
A AB
２＋AC２＝BC２
B ∠B∶∠C∶∠A＝１∶２∶３
＝９０°(勾
股
定
理
的
逆
定
理),
C ∠B＋∠C＝∠A
D AB∶BC∶CA＝１∶２∶３
S四边形ABCD
＝S△ABC
＋S△ACD
＝
３ (２０１６年荆门市)如图,△ABC
中,AB＝AC,AD
是∠BAC
的平分线,已知
１
２AB
BC＋
１
２AC
CD＝６
AB＝５,AD＝３,则BC的长为　８　．
＋３０＝３６．
１
直角三角形的性质反映了
三角形边角之间的数量关
　　　　
系,是几何计算或证明的重
第３题图
第４题图
要依据．
２
在直角三角形中,已知其中
４ (２０１６年达州市)如图,AB∥CD,AE
交CD
于点C,DE⊥AE
于点E,若∠A
任意两边长,用勾股定理可
＝４２°,则∠D＝　４８°　．
求出第三边长,勾股定理适
５ 写出下列命题的逆命题,并判断这个命题的真假．
用范围只能是直角三角形．
(１)三边对应相等的两个三角形全等;
３
在应用勾股定理进行线段
长度计算时,一定要出现直
　两个全等三角形的三边对应相等,真命题　　　　．
角三角形,若没有直角三角
(２)若a＝b,则a２＝b２．
形,可以通过辅助线构造直
　若a２＝b２,则a＝b,假命题　　　　　　　　　
　．
角三角形．
６ 如图是一个机器零件示意图,∠ACD＝９０°是衡量这个零件合格的一项指
标．现测得AB＝４cm,BC＝３cm,AD＝１３cm,CD＝１２cm,∠ABC＝９０°,根据
　　直角三角形的直角不明
这些条件,能否得出
,
∠ACD
等于９０°
请说明理由．
确
考虑不全．
解：能．理由如下：在
Rt△　直角三角形两边长
ABC
中,
分别为６和８,求另一边长．
∵AB＝４cm,BC＝３cm,∠ABC＝９０°,
学生解答:(１)当８是
直
角
边
∴AC＝
３２＋４２＝５(cm)．
时,则另
一
条
边
为
６２＋８２
＝
在△ACD
中,∵AD＝１３cm,CD＝１２cm,AC＝５cm．
第６题图
１０;
∴AD２＝１６９,CD２＋AC２＝１６９,
(２)当８是
斜
边
时,则
另
一
条
∴AD２＝CD２＋AC２,
边为
８２－６２＝２
７．
∴∠ACD＝９０°．
１２　
１３ 写出下列命题的逆命题,并判断每对命题的真假,
说明其中哪对是互逆定理．
７ 如图,一架梯子长为１０米,斜靠在一面墙上,梯子
(１)五边形是多边形;
顶端离地面６米,要使梯子顶端离地面８米,则梯
(２)两直线平行,同位角相等．
子底部在水平方向上应滑动
(B
)
解：(１)逆命题为：多边形是五边形．原命题是真
A １米
B ２米
C ３米
D ４米
命题
,逆命题是假命题．
(２)逆命题为：两直线被第三条直线所截,若
同位角相等,则这两条直线平行．原命题是真
命题,逆命题是真命题．它们是互逆定理．
１４ 如图,在直角坐标系中,点A,B
的坐标分别为A
　　　
(３,１),B(２,４),判断△OAB
的形状,借助于网格
第９题图
进行计算,证明你的结论．第７题图
８ 一直角三角形的两边长分别为３和４,则第三边的
解：过点A作AA１⊥x轴于点A１
,
长为
(
)
过点B作BB１⊥x轴于点B１,D
过点A作AC⊥BB１
于点C．
A ５
B
５
C
７
D ５或
７
∵OA２
＝OA
２＋AA２１
１
９ 如图,小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端,绳子末端
＝３２＋１２
刚好接触到地面,然后将绳子末端拉到距离旗杆
＝１０,
第１４题图
８m处,发现此时绳子末端距离地面２m,则旗杆的
OB２
＝OB
２１
＋BB２１
高度为(滑轮上方的部分忽略不计)
(D
)
＝２２＋４２
A １２m
B １３m
＝２０,
C １６m
D １７m
AB２＝AC２＋BC２＝１２＋３２＝１０,
１０ 如图,在△ABC中,CA＝CB,AD⊥BC,BE⊥AC,
∴OA２＋AB２＝OB２．
AB＝５,AD＝４,则AE＝　３　．
∴△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形．
１５
综合拓展
(２０１６
年益阳
市)在△ABC
中,AB＝
１５,BC＝１４,AC＝１３,求△ABC的面积．
　　　　　
某学习小组经过合作交流,给出了下面的解题思
第１０题图
第１１题图
路,请你按照他们的解题思路完成解答过程．
１１ (２０１６年咸宁市)如图所示,将长方形
ABCD
沿
作
AD⊥BC
根据勾
股
定
利用勾
股
定
AE
折叠,使点D
落在BC
边的点F
处．已知AB
于D,设BD
理,利用
AD
理
求
出
AD
＝８cm,BC＝１０cm,则EC的长为　３cm　．
＝x,用含
x→
作为“桥梁”,→
的长,再计算
１２ 已知在△ABC
中,AC＝８,∠A＝３０°,∠B＝４５°,
的代数
式
表
建立方
程
模
三角形面积
求AB
和BC
的长．
示CD
型求出x
解：过点C作CD⊥AB于点D,
解：在△ABC中,AB＝１５,
在△ABC中,
BC＝１４,AC＝１３,
∠A＝３０°,AC＝８,
设BD＝x,则CD＝１４－x．
由勾股定理得：
∴CD＝１２AC＝４
,
第１２题图
AD２＝AB２－BD２＝１５２－x２,
∴AD＝
８２－４２＝４
３,
AD２
＝AC２－CD２
第１５题图
∵∠B＝４５°,
＝１３２－(１４－x)２,
∴CD＝BD＝４,
∴１５２－x２＝１３２－(１４－x)２,
∴BC＝
４２＋４２＝４
２,
解之得：x＝９．
∴AB＝AD＋BD＝４
３＋４．
∴AD＝１２．
∴S
１△ABC＝２BC
·AD＝１×２
１４
×１２＝８４．

１３　
第２课时　直角三角形全等的判定
１ 直角三角形是特殊的三角形,一般三角形全等的判定方法对于直角三角形同
样适用,它们分别是　SSS　,　SAS　,　ASA　,　AAS　．(用数学符号简记)
　
如
图,已
知
AC⊥
２ 斜边和一条直角边
对应相等　的两个直角三角形全等,简称“斜边直角边　”
BC,BD⊥AD,AC与BD
交于
定理,记作:“　HL　”．
点O,AC＝BD．求证:
３ 两条边对应相等的两个直角三角形　全等　．
(１)BC＝AD．
(２)△OAB
是等腰三角形．
１ 如图,O
是∠BAC内一点,且点O
到AB、AC
的距离OE＝OF,则△AEO≌
△AFO
的依据是
(A
)
A HL
B AAS
C SSS
D ASA
分
析:由
Rt
△ACB
≌
Rt
△BDA
证明．
证明:(１)∵AC⊥BC,
BD⊥AD,
∴∠D＝∠C＝９０°,
　　　　　
　　　　　
又∵AB＝BA,AC＝BD,
第１题图
第２题图
第３题图
∴Rt△ACB≌Rt△BDA,
２ 如图,已知∠C＝∠D＝９０°,若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD,则还需
∴BC＝AD．
补充条件
(B
)
(２)∵Rt△ACB≌Rt△BDA,
A ∠BAC＝∠BAD
B AC＝AD
或BC＝BD
∴∠CAB＝∠DBA,
C AC＝AD
且BC＝BD
D 以上都不正确
∴△OAB
是等腰三角形．
３ 如图,两根长度为１１米的绳子,一端系在旗杆上,另一端分别固定在地面的
两个木桩上,两个木桩离旗杆底部的距离BD
与CD
的关系是
(B
)
选择适
当
的
方
法
证
明
两
个
直
A BD＞CD
B BD＝CD
C BD＜CD
D 不能确定
角三角
形
全
等
的
关
键
是
看
已
４ (２０１６年邵阳实验中学期中)如图,已知AC⊥BD
于点P,AP＝CP,请增加
知条件的特点,概括起来有以
一个条件,使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线),你增加的条件是　:
BP＝下几种情况
(１)
DP
（或AB＝CD
或∠A＝∠C或∠B＝∠D）　．(填一个即可)
当有一条直角边和斜边对
应相等时,用“HL”判定其
全等;
(２)当有两条直角边对应相等
时,用“SAS”判定其全等;
()
　　　　
　　　　３
当有一个锐角和斜边对应
第
,
“
”
４
题图
第５题图
第６题图
相等
时
用
AAS
判
定
其
全等;
５ 如图,直线l过正方形ABCD
的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是１和
(４)当有一条直角边和一个锐
２,则正方形的面积是　５　．
角对
应
相
等
时,用“ASA”
６ 如图,在Rt△ABC中,∠BAC＝９０°,AB＝AC,分别过点B、C作过点A
的直
或“AAS”判定其全等．
线的垂线BD、CE,若BD＝４cm,CE＝３cm,则DE＝　７　cm．
７ 如图,已知AB⊥CD
于点B,CF
交AB
于点E,CE＝AD,BE＝BD．求证:
　　忽略利用“HL”判定直角
(１)△BCE≌△BAD;
三角形全等的前提条件．
(２)CF⊥AD．
　
如
图,已
知
AB⊥
证明：（１）∵AB⊥CD,∴∠ABD＝∠ABC＝９０°,
CD,垂足为B,BC＝BE,若直
,在
Rt△BCE
和
Rt△BAD
中
CE＝AD
接应
用
“HL”判
定
△ABC≌
{BE＝BD,
△DBE,则需要添加的一个条
∴△BCE≌△BAD．
件是
．
（２）∵△BCE≌△BAD,
第７题图
∴∠C＝∠A,
又∵∠C＋∠BEC＝９０°,∠BEC＝∠FEA,
∴∠FEA＋∠A＝９０°,
∴CF⊥AD．
学生解答:AC＝DE
１４　
１４ 如图,AB＝AD,∠ABC＝∠ADC＝９０°,EF
过点
C,BE⊥EF
于E,DF⊥EF
于F,BE＝DF,求证:
Rt△BCE≌Rt△DCF．
８ 在如图所示的４×４正方形网格中,∠１＋∠２＋∠３
证明：连接AC,在Rt△ABC和Rt
＋∠４＋∠５＋∠６＋∠７＝
(B
)
△ADC中,
A ３３０°
B ３１５°
C ３１０°
D ３２０°
{AB＝AD,AC＝AC,
∴Rt△ABC≌Rt△ADC,
∴BC＝DC,
又∵BE⊥EF,DF⊥EF,
第１４题图
　　　　　　
∴△BEC和△DFC为直角三角形,
第８题图
第９题图
∵BE＝DF,BC＝DC,
９ 如图,△ABC
中,AB＝AC,BD⊥AC
于D,CE⊥
∴Rt△BEC≌Rt△DFC．
AB
于E,BD
和CE
交于O,AO
的延长线交BC
于
F,则图中全等的直角三角形有
(D
)
A ３对
B ４对
C ５对
D ６对
１０ 如图,AB⊥AC,DC⊥AC,AD＝BC,则AD
和BC
１５
综合拓展
(２０１６年达州市)△ABC
中,∠BAC＝
的位置关系是　平行　．
９０°,AB＝AC,点D
为直线BC
上一动点(点D
不
与B,C
重合),以AD
为边在AD
右侧作正方形
ADEF,连接CF．
(１)观察猜想:
如图１,当点D
在线段BC
上时:
①BC与CF
的位置关系为:　垂直　;
②BC,CD,CF
之间的数量关系为:　BC＝CD
　　　　　
＋CF　．(将结论直接写在横线上)
第１０题图
第１１题图
(２)数学思考:
１１ 如图,AD⊥DC,AB⊥BC,若AB＝AD,∠DAB＝
如图２,当点D
在线段CB
的延长线上时,结
１２０°,则∠ACB
的度数为　３０°　．
论①,②是否仍然成立
若成立,请给予证明;
１２
如
图,在
Rt△ABC
中,∠C＝
若不成立,请你写出正确结论再给予证明．
９０°,AC＝１０cm,BC＝５cm,一条
线段PQ＝AB,P、Q
两点分别
在AC
和AC
的垂线AX
上移
动,则当AP＝　５cm或１０cm　
,
第
题图时
才能使△ABC
和△APQ
全
１２
等．
１３ 如图所示,在△ABC中,∠BAC＝∠ABC,点P
在
AB
上,如果AD⊥CP,BE⊥CP,垂足分别为D、
第１５题图
,
解：（２）①成立
,②不成立,正确结论：
E
且BE＝CD
BC＝CD．
()试探求这个图形中还有哪些相等的线段,并说
－CF．１
;
在正方形明理由
ADEF
中
,AD＝AF,
()
∵∠试确定
ABC的形状
BAC＝
∠DAF＝９０°,
２
△
．
()
∴∠BAD＝∠CAF,解：
１
图中相等的线段还有AC
AD＝AF,
＝BC,CE＝AD．理由：
,
在△
与△BAC
ABC
DAB
FAC
中,{∠BAD＝∠CAF,∵∠
＝∠
AB＝AC,
∴AC＝BC．
,
,
∴△
≌△AD
CPBE
CP
DAB
FAC
,
∵
⊥
⊥
∴∠
ADC
BEC
ABD＝
∠ACF＝１３５°,BD＝CF,
∴∠
＝∠
＝９０°．
,
又∵BE＝CD,
第１３题图
∴∠BCF＝∠ACF－∠ACB＝９０°
即BC⊥CF．
∴Rt△BCE≌Rt△CAD(HL),
∵
CE
AD
BC＝CD－BD
,
∴
＝
．
()
∴ABC
BC＝CD－CF．２
△
为等腰直角三角形．
由(１)知AC＝BC,△BCE≌△CAD,
∴∠EBC＝∠ACD．
∵∠EBC＋∠BCE＝９０°,
∴∠ACD＋∠BCE＝９０°,即∠ACB＝９０°．
∴△ABC为等腰直角三角形．

１５　
１．３　线段的垂直平分线
第１课时　线段的垂直平分线
１ 线段　垂直平分线　上的点到这条线段两个端点的距离　相等　．
２ 到一条线段两个端点　距离　相等的点,在这条线段的　垂直平分线　上．
　
如
图
所
示,在
△ABC中,AB＝AC,AB
的垂
直平分线交AC
于E,垂足为
D,∠EBC∶
∠EBA＝１∶２,
１ 如图所示,CD
是AB
的垂直平分线,若AC＝１．６cm,BD＝２．３cm,则四边形
求∠A
的度数．
ACBD
的周长是
(B
)
A ３．９cm
B ７．８cm
C ４cm
D ４．６cm
分析:根据∠EBC∶∠EBA＝１
∶２,可以设∠EBC＝x,∠EBA
＝２x,由
AB＝AC
得
出∠C＝
　　　　
　　　　
∠ABC＝３x,根据DE垂直平分
第１题图
第２题图
第３题图
AB,得出∠A＝∠EBA＝２x,利
２ 如图,四边形ABCD
中,AC
垂直平分BD,垂足为E,下列结论不一定成立
用三角形的内角和定理就可求
的是
(C
)
出∠A的度数．
A AB＝AD
B AC平分∠BCD
解:∵∠EBC∶∠EBA＝１∶
２,设
∠EBC＝x,∴∠EBA＝
C AB＝BD
D △BEC≌△DEC
２x,则
∠ABC＝３x．∵AB＝
３ 如图,在△ABC中,AC＝４cm,线段AB
的垂直平分线交AC
于点N,△BCN
AC,∴∠C＝∠ABC＝３x,∵
的周长是７cm,则BC的长为
(C
)
DE
垂
直
平
分
AB,∴
∠A＝
A １cm
B ２cm
C ３cm
D ４cm
∠EBA＝２x,∵∠A＋∠ABC
４ 如图,AC＝AD,BC＝BD,则
(B
)
＋∠C＝１８０°,∴２x＋３x＋３x
A CD
垂直平分AB
B AB
垂直平分CD
＝１８０°,∴x＝２２．５°,∴∠A＝
C CD
平分∠ACB
D 以上结论均不对
２x＝４５°．
１
线段的垂直平分线的性质定
理与判定定理互为逆定理．
２
线段的垂直平分线的性质
定理和判定定理与直角三
　　　　
　　　　
角形和全等三角形紧密相
第４题图
第５题图
第６题图
联,但又各具独立性．
５ 如图,直线y＝x是线段AB
的垂直平分线,若A
点的坐标为(０,２),则B
点
的坐标是　（２,０）　．
　　忽略了有两种情况．
６ 如图,D
是线段AB、BC
垂直平分线的交点,若∠ABC＝１５０°,则∠ADC＝
　
已
知
P、Q
为
线
段
　６０°　．
AB
垂
直
平
分
线
上
的
两
点,
７ 如图,在△ABC中,∠C＝９０°,∠A＝３０°,BD
平分∠ABC
交AC
于点D．求
∠PAB＝６０°,∠QAB＝３０°,
证:点D
在AB
的垂直平分线上则∠PBQ＝　　　　．
．
分析:如图有两种情况:
证明：∵∠C＝９０°,∠A＝３０°,
∴∠ABC＝９０°－３０°＝６０°．
∵BD
平分∠ABC,
∴∠ABD＝１∠２
ABC＝
１×
２
６０
°＝３０°．
第７题图
∴∠A＝∠ABD．
学生解答:９０°或３０°
∴DA＝DB．
∴点D
在AB
的垂直平分线上．
１６　
１４ 如图,在四边形ABCD
中,AD∥BC,E
为CD
的
中点,连接AE、BE,BE⊥AE,延长AE
交BC
的
延长线于点
求证:
８
(２０１６年河北省)
,
F．
如图
已知钝
()
;
角△ABC,依下列步骤尺规作
１AD＝FC
,
()图
并保留作图痕迹．
２AB＝BC＋AD．
步骤１:以C为圆心,CA
长为半
证明：(１)∵AD∥BC,
径画弧①;
∴∠ADC＝∠ECF,
:
第
题图步骤２
以B
为圆心,BA
长为半
∵E
是CD
的中点,
１４
径画弧
②,交弧
①
于点
∴DE＝EC．
D;
∵在△ADE
与△FCE
中,
步骤３:连接AD,交BC
延长线
第８题图
∠ADC＝∠ECF,
于点H．
DE＝EC,∠AED＝∠FEC,
下列叙述正确的是
(A
)
∴△ADE≌△FCE,
A BH
垂直平分线段AD
∴AD＝FC．
B AC平分∠BAD
(２)∵△ADE≌△FCE,
C S△ABC＝BC AH
∴AE＝EF,AD＝CF,
D AB＝AD
又∵
⊥
,
９ 下列说法:
BE
AE
①若直线
PE
是线段AB
的垂直平分
∴
线,则EA＝EB;②若PA＝PB,EA＝EB,则直线
BE
是线段AF
的垂直平分线,
PE
是线段
∴
AB
的垂直平分线;③若EA＝EB,则直
AB＝BF＝BC＋CF
,
线EP
是线段AB
的垂直平分线;④若PA＝PB,
∵AD＝CF,
则点P
在线段AB
的垂直平分线上．其中正确的有
∴AB＝BC＋AD．
(C
)
A １个
B ２个
C ３个
D ４个
１０ (２０１６年长沙市)如图,△ABC
中,AC＝８,BC＝
１５
综合拓展
如图①,在△ABC
中,AB＝AC,AB
的
５,AB
的垂直平分线DE
交AB
于点D,交边AC
垂直平分线交
,
AB
于点N,交BC
延长线于点M,
于点E
则△BCE
的周长为　１３　．
∠A＝４０°．
(１)求∠BMN
的度数．
(２)若
∠A
＝７０°,如
图
②,其
余
条
件
不
变,求
∠BMN
的度数．
　　　　
(３)你发现了什么样的规律
请证明你发现的规
第１０题图
第１１题图
律．
１１ 如图,在长方形ABCD
中,AB＝２,BC＝４,对角线
(４)若∠A
为钝角,如图③,其余条件不变,你发现
AC的垂直平分线分别交AD、AC于点E、O,连接
的规律是否需要修改
(不需说明理由)
CE,则CE
的长为　２．５　．
１２
如图,在△ABC
中,AB＝AC,
∠A＝１２０°,BC＝６cm,AB
的垂
直平分线交CB
于点M,交AB
于点E,AC
的
垂
直
平
分
线
交
BC
于点
N,交
AC
于点F,则
第１２题图
MN＝　２　．
第１５题图
１３ 如图,△ABC中,AB＝AC,∠BAC＝１２０°,AB
的
解：(１)∵AB＝AC,∠A＝４０°,
垂直平分线DE
交BC
于点D,交AB
于点E．求
∴∠B＝１(１８０°－∠A)＝７０°,
证:BD＝１２DC
２
．
又∵MN
垂直平分AB,
证明：∵在△ABC中,
∴∠BMN＝２０°．
AB＝AC,
(２)同理得∠BMN＝３５°．
∠BAC＝１２０°,
１
∴∠B＝∠C＝３０°．
(３)规律是：∠BMN＝
∠A．第１３题图
２
∵DE
垂直平分AB,
证明：设∠A＝α,
∴BD＝DA．
１
∴∠BAD＝∠B＝３０°．
则有∠B＝
(１８０°－α)２
．
∴∠DAC＝９０°．
∴∠BMN＝９０°－１１
(１８０°－α)＝
１α．
∴DA＝２DC．
２
２
(４)结论仍然成立,不需要修改．
∴BD＝１２DC．

１７　
第２课时　三角形中的垂直平分线
１ 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,这一点到三个顶点的距离　相等　,且
锐角三角形的交点在三角形　内　部,直角三角形的交点在　斜边上　,钝
　
如
图
△ABC
的
边
角三角形的交点在三角形　外　部．
AB、AC的垂直平分线相交于
２ 利用直尺和圆规,可以作出线段的　垂直平分线　,这种作图也可以用来作
点P,连接PB、PC,若∠ABP
线段的　中　点和线段的垂线．
＝
４０°,∠ACP
＝
３５°,求:
∠BPC的度数．
１ (２０１６年毕节市)到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的
(D
)
A 三条高的交点
B 三条角平分线的交点
C 三条中线的交点
D 三条边的垂直平分线的交点
２ 体育课上,A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢
分析:利用三角形三边垂直平
球游戏,要求在他们中间放一个球,谁先抢到球谁获胜,为使游戏公平,则球
分线的
性
质
和
三
角
形
的
内
角
应放的最适当的位置为△ABC的
(D
)
和求角的度数．
A 三边中线的交点
B 三角形内任意一点
解:连接AP,
C 三边上高的交点
D 三边垂直平分线的交点
∵P
为AB、AC垂直平分线交
３ 到平面内不共线的三点A、B、C距离相等的点
(A
)
点,
A 只有一个
B 有两个
∴BP＝AP＝PC,
C 有三个
D 有一个或没有
又∵∠ABP＝４０°,∠ACP＝３５°,
４ 已知△ABC中,∠A＝５０°,∠B＝６０°,则△ABC三边的垂直平分线的交点在
∴
∠ABP
＝
∠BAP
＝４０°,
(A
)
∠ACP＝∠CAP＝３５°,
A △ABC的内部
B △ABC的边上
∴∠PBC＋
∠PCB＝１８０°－
C △ABC的外部
D 无法确定
∠ABP－∠BAP－
∠ACP－
,
５ 在△ABC中,AB
与AC
的垂直平分线相交于点∠CAP＝３０°
P
,那么P
点必定在BC
的
(
　垂直平分线　上,且∴∠BPC＝１８０°－
∠PBC＋
PA＝
　PB　＝　PC　．
)
６ 已知,如图,O
为△ABC
三边垂直平分线的交点,点O
到顶点A
的距离为∠PCB
＝１５０°．
６cm,则AO＋BO＋CO＝　１８cm　．
１
三角形三边的中垂线交于
一点,且这点到三个顶点的
距离相等,可作为证明线段
相等的一个重要定理．
２
无论是作已知线段的垂直
　　　　　　第６题图
第７题图
平分线,还是过一点作已知
,
７ (２０１６年遵义市)如图,在△ABC
中,AB＝BC,∠ABC＝１１０°,AB
的垂直平直线
的
垂
线
它
们
的
依
据
是:到一条线段两端点距离
分线DE
交AC
于点D,连接BD,则∠ABD＝　３５°　．
相等的点在这条线段的垂
８ 如图,已知线段AB,分别以A、B
为圆心,大于１AB
长为半径画弧,两弧相
直平分线上．
２
交于点C、Q,连接CQ
与AB
相交于点D,连接AC,BC．那么:
(１)∠ADC＝　９０　度;
　　没有思考A、B、C三个点
(２)当线段AB＝４,∠ACB＝６０°时,求∠ACD
的度数,△ABC的面积．
的位置关系．
解：（２）由作图可知CQ
是AB
的垂直平分线,
　
在
平
面
内,到
三
点
即CD⊥AB,AC＝BC,AD＝BD＝２,
A、B、C距离相等的点
(　　)
A
只有一个
∵∠ACB＝６０°,∴∠ACD＝
１∠
２
ACB＝３０
°．
B
有两个
在
Rt△ACD
中,由勾股定理得CD＝２
３,
C
有三个或三个以上
１
D
有一个或没有
∴S△ABC＝２AB
·CD＝１×４×２
２
３＝４
３．
学生解答:D
第８题图
１８　
１４ 已知:线段a、b．
求作:作等腰△ABC,使底边BC＝１
,高
(
２
a
AD＝
９
２０１６年德州市)如图,△ABC
中,∠B＝５５°,∠C
b．(保留作图痕迹,不写作法)
＝３０°,分别以点A
和点C
为圆心,大于１AC
的长２
为半径画弧,两弧相交于点
M、N,作直线
MN,交
第１４题图
BC于点D,连接AD．则∠BAD
的度数为
(A
)
解：如图　
A ６５°
B ６０°
C ５５°
D ４５°
　　　
第９题图
第１０题图
１０ 已知如图,O
为△ABC三边垂直平分线交点:
１５ 如图,在墙角点O
处有一个老鼠洞,小猫在点A
(１)∠BAC＝３０°时,∠BOC＝　６０°　;
处发现老鼠从点B
处往洞口逃窜,小猫想:这一次
(２)∠BAC＝６０°时,∠BOC＝　１２０°　;
不会再让你逃掉．若小猫和老鼠的速度相同,你能
(３)∠BAC＝n°时,∠BOC＝　２n°　．
确定小猫抓住老鼠的位置吗
１１ 在街道旁修建一个奶站,向居民区
A、B
提供牛
,
解：连
接
AB
,作
线
段
AB
的
奶
奶站应该建在什么地方,才能使A、B
到它的
距离之和最短
小聪根据实际情况,以街道为x
垂直平分线,交OB
于点
轴,建立了如图所示的平面直角坐标系,测得
A
P,则小猫在点P
处抓住
点的坐标为(０,３),B
点的坐标为(６,５),则从A、B
老鼠,图略．
第１５题图
两点到奶站的距离之和的最小值是　１０　．
１６
综合拓展
(２０１５
年
河
北
省
改
编)如
图,四
边
形
ABCD
中,∠BAD＝１２０°,∠B＝∠D＝９０°,
　　　
(１)在BC、CD
上分别找一点M、N,使△AMN
周
第１１题图
第１２题图
长最小;
１２ 如图,在
Rt△ABC
中,∠B＝９０°,分别以A、C
为
(２)求①时１
∠AMN＋∠ANM
的度数．
圆心,大于
AC
长为半径画弧,两弧相交于点２
解：（１）作A
关于BC
和CD
的
M、N,直线
MN
与AC、BC
分别交于点D、E,连
对称点A′,A″,连接A′A″,
接AE,则:
交BC
于
M,交CD
于N,则
(１)∠ADE＝　９０°　;
A′A″即为△AMN
的周长最
(２)AE
　＝　EC(填“＝”、“＞”或“＜”);
小值．
第１６题图
(３)当AB＝３,AC＝５时,△ABE
的周长＝　７　．
（２）∵∠DAB＝１２０°,
１３ 为了推进农村新型合作医疗制度改革,准备在某
,
镇新建一个医疗点P,使P
到该镇所属A
村、B
∴∠A′＋∠A″＝６０°
村、C村的村委会所在地的距离都相等(A、B、C
又∵A
点与A′、A″为对称点,
不在同一直线上,地理位置如下图),请你用尺规
∴∠NAD＝∠A″,∠MAB＝∠A′,
作图的方法确定点P
的位置．要求:写出已知、求
又∵∠MAN＝∠BAD－∠NAD－∠MAB,
作;不写作法,保留作图痕迹．
∴∠MAN＝１２０°－(∠A′＋∠A″)＝６０°,
已知：A,B,C
三点不在同一直
∴∠AMN＋∠ANM＝１２０°．
线上．
求作：作一点P,使PA＝PB＝
PC．
解：如图所示,点P
即为所求的
点．
第１３题图

１９　
１．４　角平分线
第１课时　角平分线的性质与判定
１ 角平分线上的点到这个角两边的　距离　相等．
　
如
图
所
示,在
２ 在一个角的内部,且到这个角的两边
距离　相等的点在这个角的　平分　
△ABC
中,D
为BC
的
中
点,
线上
DE⊥BC
交∠BAC
．的平分线
AE
于E,EF⊥AB
于F,EG⊥
AC
交AC
的
延
长
线
于G,求
证:BF＝CG．
１ 如图,已知OP
平分∠AOB,PE⊥OB,PF⊥OA,PO＝１０cm,PF＝６cm,则
PE
的长为
(B
)
A ８cm
B ６cm
C ５cm
D ７cm
分析:此题要证BF＝CG,即需
证它们所在三角形全等,故连
接BE、EC,由已知条件易证BE
＝CE和EF＝EG从而得证．
证明:连
接
BE、CE,∵DE
是
BC
的
垂
直
平
分
线,∴BE＝
　　　　
　　　　
CE．∵AE
平分∠BAC,EF⊥
第１题图
第,
,
２
题图
第３题图
AB
于F
EG⊥AC于G
∴EF＝EG,∴在
Rt△BEF
和
２ 如图,在
Rt△ABC
中,∠C＝９０°,AD
平分∠BAC,DE⊥AB
于点E,DE＝
Rt△CEG
中{BE＝CE,,
３cm,BC＝７cm,则BD
等于
(B
)EF＝EG
∴Rt△BEF≌Rt△CEG(HL),
A ３cm
B ４cm
C ５cm
D ６cm
∴BF＝CG．
３ 如图,点D
在BC
上,DE⊥AB
于点E,DF⊥AC
于点F,且DE＝DF,则线
段
:
AD
是
(D
)
作辅助线方法技巧
若题
中涉及到角平分线时,可联想
A BC边上的高
B BC的中垂线
“三角形全等”或者“到角两边
C BC边上的中线
D ∠BAC的平分线
的距离相等”．如果条件不够,
可适当添加辅助线．常见辅助
４ 如图,OP
平分∠MON,PA⊥ON
于点A,点Q
是射线OM
上的一个动点,
线的作法:①在角的两边上截
若PA＝２,则PQ
的最小值是
(B
)
取等长线段;②过角平分线上
一点向两边作垂线段;③连接
A １
B ２
C ３
D ４
角内一点与角的顶点．
　　对角平分线的性质定理
理解不透彻而致错．
　
如
图,AE
平
分
∠BAC,EB⊥AB
于
点B,EC
　　　　　
　　　　　
⊥AC
于
点C,D
是AE
上
一
第４题图
第５题图
第６题图
点．求证:BD＝CD．
５ 如图,已知∠AOQ＝３０°,QC⊥OA
于C,QD⊥OB
于D,若
QC＝QD,则
∠AOB＝　６０°　．
６ (２０１６年湖州四中段考)如图,已知在△ABC
中,CD
是AB
边上的高线,BE
平分∠ABC,交CD
于点E,BC＝５,DE＝２,则△BCE
的面积等于　５　．
学生解答:∵AE
平
分
∠BAC,
７ 如图,已知BD
是∠ABC的平分线,AB＝BC,点P
在射线BD
上,PM⊥AD
EB⊥AB,EC⊥AC,
于M,PN⊥CD
于N．求证:PM＝PN．
∴CE＝BE．
又∵AE＝AE,
证明：∵BD
平分∠ABC,∴∠ABD＝∠CBD．
∴Rt△ACE≌Rt△ABE(HL)．
又∵AB＝CB,BD＝BD,
∴AC＝AB．
又
∵
∠DAB＝
∠DAC,AD＝
∴△ABD≌△CBD（SAS）．
AD,
∴∠ADB＝∠CDB．∴∠ADP＝∠CDP．
∴△ABD≌△ACD(SAS)．
第
题图
∴BD＝CD．
又∵PM⊥AD,PN⊥CD,∴PM＝PN．
７
２０　
１４ 如图,在Rt△ABC
中,∠C＝９０°,BD
平分∠ABC
交AC
于点D,DE⊥AB
于点E,若
DE＝１cm,
(
)
,
∠CBD＝３０°．求:８
２０１６
年
荆
州
市
如图
在
Rt
()
的度数;
△ABC
中,∠C＝９０°,∠CAB
１
∠A()
的平分线交BC
于D,DE
是
２AC
的长．
解：
（
）
∵
平
分
AB
的垂直平分线,垂足为E,
１
BD
∠
,
若BC＝３,则DE
的长为
ABC第８题图
(
)
∠A
CBD＝３０
°,
第１４题图
∴∠
A １
B ２
C ３
D ４
ABC＝６０
°,
,
又∵∠
°,９ 如图
点
D
分别是∠FAC
和∠ECA
平分线的交
C＝９０
,
,
(
)
∴∠点
连接BD
则下列结论正确的是
B
A＝３０
°．
（２）∵DB
平分∠
,A BD
平分AC
B BD
平分∠FBE
ABC
∠C＝９０°,DE⊥AB,C BD⊥AC
D 以上结论都正确
DE＝１cm
,
∴CD＝DE＝１cm,
又∵∠A＝３０°,DE⊥AB,
∴AD＝２DE＝２cm,
∴AC＝３cm．
　　
第９题图
第１０题图
１５
综合拓展
已知∠MAN,AC平分∠MAN．
１０ 如图,在正方形网格中,∠AOB
的位置如图所示,
(１)在图１中,若∠MAN＝１２０°,∠ABC＝∠ADC
则到∠AOB
两边距离相等的点是
(C
)
＝９０°,求证:AB＋AD＝AC;
A P
点
B Q
点
C M
点
D N
点
(２)在图２中,若∠MAN＝１２０°,∠ABC＋∠ADC
１１ 如图所示,AB∥CD,O
为∠BAC、∠ACD
的平分
＝１８０°,则(１)中的结论是否仍然成立
若成
线的交点,OE⊥AC于E,且OE＝１,则AB
与CD
立,请给出证明;若不成立,请说明理由．
之间的距离等于　２　．
　　　　　
第１５题图
第１１题图
第１２题图
解：(１)证明：∵∠MAN＝１２０°,
１２ 如图,AB⊥AD,BC⊥CD．①若AB＝BC,则点B
CA
平分∠MAN,
在∠ADC
的　
平分线
　上;②若点
D
在∠ABC
∴∠DAC＝∠BAC＝６０°．
的角平分线上,则AD＝　DC　．
∵CD⊥AM,CB⊥AN,
１３
(２０１６
年
襄
阳
市)如图,在
△ABC
中,AD
平分
∴∠DCA＝∠BCA＝３０°,
∠BAC,且BD＝CD,DE⊥AB
于点E,DF⊥AC
∴AD＝１AC,AB＝１AC,
于点F．求证:AB＝AC．
２
２
证明：∵AD
平分∠BAC,
∴AD＋AB＝１２AC＋
１AC＝AC．
DE⊥AB,DF⊥AC,
２
∴DE＝DF,
(２)结论仍然成立．
又∵BD＝DC,
证明：作CF⊥AM
于F,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
CE⊥AN
于E．
∴∠B＝∠C,
由(１)的
结
论
可
知
AE＋
第１３题图
∴AB＝AC．
AD＋FD＝AC,
∵∠１＋∠２＝１８０°,∠２＋∠３＝１８０°,
∴∠１＝∠３,易证△CFD≌△CEB(AAS),
∴FD＝EB．
∴AE＋AD＋EB＝AC．
∴AB＋AD＝AC．

２１　
第２课时　三角形中的角平分线
１ 三角形的三条角平分线相交于　一　点,并且这点到　三　条边的
距离　相
等．
　
如
图,已
知
在
２ 三角形的三条角平分线的交点与三条边的垂直平分线的交点　不一定　重
△ABC
中,∠ACB＝９０°,点O
为△ABC
的三条角平分线的
合(填“一定”、“不一定”或“一定不”)．
交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF
⊥AB,点
D、E、F
是
垂
足,且
AB＝５,AC＝３,则
点
O
到
三
边AB、AC和BC
的距离分别
１ 到△ABC三边距离相等的点是△ABC的
(B
)
是多少
A 三条高的交点
B 三条角平分线的交点
C 三条中线的交点
D 三边垂直平分线的交点
２ 如图,△ABC中,∠ABC、∠ACB
的角平分线相交于点
O,下面结论中正确的是
(B
)
A ∠１＞∠２
B ∠１＝∠２
解:由
勾
股
定
理
知
BC
＝
C ∠１＜∠２
D 不能确定
AB２－AC２＝
５２－３２
＝４．
∵O
为三条角平分线的交点,
３ 下列关于三角形角平分线的说法错误的是
(D
)
第２题图
OF⊥AB,OE⊥AC,OD⊥BC,
A 两角平分线的交点在三角形内
∴OF＝OD＝OE,可设它们为
B 两角平分线的交点到三边距离相等
x,又
∵S△ABC
＝S△ABO
＋S△ACO
＋S
,∴
１
×３×４＝
１
C 两角平分线的交点在第三个角的平分线上
△BCO
２
２
D 两角平分线的交点到三个顶点距离相等
５x＋１ ３x＋１ ４x,∴x＝
４ 如图,△ABC的三边AB、BC、CA
的长分别是２０、３０、４０,其三条角平分线将２
２
１,即点O
到三边距离为１．
△ABC分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于
(C
)
A １∶１∶１
B １∶２∶３
C ２∶３∶４
D ３∶４∶５
１
证明三线共点的方法是先
设其中两条直线相交于一
点,再证明这一点在第三条
直线上．
　　　　
　　　　
２
到三角形三边距离相等的
点是三条角平分线的交点．
第４题图
第５题图
第６题图
此点必在三角形的内部．
５ 如图,O
是△ABC内一点,且点O
到△ABC边BC、AC、AB
的距离OD＝OE
３
证
明
线
段
的
和
差,通
常
用
＝OF,若∠A＝７０°,则∠BOC＝　１２５°　“
．截长补短法”．
６ 如图,在Rt△ABC中,∠C＝９０°,BD
平分∠ABC,交AC于点D,DE
是斜边
　　对角平分线的判定定理
AB
的垂直平分线,且DE＝１cm,则AC＝　３　cm．
理解不透彻而致错．
７ 如图,在△ABC中,AB＝AC．
　
已
知
点
D、E
分
别
(１)按照下列要求画出图形:①作∠BAC
的平分线交BC
于D;②过
D
作
是△ABC
的BC、AC
边
上
一
,
,
:
DE⊥AB
,垂足为点E;③过D
作DF⊥AC,垂足为点F;
点
AE＝AB
DB＝DE．求证
AD
是△ABC的角平分线．
(２)根据上面所画的图形,求证:EB＝FC．
解：(１)如图．
(２)∵AB＝AC,AD
平分∠BAC,
∴BD＝CD,
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
,
学生解答:在△ADB
和△ADE
∴DE＝DF
中,AD＝AD,AB＝AE,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF,
第７题图
DB＝DE,∴△ADB≌△ADE,
∴BE＝CF．
∴∠DAB＝∠DAE,
∴AD
是△ABC的角平分线．
２２　
１３ 如图,在边长为１个单位长度的小正方形组成的
网格中,按要求作图．
(１)利用尺规作图在AC边上找一点D,使点D
到
８ 如图,已知△ABC,求作一点P,使P
到∠CAB
的
AB、BC的距离相等;(不写作法,保留作图痕迹)
两边的距离相等,且PA＝PB．下列确定P
点的方
(２)在网格中,△ABC
的下方,直接画出△EBC,
法正确的是
(B
)
使△EBC与△ABC全等．
A P
为∠CAB,∠CBA
两角平分线的交点
解：(１)如
图,点
D
即
为
所
B P
为∠CAB
的角平分线与AB
的垂直平分线的
求;
交点
(２)如
图,△E１BC
和
C P
为AC,AB
两边上的高的交点
△E２BC即为所求．
D P
为AC,AB
两边的垂直平分线的交点
第１３题图
１４ 如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(０,８),点B
(６,８)．
　　
(１)只用直尺(没有刻度)和圆规,求作一个点P,
使点P
同时满足下列两个条件(要求保留作图第８题图
第９题图
(
痕迹,不必写出作法):９
２０１６年达州一中期中)如图,直线a、b、c表示三条
①点P
到A、B
两点的距离相等;
相互交叉而建的公路,现在要建立一个货物中转
②点P
到∠xOy两边的距离相等;
站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的
(２)在(１)作出点P
后,写出点P
的坐标．
地址有
(D
)
解：(１)如图(作∠xOy的平分线交
A １个
B ２个
C ３个
D ４个
AB
的垂直平分线于点P,点P
１０ (２０１６
年河北省)如图,∠AOB＝１２０°,OP
平分
即为所求作的点)．
∠AOB,且OP＝２．若点M、N
分别在OA、OB
上,
(２)设AB
的中垂线交AB
于点
且△PMN
为等边三角形,则满足上述条件的
E,交x轴于点F,由作图可知,
△PMN
有
(D
)
EF⊥AB,EF⊥x
轴,且
OF＝
第１４题图
A １个
B ２个
３．∵OP
是坐标轴的角平分线,
C ３个
D ３个以上
∴P(３,３)．
１５
综合拓展
如图在
△ABC
中,AD
平分
∠BAC,
∠ACB＝２∠B．
　　
第１０题图
第１１题图
１１ 如图,已知△ABC
三个内角的平分线交于点O,
点D
在CA
的延长线上,且DC＝BC,AD＝AO,
若∠BAC＝８０°,则∠BCA
的度数为　６０°　．
(１)如图①,当∠C＝９０°时,求证:AB＝AC＋CD．
１２
如图,在△ABC
中,∠C＝９０°,AD
平分∠BAC,
(２)如图②,当∠C≠９０°时,AB、AC、CD
有怎样数
DE⊥AB
于E,F
在AC
上,且BE＝CF．求证:
量关系
(不需证明,直接写出你的猜想)
(１)DE
DC;
(＝
３)如图③,当AD
为△ABC
外角平分线时,猜想
()
、
、
有怎样的数量关系,不需证明２BD＝DF．
AB
ACCD
．
解：（１）在AB
上截取AE＝AC,
证
明：
(１)∵AD
平
分
∵AD
平分∠BAC,
∠BAC,DE
⊥
∴∠１＝∠２,
AB,∠C＝９０°,
第１２题图
又∵AE＝AC,AD＝AD,
∴DE＝DC．
∴△ADE≌△ADC,
(２)在
Rt△DFC和
Rt△DBE
中,
∴DE＝DC,∠ACB＝∠AED,
∵DC＝DE,CF＝BE,∠C＝∠DEB＝９０°,
∵∠ACB＝２∠B,∠AED＝∠B＋∠BDE,
∴△DFC≌△DBE(SAS),
∴∠B＝∠BDE,BE＝DE＝DC,
∴BD＝DF．
∴AB＝AE＋BE＝AC＋CD．
（２）猜想：AB＝AC＋CD．
（３）猜想：AB＝CD－AC．

２３　
　一元一次不等式与一元一次不等式组
２．１　不等关系
１ 一般地用符号“＜”(或≤),“＞”(或≥)连接的式子
６ 设a,b,c表示三种不同物体的质量,用天平称两
叫做　不等式　．
次,情况如图所示,则这三种物体的质量从小到大
２ “不大于”可用　≤　表示,“不小于”可用　≥　表
排序正确的是
(A
)
示．
第６题图
A c＜b＜a
B b＜c＜a
１ 罗老师在黑板上写了下列式子:①３x－５≥１;②－３
C c＜a＜b
D b＜a＜c
＜０;③x≠２;
(
年河北省)点
、
在数轴上表示
、,如图
④x＋２;⑤１２x－y＝０
;⑥x＋２y≤０．
７
２０１６
A
B
ab所示．则下列结论正确的是
(C
)
你认为其中是不等式的有
(C
)
A ２个
B ３个
C ４个
D ５个
２ (２０１６年金华市)若实数a、b在数轴上的位置如图
第７题图甲:b－a＜０;乙:a＋b＞０;
所示,则下列判断错误的是
(D
)
丙:
;丁:b
A a＜０
|a|＜|b|
a＞０．
B ab＜０
A 甲、乙
B 丙、丁
C 甲、丙
D 乙、丁第２题图
C a＜b
８
某种零件上印有“φ５
＋０．５
－０．５”(φ
表示直径,单位:毫
米),如果用
、
amm
表示该零件的直径,则a的允许
D ab互为倒数
值范围是　４．５≤a≤５．５　．
３ 如图,“x”和“５”分别是天平上两边的砝码的质量,
９ 若a＋b＜０,b＞０,则a,－a,b,－b
的大小关系
请你用“＞”或“＜”填空:x　＜　５．
　a＜－b＜b＜－a　．(用“＜”连接)
１０ 某市自来水公司按如下标准收费:若每户每月用
水不超过１０m３,则每立方米收费１．５元;若每户
每月用水超过１０m３,则超过的部分每立方米收费
２元．小亮家某月的水费不少于２５元,那么他家
　　　
这个月的用水量xm３
至少是多少
请列出关于x
第３题图
第４题图
的不等式．
４ 如图为一隧道入口处的指示标志牌,图１表示汽车
解：１．５×１０＋２(x－１０)≥２５
的高度不能超过３．５m,由此可知图２表示汽车的
宽度l(m)应满足的关系为　l≤３　．
１１
综合拓展
(１)用“＞”、“＜”或“＝”填空:
５ 用适当的符号表示下列关系:
①４２＋３２
　＞　２×４×３;
(１)a的３倍与b的１的和不大于３;
②(－２)２＋１２
　＞　２×(５
－２
)×１;
③２２＋２２
　＝　２×２×２;
解：３a＋１b≤３
④(２)２＋(１５
)２
　＞　２×
２×
１;
２
２
⑤(－３)２＋(－３)２
　＝　２×(－３)×(－３)．
(２)通过观察归纳,写出能反映这种规律的一般结
论,并加以说明．
(２)x与３的和的一半是负数．
解：能反映该题规律的一般结论：若a,b
为
实数,则
２
１
a
＋b
２≥２ab（a＝b时取等号）．
解：
(
２
x＋３
)＜０
理由如下：因为(a－b)２≥０,
所以a２－２ab＋b２≥０,
所以a２＋b２≥２ab．

２４　
２．２　不等式的基本性质
A cb＞ab
B ac＞ab
C cb＜ab
D c＋b＞a＋b
１ 不等式的基本性质１:不等式的两边都加(或减)同一
８ (２０１６年乐山实验中学段考)下列说法不一定成立
个整式,不等号的方向
如果
,那么
(　不变　．
a＞b
a＋
的是
C
)
若
,则
c　＞　b＋c;a－c　＞　b－c(填“＞”或“＜”)．
A
a＞b
a＋c＞b＋c
:
(
)
B
若a＋c＞b＋c,则a＞b
２ 不等式的基本性质２
不等式的两边都乘
或除以
C 若a＞b,则ac２＞bc２
同一个　正　数,不等号的方向　不变　．如果a
D 若ac２＞bc２,则a＞b
＞b,并且c＞０,那么ac　＞　bc(填“＞”或“＜”)．
９ 若不等式(a－２)x＞a－２可以变形为x＜１,则a的
３ 不等式的基本性质３:不等式的两边都乘(或除以)
取值范围为　a＜２　．
同一个　负　数,不等号的方向　改变　．如果a
１０ (２０１６年深圳市)已知a、b、c均为实数,若a＞b,c
＞b,并且c＜０,那以ac　＜　bc(填“＞”或“＜”)．
≠０,下列说法:①a＋c＞b＋c;②c－a＜c－b;③ac２
＞b２;④a２＞ba＞b２,正确的是　①②③c
　．
１ 如果a＜０,则下列式子错误的是
(C
)
１１ 将下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式．
A ５＋a＞３＋a
B ５－a＞３－a
(１)x－５＜１;
(２)３x＞x－４;
C ５a＞３a
D a＞a
　解：x＜６
　解：x＞－２５
３
２ (２０１６年玉林市)若x＜－５,则下列不等式成立的
是
(A
)
(３)
１
２x＞－３
;
(４)－５x＜－２．
A x２＞－５x
B x２≥－５x
　解：x＞－６
　解：x＞２
C x２＜－５x
D x２≤－５x
５
３ 由不等式ax＞b可以推出x＜b,那么a的取值范a
１２
综合拓展
阅读下列材料:
围是
(B
)
试判断a２－３a＋７与－３a＋２的大小．
A a≤０
B a＜０
C a≥０
D a＞０
分析:要判断两个数的大小,我们往往用作差法,
４ 不等式－２x＜４化为“x＞a”的形式为
(A
)
即若a－b＞０,则a＞b;若a－b＜０,则a＜b;若a
A x＞－２
B x＜－２
－b＝０,则a＝b．
C x＞２
D x＜２
解:∵(a２－３a＋７)－(－３a＋２)＝a２－３a＋７＋３a
２
５ 已知a＞b,则－１a＋c
－１b＋c．
－２＝a
＋５
,
　＜　
３
３
又∵a２≥０,∴a２＋５＞０,
６ 用“＞”或“＜”填空:
∴a２－３a＋７＞－３a＋２．
(１)如果x－２＜３,那么x　＜　５;
a２－b２阅
读
后,请
应
用
这
种
方
法
比
较
＋２与
(２)如果－x＞２,那么x　＜　－２;
２
a２－２b２＋１
(３)如果１x＞－２,那么x　＞　－８;
的大小４
３
．
２
２
２
３
４
解：∵a
－b
＋２－a
－２b
２＋１
３a２－３b２＋６
(４)如果－４x＜－１
,那么x　＞　
;
２
３
＝３
６
－
(５)若a＜b,c≠０,则ac２
　＜　bc２．
２a
２－４b２＋２
a２＝
＋b
２＋４,
６
６
又∵a２≥０,b２≥０,
∴a
２＋b２＋４＞０,
７ 已知有理数a,b,c在数轴
６
２
２
２
２
上的位置如图所示,则下
第７题图
∴a
－b
＋２＞a
－２b
＋１２
３
．
列式子中正确的是
(A
)

２５　
２．３　不等式的解集
１ 不等式的解与解集
(１)不等式的解:能使不等式成立的　未知数的值　　将下列不等式的解
．
集表示在数轴上:
(２)不等式的解集:一个含有未知数的不等式的　所有解　,组成这个不等式
(１)x≥－１;(２)x＜３;
的解集．
(３)x≤２．５;(４)x＞０．
２ 解不等式:求不等式　解集　的过程．
解:(１)如图,x≥－１．
(２)如图,x＜３．
１ 不等式２x＜４的非负整数解为
(A
)
A ０,１
B １,２
C ０,－１
D 无数个
(３)如图,x≤２．５．
２ 下列解集不包括－４的是
(C
)
A x≤－３
B x≥－４
C x≤－５
D x≥－６
３ 下列说法中,错误的是
(D
)
(４)如图,x＞０．
A 不等式x＜２的正整数解有一个
B －２是不等式２x－１＜０的一个解
C 不等式x＜１０的整数解有无数个
D 不等式２x＞－６的解集是x＜－３
４ 如图所示,用不等式表示图中的解集正确的是
(D
)
１
要区别不等式的解和解集,
只要能使不等式成立的未
知数的值都是不等式的解,
第４题图
这些解的集合称为不等式
A x≥３
B x≤３
C x＜３
D x＞３
的解集．有的不等式的解一
５ (２０１６年白银市)在数轴上表示不等式x－１＜０的解集,正确的是
(C
)
个也没有,我们说不等式无
解;有的不等式的解有无数
多个;有的不等式的解有有
限个．
２
不等式的解集既可用不等
式表示,也可用数轴表示．
但用数轴表示不等式的解
６ 不等式x≤３．４的正整数解是　３、２、１　;不等式x≥－４．１的整数解有
集应
注
意
两
点:①
定
边
界
点;②定方向．边界点含于
　无数　个,其中小于１的整数解是　０、－１、－２、－３、－４　．
解集为实心点,不含于解集
７ 上课时,李老师叫小林举出不等式x＋１＜４的解,小林的回答是:８,７,５．５,４,
为空心圈;定方向,相对于
２,１,０,２．５,－６．小林的回答对吗
为什么
边界
点
而
言,“大
于”向
右
解：∵x＋１＜４,根据不等式的性质得x＜３．
画,“小于”向左画．
∴２,１,０,２．５,－６是不等式的解;８,７,５．５,４不是不等式的解．
∴小林的回答不完全正确．
　　对不等式的解集的意义
理解不透而出错．
　“因为x＜２中的每
一个数
都
是
不
等
式x＋２＜５
８ 将下列不等式的解集分别表示在数轴上:
的解,所以不等式x＋２＜５的
(１)x≤２;(２)x＞－２．
解集是x＜２．”这句话是否正
解：(１)如图所示　
确
学生解答:这
句
话
不
正
确,因
为不等式x＋２＜５的解集是x
(２)如图所示　
＜３．
２６　
１５ 已知方程ax＋１２＝０的解是x＝３,求不等式(a＋
２)x＜－６的解集．
解：∵ax＋１２＝０的解是x＝３,
９ (２０１６年重庆市)若二次根式
a－２有意义,则a
∴
,
的取值范围是
(A
)
３a＋１２＝０
a＝－４．
A a≥２
B a≤２
把a＝－４代入（a＋２）x＜－６,得
C a＞２
D a≠２
－２x＜－６,
１０ 不等式２x＜７的解有　无数　个,其中非负整数
x＞３,
解有　４　个．
∴(a＋２)x＜－６的解集为x＞３．
１１ 已知点P(x,y)位于第三象限,并且y≤x＋１,x、y
为整数,写出一个符合上述条件的点P
的坐标:
　答案不唯一,如(－４,－５)　．
１２ 不等式x－２≥１的解集是　x≥３　．
１３ 已知不等式５x－２＜６x＋１的最小正整数解是方
程３x－３２ax＝６
的解,求a的值．
１６
综合拓展
已知关于x的不等式ax＋２＞０(其中a
解：解不等式５x－２＜６x＋１得x＞－３,
≠０)．
所以最小正整数解为x＝１,
(１)当a＝－２时,求此不等式的解,并在数轴上表
所以３×１－３×２
a
×１＝６,
示此不等式的解集;
(２)小明准备了十张形状、大小完全相同的不透明
解得a＝－２．
的卡片,上面分别写有整数－１０、－９、－８、
－７、－６、－５、－４、－３、－２、－１,将这１０张卡
片写有整数的一面向下放在桌面上,从中任意
抽取一张,以卡片上的数作为不等式的系数
a,则使该不等式没有正整数解的卡片有多少
张
１４ 如果不等式４x－３a＞－１与不等式２(x－１)＋３
解：(１)当a＝－２时,－２x＋２＞０,
＞５的解集相同,请根据下面两位同学的提示写
∴－２x＞－２,
出确定a的值的解答过程．
∴x＜１．
在数轴上表示为：
(２)由题意知a＜０,
由ax＋２＞０可得x＜－２,
第１４题图
a
解：∵不等式４x－３a＞－１与不等式２(x－１)＋３
要使ax＋２＞０无正整数解,则－２≤a
１．
＞５的解集相同,
又a＜０,则－２≥a．即a≤－２．
∴３a－１＝２,
∴整数４
a
取－２至－１０中任意一个整数时,
不等式没有正整数解
解得a＝３．
．
∴使该不等式没有正整数解的卡片有９张．

２７　
２．４　一元一次不等式
第１课时　一元一次不等式及其解法
１ 一元一次不等式的概念:只含有
　
一
个
　
未知数,未知数的最高次数是
　１　的不等式叫做一元一次不等式．
　
解
不
等
式,并
把
解
２ 一元一次不等式的解法步骤:(１)去分母;(２)去括号;(３)移项;(４)合并
集在数轴上表示出来．
　同类项　;(５)将未知数的系数　化为
　x－１－２x＋５
１
．
３
４
＞－２．
解:去
分
母,得
４(x－１)－
３(２x＋５)＞－２×１２．
,
１ 下列式子中,
(
)去括号
得
是一元一次不等式的有
B
４x－４－６x－１５＞－２４．
①２x－７≥－３　③１－x＞０　③７＜９　④x２＋３x＞１　⑤a－２(a＋１)
移项,得
x
２
≤１
４x－６x＞－２４＋４＋１５．
⑥m－n＞３
合并同类项,得－２x＞－５．
A １个
B ２个
C ３个
D ４个
两边都除以－２,得x＜５．
２ 不等式２x－６＞０的解集是
(C
)２
这个不
等
式
的
解
集
在
数
轴
上
A x＞１
B x＜－３
C x＞３
D x＜３
表示如图:
３ 一元一次不等式２(x＋１)≥４的解在数轴上表示为
(A
)
１
讲解一元一次不等式的概
４ 已知(a－２)x|a|－１＋３＞５是关于x的一元一次不等式,则a＝　－２　．
念:原型不等式的左右两边
都是整式,化简整理之后只
５ (２０１６年南充市)不等式x＋１＞２x＋２２
３
－１
的正整数解有　１、２、３、４　．
含有一个未知数,且未知数
的最高次数是１．
６ 不等式１(
)
的解集为
,则
的值为　
　３
x－m
＞３－m
x＞１
m
４
．
２
一元一次不等式的解法同
一元一次方程的解法相同,
７ 解下列不等式,并把解集表示在数轴上．
应注意:①去分母时,每项
(１)２(x－３)－２≤０;
都要
乘
以
公
分
母,不
能
漏
解：去括号,得２x－６－２≤０,
乘,特别是不含分母的项;
合并同类项,得２x－８≤０,
②注意分数线的括号作用,
移项,得２x≤８,
去括号时要注意括号前面
,
把
的系数化为
,得
≤是负号时
括号里面每项都
x
１
x
４．
要变号;③系数化为１时,
在数轴上表示为：
不等式两边乘以或除以负
数,不等号方向要改变．
(２)(２０１６年自贡一中段考)４x－１３
－x＞１．
　　解一元一次不等式时易
解：去分母,得４x－１－３x＞３,
漏乘或忽视分数线的作用．
移项、合并同类项,得
＞
　解不等式:
x
４．
y＋１－２y－５
在数轴上表示为：
６
４
≥１．
学生解答:y≤５４．
２８　
１３ 已知实数x、y、m
满足
x＋２＋|３x＋y＋m|＝０,
且y为负数,求m
的取值范围．
８ 点P(２m－１,３)在第二象限,则m
的取值范围是
解：∵
x＋２＋|３x＋y＋m|＝０,
(C
)
∴x＋２＝０,３x＋y＋m＝０,
A m＞１
∴
,
２
B m≥
１
２
C m＜
１
２
D m≤
１
x＝－２y＝６－m．
２
又∵y为负数,
９ 若不等式(３a－２)x＋２＜３的解集是x＜２,那么a
∴６－m＜０,
必须满足
(A
)
∴m＞６．
A a＝５
B a＞５
C a＜５６
６
６
D a＝－
１
２
１０ 要使代数式x＋３－１的值为非负数,则９
x
的取值
１４ 已知５(x＋１)－３x＞２(２x＋３)＋４,化简:|２x－１|
范围是　x≥６　．
－|１＋２x|．
１１ 定义新运算:对于任意实数a,b都满足a b＝a(a
解：解不等式５(x＋１)－３x＞２(２x＋３)＋４,
－b)＋１,其中等式右边是通常的加法、减法及乘法
得x＜－５,
运算
２．如:２ ５＝２×(２－５)＋１＝２×(－３)＋１＝
,
,
－５,那么不等式３ x＜１３的解集为　x
∴２x－１＜０１＋２x＜０＞－１　．
１２ 解不等式,并将解集在数轴上表示出来:
∴|２x－１|－|１＋２x|＝１－２x＋１＋２x＝２．
(１)(２０１６年丽水市)解不等式３x－５＜２(２＋３x);
解：去括号,得３x－５＜４＋６x．
移项,得３x－６x＜４＋５．
合并同类项,得－３x＜９．
１５ 当正整数m
为何值时,关于x
的方程５x－３m４
＝
系数化为１,得x＞－３．
m
１５的解是非正数
这个不等式的解集在数轴上表示为：
２－４
解：解方程５x－３m
４
＝
m
１５,
２－４
得x＝m－３,
(２)１x－１≤２２
３x－
１;
２
由于解是非正数,
解：去分母,得３x－６≤４x－３．
∴m－３≤０,
移项,得３x－４x≤６－３．
∴m≤３,
合并同类项,得－x≤３．
∴正整数m
为１、２、３．
系数化为１,得x≥－３．
这个不等式的解集在数轴上表示为:
３x＋２y＝p＋１,
１６
综合拓展
已知关于x,y的方程组{
的４x＋３y＝p－１
(３)(２０１６年绍兴市)不等式３x＋１３＞x＋２．
解满足x＞y,求p的取值范围．４
３
{x＝p＋５,解：去分母,得３(３x＋１３)＞４x＋２４．
解：解原方程组得
y＝－p－７．
去括号,得９x＋３９＞４x＋２４．
因为x＞y,
移项,得９x－４x＞２４－３９．
所以p＋５＞－p－７．
合并同类项,得５x＞－１５．
解得p＞－６．
系数化为１,得x＞－３．
在数轴上表示为：

２９　
第２课时　一元一次不等式的应用
　　利用一元一次不等式解决实际问题的步骤:①审题,　找不等关系　;②设
　未知数　;③列　不等式　;④解　不等式　;⑤检验;⑥写出　答案　．
　
某
工
人
计
划
１５
天
加工４０８个零件,前三天每天
加工２４个,以
后
每
天
至
少
加
１ 亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机,他现在已存有４５元,计
工多少个零件,才能在规定时
划从现在起以后每个月节省３０元,直到他至少有３００元．设x个月后他至少
间内超额完成任务
有３００元,则符合题意的不等式是
(:
B
)
解
设
以
后
每
天
加
工
x
个
零
,
A ３０x－４５≥３００
B ３０x＋４５≥３００件．根据题意
得
(
C ３０x－４５≤３００
D ３０x＋４５≤３００１５－３)x＋２４×３＞４０８,
２ 小明借到一本有７２页的图书,要在１０天之内读完,开始两天,他每天只读
解不等式得x＞２８,
５
页,那么以后几天里他每天至少要读多少页才能读完
设以后几天里他每
大于２８的最小整数是２９．
天要读x页,所列不等式为
(A
)
答:以
后
每
天
至
少
加
工２９
个
,
A １０＋８x≥７２
B ２＋１０x≥７２
C １０＋８x≤７２
D ２＋１０x≤７２零件
才能在规定时间内超额
３ (２０１６年岳阳市)某种商品进价为８００元,标价１２００元,由于该商品积压,商
完成任务．
店准备打折销售,但要保证利润率不低于２０％,则至少可以打
(C
)
A ６折
B ７折
C ８折
D ９折
　　不等式和方程一样,在现
４ 在一次社会实践活动中,某班可筹集到的活动经费最多９００元．此次活动租
实生活中有广泛的应用,实际
车需３００元,每个学生活动期间所需经费１５元,则参加这次活动的学生人数
上列不
等
式
解
决
实
际
问
题
的
最多为　４０人　．
方法与
列
方
程
解
决
实
际
问
题
５
小宏准备用５０元钱买甲、乙两种饮料共１０瓶,已知甲种饮料每瓶７元,乙种
的方法基本上是类似的．只不
饮料每瓶４元,则小宏最多能买　３　瓶甲种饮料．
过列不
等
式
时
应
抓
住
题
目
中
６ 某次数学测验中有１６道选择题,答对一道得６分,答错一道扣２分,不答得
关键性
字
眼“最
多”、“至
少”、
０分．某学生有一道题未答,那么这个同学至少要答对　１２　道题,成绩才能
“不低于”、“不
超
过”等
等,建
在６０分以上．
立相应的不等式．
７ 为了举行班级晚会,孔明准备去商店购买２０个乒乓球做道具,并买一些乒
乓球拍作为奖品 已知乒乓球每个１．５元,球拍每个２２元
如果购买金额
　　对实际问题中的不等关
不超过２００元,且买的球拍尽可能多,那么孔明应该买多少个球拍
系把握不准而出错．
解：设购买球拍x个,依题意得：１．５×２０＋２２x≤２００,
　已知关于x的方程
解之得：x≤７８,
３x－(２a－３)＝５x＋(３a＋６)
１１
的解是非正数,求a的取值范
由于x取整数,故x的最大值为７．
围．
答：孔明应该买７个球拍．
学生解答:解方程３x－(２a－
３)＝５x＋(３a＋６),
得x＝－１(５a＋３),２
由题意得：－１(２
５a＋３
)≤０,
解得：a≥－３５．
３０　
１２ (２０１６年银川一中段考)某校在开展“校园献爱
心”活动中,准备向南部山区学校捐赠男、女两种
款式的书包
已知男款书包的单价为５０元/个,
８ 九年级的几位同学拍了一张合影作留念,已知冲一
,
女款书包的单价为７０元
/个．
张底片需要０．８０元
洗一张相片需要０．３５元．在
(
、
,
１
)原计划募捐３４００元,购买两种款式的书包共
每位同学得到一张相片
共用一张底片的前提下
６０个,那么这两种款式的书包各买多少个
平均每人分摊的钱不足０．５元,那么参加合影的同
(２)在捐款活动中,由于学生捐款的积极性高涨,
学人数
(B
)
实际共捐款４８００元,如果购买两种款式的书
A 至多６人
B 至少６人
包共８０个,那么女款书包最多能买多少个
C 至多５人
D 至少５人
解：(１)设
原
计
划
买
男
款
书
包x
个,则
女
款
书
包
９ ２０１５年第一届全国青年运动会上某射箭运动员在
(６０－x)个,
一次比赛中前６次射击共击中５２环,如果他要打
根据题意得：
(
,
)
５０x＋７０
(６０－x)＝３４００,
破８９环
１０次射击
每次射击最多中１０环
的记
解得：x＝４０,
录,则他第７次射击不能少于
(C
)
６０－x＝６０－４０＝２０（个）．
A ６环
B ７环
C ８环
D ９环
答：原计划买男款书包４０个,则女款书包:
２０１０ 某商店在一次促销活动中规定
消费者消费满
个．
２００元或超过２００元就可享受打折优惠．一名同
(２)设女款书包买y
个,则男款书包(８０－y)
学为班级买奖品,准备买６本影集和若干支钢笔．
个,
已知影集每本１５元,钢笔每支８元,问他至少买
根据题意得：

７０y＋５０
(８０－y)≤４８００,
多少支钢笔才能打折
解得：y≤４０,
解：设该同学买x支钢笔,根据题意得
∴女款书包最多能买４０个．
１５×６＋８x≥２００,
解得x≥１３３,４
１３
综合拓展
某市居民用电的电价实行阶梯收费,收
∵x为整数,
费标准如下表:
∴x＝１４．
一户居民每月用
电费价格
答：该同学至少要买１４支钢笔才能打折．
电量x(单位:度)
(单位:元/度)
０＜x≤２００
a
２００＜x≤４００
b
１１ 某校组织学生参加“周末郊游”．甲旅行社说:“只
x＞４００
０．９２
要一名同学买全票,则其余学生可享受半价优
惠．”乙旅行社说:“全体同学都按６折优惠”．已知
(１)已知李叔叔家四月份用电２８６度,缴纳电费
票价(全票)为每人２４０元．
１７８．７６元;五
月
份
用
电
３１６
度,缴
纳
电
费
(１)设学生人数为x
人,甲旅行社收费为y
元,
１９８．５６
元,请你根据以上数据,求出表格中a,b
甲
乙旅行社收费为y
元,用含x的式子表示出
的值．
乙
;
(２)六月份是用电高峰期,李叔叔计划六月份电费y甲
与y乙
()

支出不超过３００元,那么李叔叔家六月份最多２
就学生人数x讨论哪一家旅行社更实惠
可用电多少度
解：(１)y甲
＝２４０＋１２０(x－１)＝１２０x＋１２０,
解：(１)根据题意得：
y乙
＝２４０×０．６x＝１４４x．
()
,
,
{２００a＋(２８６－２００)２
当
＝
时
x＝５
b＝１７８．７６,y甲
y乙
(
,
,
２００a＋
３１６－２００
)b＝１９８．５６,
当y甲
＞y乙
时
x＜５
,
a＝０．６１
,
当y甲
＜y乙
时
x＞５,
解得：{b＝０．６６．
即：