专题03 牛顿运动定律与曲线运动（教学案）-2017年高考物理二轮复习精品资料 word版含解析

本专题解决的是物体(或带电体)在力的作用下的曲线运动的问题．高考对本专题的考查以运动的组合为线索，进而从力和能的角度进行命题，题目情景新，过程复杂，具有一定的综合性．考查的主要内容有：①曲线运动的条件和运动的合成与分解；②平抛运动规律；③圆周运动规律；④平抛运动与圆周运动的多过程组合问题；⑤应用万有引力定律解决天体运动问题；⑥带电粒子在电场中的类平抛运动问题；⑦带电粒子在磁场内的匀速圆周运动问题；⑧带电粒子在简单组合场内的运动问题等．用到的主要物理思想和方法有：运动的合成与分解思想、应用临界条件处理临界问题的方法、建立类平抛运动模型方法、等效代替的思想方法等．本专题的高频考点主要集中在万有引力定律的应用、行星、卫星的运行规律、天体质量的估算等方面，难度适中。本专题在高考中还常考查到变轨问题、双星问题等，复习时注意抓住两条主线：一是万有引力等于向心力，二是重力等于向心力。曲线运动是历年高考的必考内容，一般以选择题的形式出现，重点考查加速度、线速度、角速度、向心加速度等概念及其应用。本部分知识经常与其他知识点如牛顿定律、动量、能量、机械振动、电场、磁场、电磁感应等知识综合出现在计算题中，近几年的考查更趋向于对考生分析问题、应用知识能力的考查。
一、曲线运动
1．物体做曲线运动的条件：运动物体所受合外力的方向跟其速度方向不在一条直线上时，物体做曲线运动．
2．曲线运动的轨迹：当做曲线运动的物体所受合外力为恒力时，其运动为匀变速曲线运动，运动轨迹为抛物线，如平抛运动、斜抛运动、带电粒子在匀强电场中的曲线运动．曲线运动的轨迹位于速度(轨迹上各点的切线)和合力的夹角之间，且运动轨迹总向合力一侧弯曲．
二、抛体运动
1．平抛运动
(1)平抛运动是匀变速曲线运动(其加速度为重力加速度)，可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，运动轨迹为抛物线．
(2)物体做平抛运动时，运动时间由竖直高度决定，水平位移由初速度和竖直高度共同决定．
(3)物体做平抛运动时，在任意相等时间间隔Δt内速度的改变量Δv大小相等、方向相同(Δv＝Δvy＝gΔt)．
(4)平抛运动的两个重要推论
①做平抛运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图1－3－1所示．由
②做平抛运动的物体在任意时刻、任意位置处的瞬时速度与水平方向的夹角θ及位移与水平方向的夹角φ满足：tanθ＝2tanφ.
2．类平抛运动
以一定的初速度将物体抛出，如果物体受的合力恒定且与初速度方向垂直，则物体所做的运动为类平抛运动，如以初速度v0垂直电场方向射入匀强电场中的带电粒子的运动．
类平抛运动的性质及解题方法与平抛运动类似，也是用运动的分解法．
三、圆周运动
1．描述圆周运动的物理量
物理量
大小
方向
物理意义
线速度
圆弧上各点的切线方向
描述质点沿圆周运动的快慢
角速度
不研究其方向
周期、频率
无方向
向心加速度
时刻指向圆心
描述线速度方向改变的快慢
相互关系
注意：同一转动体上各点的角速度相等，皮带传动轮子边缘各点的线速度大小相等．
2．向心力
做圆周运动物体的向心力可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由各力的合力或某力的分力提供．
物体做匀速圆周运动时，物体受到的合力全部提供向心力；物体做变速圆周运动时，物体的合力的方向不一定沿半径指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力改变物体速度的大小．
3．处理圆周运动的动力学问题的步骤
(1)首先要明确研究对象；
(2)对其受力分析，明确向心力的来源；
(3)确定其运动轨道所在的平面、圆心的位置以及半径；
(4)将牛顿第二定律应用于圆周运动，得到圆周运动中的动力学方程，有以下各种情况：
解题时应根据已知条件合理选择方程形式．
四、开普勒行星运动定律
1.
开普勒第一定律（轨道定律）:所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。
2.
开普勒第二定律（面积定律）:对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的相等的面积。（近日点速率最大，远日点速率最小）
3.
开普勒第三定律（周期定律）：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的平方的比值都相等。
即（M为中心天体质量）K是一个与行星无关的常量，仅与中心天体有关
五、万有引力定律
1.
定律内容：宇宙间的一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们距离的平方成反比。
2.
表达式：F=GmM/r2
G为万有力恒量：G=6.67×10-11N·m2/kg。
说明：
(1)公式适用于质点间的相互作用。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离。
地球对物体的引力是物体具有重力的根本原因．但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自转，地球上的一切物体都随着地球自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向是垂直指向地轴的，它的大小是，式中的r是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这个向心力来自哪里 只能来自地球对物体的引力F，它是引力F的一个分力如右图，引力F的另一个分力才是物体的重力mg．
在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径r不同，这个半径在赤道处最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力
(R为地球半径)，由公式可见，随着纬度升高，向心力将减小，在两极处Rcosα＝0，f＝0．作为引力的另一个分量，即重力则随纬度升高而增大．在赤道上，物体的重力等于引力与向心力之差．即．在两极，引力就是重力．但由于地球的角速度很小，仅为10－5rad／s数量级，所以mg与F的差别并不很大．
在不考虑地球自转的条件下，地球表面物体的重力这是一个很有用的结论．
从图1中还可以看出重力mg一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力mg才能向地心．
同样，根据万有引力定律知道，在同一纬度，物体的重力和重力加速度g的数值，还随着物体离地面高度的增加而减小．
若不考虑地球自转，地球表面处有，可以得出地球表面处的重力加速度．
在距地表高度为h的高空处，万有引力引起的重力加速度为g＇，由牛顿第二定律可得：
　　即
如果在h＝Ｒ处，则g＇＝g/4．在月球轨道处，由于r＝60Ｒ，所以重力加速度g＇＝
g/3600．
重力加速度随高度增加而减小这一结论对其他星球也适用．
六、万有引力定律的应用
1.
讨论重力加速度g随离地面高度h的变化情况：
物体的重力近似为地球对物体的引力，即。所以重力加速度，可见，g随h的增大而减小。
2.
算中心天体的质量的基本思路：
(1)从环绕天体出发:通过观测环绕天体运动的周期T和轨道半径r;就可以求出中心天体的质量M
(2)从中心天体本身出发:只要知道中心天体的表面重力加速度g和半径R就可以求出中心天体的质量M。
3.
解卫星的有关问题：在高考试题中，应用万有引力定律解题的知识常集中于两点：
一是天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力。即
二是地球对物体的万有引力近似等于物体的重力，即从而得出
(黄金代换，不考虑地球自转)
4.
卫星：相对地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星。
①定高：h=36000km
②定速：v=3.08km/s
③定周期：=24h
④定轨道：赤道平面
5.
万有引力定律在天文学上的应用主要是万有引力提供星体做圆周运动的向心力.人造地球卫星的绕行速度、角速度、周期与半径的关系
①由得　　　　　r越大，v越小
②由得　　　　　r越大，ω越小
③由得　　　r越大，T越大
行星和卫星的运动可近似视为匀速圆周运动，而万有引力是行星、卫星作匀速圆周运动的向心力。
6.
三种宇宙速度
第一宇宙速度(环绕速度)：由mg=mv2/R=GMm/R2得：
V=Km/s
V1=7.9km/s，是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度。
第二宇宙速度(脱离速度)：V2=V1=11.2
km/s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。
第三宇宙速度(逃逸速度)：V3=16.7km/s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。
【方法技巧】
1．必须精通的几种方法
(1)两个分运动的轨迹及运动性质的判断方法
(2)小船渡河问题、绳和杆末端速度分解问题的分析方法
(3)平抛运动、类平抛运动的分析方法
(4)火车转弯问题、竖直面内圆周运动问题的分析方法
2．必须明确的易错易混点
(1)两个直线运动的合运动不一定是直线运动
(2)合运动是物体的实际运动
(3)小船渡河时，最短位移不一定等于小河的宽度
(4)做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向不同
(5)做圆周运动的物体，其向心力由合外力指向圆心方向的分力提供，向心力并不是物体“额外”受到的力
(6)做离心运动的物体并没有受到“离心力”的作用
高频考点一　运动的合成与分解
例1．2016年CCTV－1综合频道在黄金时间播出了电视剧《陆军一号》，其中直升机抢救伤员的情境深深感动了观众．假设直升机放下绳索吊起伤员后(如图甲所示)，竖直方向的速度图象和水平方向的位移图象分别如图乙、丙所示，则(　　)
A．绳索中拉力可能倾斜向上
B．伤员一直处于失重状态
C．在地面上观察到伤员的运动轨迹是一条倾斜向上的直线
D．绳索中拉力先大于重力，后小于重力
【变式探究】如图所示，河水流动的速度为v且处处相同，河宽为a.在船下水点A的下游距离为b处是瀑布．为了使小船渡河安全(不掉到瀑布里去)(　　)
A．小船船头垂直河岸渡河时间最短，最短时间为t＝，速度最大，最大速度为vmax＝
B．小船轨迹沿y轴方向渡河位移最小、速度最大，最大速度为vmax＝
C．小船沿轨迹AB运动位移最大、时间最长，速度最小，最小速度vmin＝
D．小船沿轨迹AB运动位移最大、速度最小，则小船的最小速度为vmin＝
高频考点二　平抛运动规律的应用
例2、(多选)如图所示，x轴在水平地面上，y轴沿竖直方向．图中画出了从y轴上不同位置沿x轴正方向水平抛出的三个小球a、b和c的运动轨迹．小球a从(0,2L)抛出，落在(2L,0)处；小球b、c从(L,0)抛出，分别落在(2L,0)和(L,0)处．不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．a和b的初速度相同
B．b和c的运动时间相同
C．b的初速度是c的两倍
D．a的运动时间是b的两倍
解析　根据h＝gt2，可得t＝，可知b、c的运动时间相同，a的运动时间等于b、c的运动时间的倍，故选项B正确，D错误；a的运动时间比b的运动时间长，a和b水平方向的位移大小相同，根据x＝v0t可知，a的初速度小于b的初速度，故选项A错误；b、c的运动时间相同，b的水平位移是c的水平位移的两倍，则b的初速度是c的初速度的两倍，故选项C正确．
答案　BC
【特别提醒】处理平抛(类平抛)运动的五条注意事项
1．处理平抛运动(或类平抛运动)时，一般将运动沿初速度方向和垂直于初速度方向进行分解，先按分运动规律列式，再用运动的合成求合运动．
2．对于在斜面上平抛又落到斜面上的问题，其竖直位移与水平位移之比等于斜面倾角的正切值．
3．若平抛的物体垂直打在斜面上，则物体打在斜面上瞬间，其水平速度与竖直速度之比等于斜面倾角的正切值．
4．做平抛运动的物体，其位移方向与速度方向一定不同．
5．推论：做平抛(或类平抛)运动的物体
(1)任意时刻速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点；
(2)设在任意时刻瞬时速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为φ，则有tan
θ＝2tan
φ.
【变式探究】
(多选)如图所示，在某次自由式滑雪比赛中，一运动员从弧形雪坡上沿水平方向飞出后，又落回到斜面雪坡上．若斜面雪坡的倾角为θ，运动员飞出时的速度大小为v0，不计空气阻力，运动员飞出后在空中的姿势保持不变，重力加速度为g，则(　　)
A．如果v0大小不同，则运动员落到雪坡上时的速度方向也就不同
B．不论v0多大，该运动员落到雪坡上时的速度方向都是相同的
C．运动员落到雪坡上时的速度大小为
D．运动员在空中飞行的时间是
答案　BD
高频考点三　圆周运动问题
例3、(多选)摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示，甲、乙两个水平放置的轮盘靠摩擦传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知r甲∶r乙＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相等，两滑块到轴心O、O′的距离分别为RA、RB，且RA＝2RB.若轮盘乙由静止开始缓慢地转动，且转速逐渐增大，则下列叙述正确的是(　　)
A．滑块相对轮盘开始滑动前，A、B的角速度大小之比为ωA∶ωB＝1∶3
B．滑块相对轮盘开始滑动前，A、B的向心加速度大小之比为aA∶aB＝1∶3
C．转速增大后最终滑块A先发生相对滑动
D．转速增大后最终滑块B先发生相对滑动
答案　AD
【变式探究】(多选)如图甲所示，半径为R、内壁光滑的圆形细管竖直放置，一可看作质点的小球在圆管内做圆周运动，当其运动到最高点A时，小球受到的弹力F与其在A点速度平方(即v2)的关系如图乙所示．设细管内径可忽略不计，则下列说法中正确的是(　　)
A．当地的重力加速度大小为
B．该小球的质量为R
C．当v2＝2b时，小球在圆管的最低点受到的弹力大小为7a
D．当0≤v2＜b时，小球在A点对圆管的弹力方向竖直向上
解析　由图乙可知，当v2＝b时，小球与圆管内壁之间恰好没有力的作用，此时由重力提供小球做圆周运动的向心力，即mg＝m，故g＝，选项A错误；当v2＝0时，有mg＝a，又因为g＝，所以小球的质量m＝R，选项B正确；当v2＝2b时，设小球运动到最低点时的速度大小为v′，则由机械能守恒定律可得：mg·2R＝mv′2－m·2b，设小球在最低点时受到的弹力大小为F′，则由向心力公式可得：F′－mg＝m，联立解得：F′＝7a，选项C正确；当0≤v2＜b时，小球在最高点时需要的向心力小于小球的重力，所以圆管对小球的弹力方向竖直向上，由牛顿第三定律可知，小球对圆管的弹力方向竖直向下，选项D错误．
答案　BC
高频考点四　天体质量和密度的估算
例4．“嫦娥五号”探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成．探测器预计在2017年由“长征五号”运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2
kg月球样品．某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为(　　)
月球半径
R0
月球表面处的重力加速度
g0
地球和月球的半径之比
＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比
＝6
A.
B.
C．4
D．6
【变式探究】(1)开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即＝k，k是一个对所有行星都相同的常量．将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为M太．
(2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统(如地月系统)都成立．经测定地月距离为3.84×108
m，月球绕地球运动的周期为2.36×106
s，试计算地球的质量M地．(G＝6.67×10－11
N·m2/kg2，结果保留一位有效数字)
解析：(1)因行星绕太阳做匀速圆周运动，于是轨道的半长轴a即为轨道半径r.根据万有引力定律和牛顿第二定律有G＝m行2r，于是有＝M太，即k＝M太．
(2)在地月系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T，由(1)问可得＝M地，解得M地＝6×1024
kg.
答案：(1)M太　(2)6×1024
kg
高频考点五　卫星运行参数的分析
例5、(多选)卫星A、B的运行方向相同，其中B为近地卫星，某时刻，两卫星相距最近(O、B、A在同一直线上)，已知地球半径为R，卫星A离地心O的距离是卫星B离地心的距离的4倍，地球表面重力加速度为g，则(　　)
A．卫星A、B的运行周期的比值为＝
B．卫星A、B的运行线速度大小的比值为＝
C．卫星A、B的运行加速度的比值为＝
D．卫星A、B至少经过时间t＝，两者再次相距最近
答案　BD
【变式探究】已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为(　　)
A．3.5
km/s　　　　　　　　　　B．5.0
km/s
C．17.7
km/s
D．35.2
km/s
解析　根据题设条件可知：M地＝10
M火，R地＝2R火，由万有引力提供向心力＝m，可得v＝，即＝＝，因为地球的第一宇宙速度为v地＝7.9
km/s，所以航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率v火≈3.5
km/s，选项A正确．
答案　A
高频考点六　卫星变轨问题
例6、(多选)如图所示是我国发射的“嫦娥三号”卫星被月球俘获的示意图，“嫦娥三号”卫星先绕月球沿椭圆轨道Ⅲ运动，在P点经两次制动后最终沿月球表面的圆轨道Ⅰ做匀速圆周运动，已知圆轨道半径为r，椭圆Ⅲ的半长轴为4r，卫星沿圆轨道Ⅰ运行的周期为T，则下列说法中正确的是(　　)
A．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅱ上运行的机械能大于在轨道Ⅲ上运行的机械能
B．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，在M点的速度大小大于在P点的速度大小
C．“嫦娥三号”卫星在三个轨道上运行时，在P点的加速度总是相同的
D．“嫦娥三号”卫星在轨道Ⅲ上运行时，从M点运动到P点经历的时间为4T
答案　CD
【变式探究】(多选)欧航局彗星探测器“罗塞塔”分离的“菲莱”着陆器，于北京时间13日零时5分许确认成功登陆彗星“67P/丘留莫夫－格拉西缅科”(以下简称67P)．这是人造探测器首次登陆一颗彗星．若“菲莱”着陆器着陆前与探测器“罗塞塔”均绕彗星67P(可视为半径为R的球形)的中心O做半径为r、逆时针方向的匀速圆周运动，如图所示．不计着陆器与探测器间的相互作用力，彗星67P表面的重力加速度为g，则(　　)
A．着陆器与探测器的向心加速度大小均为
B．探测器从图示位置运动到着陆器所在位置所需时间为
C．探测器要想追上着陆器，必须向后喷气
D．探测器要想追上着陆器，该过程中万有引力对探测器先做正功后做负功
答案　BD
1.如图1 所示，倾角为α的斜面A被固定在水平面上，细线的一端固定于墙面，另一端跨过斜面顶端的小滑轮与物块B相连，B静止在斜面上．滑轮左侧的细线水平，右侧的细线与斜面平行．A、B的质量均为m.撤去固定A的装置后，A、B均做直线运动．不计一切摩擦，重力加速度为g.求：
图1
(1)A固定不动时，A对B支持力的大小N；
(2)A滑动的位移为x时，B的位移大小s；
(3)A滑动的位移为x时的速度大小vA.
【答案】
(1)mgcos
α　(2)　(3)
【解析】(1)支持力的大小N＝mgcos
α
(2)根据几何关系sx＝x·(1－cos
α)，sy＝x·sin
α
且s＝eq
\r(s＋s)
解得s＝·x
(3)B的下降高度sy＝x·sin
α
根据机械能守恒定律mgsy＝mv＋mv
根据速度的定义得vA＝，vB＝
则vB＝·vA
解得vA＝
.
2.2016·全国卷Ⅰ]
如图1 ，一轻弹簧原长为2R，其一端固定在倾角为37°的固定直轨道AC的底端A处，另一端位于直轨道上B处，弹簧处于自然状态，直轨道与一半径为R的光滑圆弧轨道相切于C点，AC＝7R，A、B、C、D均在同一竖直平面内．质量为m的小物块P自C点由静止开始下滑，最低到达E点(未画出)，随后P沿轨道被弹回，最高到达F点，AF＝4R，已知P与直轨道间的动摩擦因数μ＝，重力加速度大小为g.(取sin
37°＝，cos
37°＝)
(1)求P第一次运动到B点时速度的大小．
(2)求P运动到E点时弹簧的弹性势能．
(3)改变物块P的质量，将P推至E点，从静止开始释放．已知P自圆弧轨道的最高点D处水平飞出后，恰好通过G点．G点在C点左下方，与C点水平相距R、竖直相距R，求P运动到D点时速度的大小和改变后P的质量．
图1
【答案】
(1)2　(2)mgR　(3)　m
(2)设BE＝x，P到达E点时速度为零，设此时弹簧的弹性势能为Ep.P由B点运动到E点的过程中，由动能定理有
mgxsin
θ－μmgxcos
θ－Ep＝0－mv　④
E、F之间的距离l1为
l1＝4R－2R＋x　⑤
P到达E点后反弹，从E点运动到F点的过程中，由动能定理有
Ep－mgl1sin
θ－μmgl1cos
θ＝0　⑥
联立③④⑤⑥式并由题给条件得
x＝R　⑦
Ep＝mgR　⑧
设P在C点速度的大小为vC，在P由C运动到D的过程中机械能守恒，有
m1v＝m1v＋m1g　
P由E点运动到C点的过程中，同理，由动能定理有
Ep－m1g(x＋5R)sin
θ－μm1g(x＋5R)cos
θ＝m1v
联立⑦⑧ 式得
m1＝m　 .
3.2016·天津卷]
如图1 所示，空间中存在着水平向右的匀强电场，电场强度大小E＝5
N/C，同时存在着水平方向的匀强磁场，其方向与电场方向垂直，磁感应强度大小B＝0.5
T．有一带正电的小球，质量m＝1×10－6
kg，电荷量q＝2×10－6
C，正以速度v在图示的竖直面内做匀速直线运动，当经过P点时撤掉磁场(不考虑磁场消失引起的电磁感应现象)，g取10
m/s2.求：
图1
(1)小球做匀速直线运动的速度v的大小和方向；
(2)从撤掉磁场到小球再次穿过P点所在的这条电场线经历的时间t.
【答案】
(1)20
m/s　方向与电场E的方向之间的夹角为60°斜向上　(2)3.5
s
【解析】(1)小球匀速直线运动时受力如图1 所示，其所受的三个力在同一平面内，合力为零，有
qvB＝　①
图1
x＝vt　⑥
设小球在重力与电场力的合力方向上分位移为y，有
y＝at2　
⑦
a与mg的夹角和v与E的夹角相同，均为θ，又
tan
θ＝　⑧
联立④⑤⑥⑦⑧式，代入数据解得
t＝2
s＝3.5
s　⑨
4.2016·江苏卷]
有A、B两小球，B的质量为A的两倍．现将它们以相同速率沿同一方向抛出，不计空气阻力．图中①为A的运动轨迹，则B的运动轨迹是(　　)
图1
A．①
B．②
C．③
D．④
【答案】A　【解析】抛体运动的加速度始终为g，与抛体的质量无关．当将它们以相同速率沿同一方向抛出时，运动轨迹应该相同．故选项A正确．
5.2016·浙江卷]
在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化装置如图1 9所示．P是一个微粒源，能持续水平向右发射质量相同、初速度不同的微粒．高度为h的探测屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P点的高度差也为h.
图1 9
(1)若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
(2)求能被屏探测到的微粒的初速度范围；
(3)若打在探测屏A、B两点的微粒的动能相等，求L与h的关系．
【答案】
(1)　(2)L≤v≤L　(3)L＝2h
(3)由能量关系
mv＋mgh＝mv＋2mgh　⑦
代入④、⑤式得L＝2h　⑧.
6.2016·全国卷Ⅲ]
如图所示，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P.它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W.重力加速度大小为g.设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则(　　)
图1
A．a＝
B．a＝
C．N＝
D．N＝
【答案】AC　【解析】质点P下滑到底端的过程，由动能定理得mgR－W＝mv2－0，可得v2＝，所以a＝＝，A正确，B错误；在最低点，由牛顿第二定律得N－mg＝m，故N＝mg＋m＝mg＋·＝，C正确，D错误．
7.2016·全国卷Ⅲ]
如图1 所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接．AB弧的半径为R，BC弧的半径为.一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动．
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点．
图1
【答案】
(1)5　(2)能
由机械能守恒有mg＝mv　⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点．
8.2016·天津卷]
我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一．如图1 所示，质量m＝60
kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6
m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24
m/s，A与B的竖直高度差H＝48
m．为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧．助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5
m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530
J，g取10
m/s2.
图1
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大？
【答案】
(1)144
N　(2)12.5
m
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5
m.
9.2016·浙江卷]
如图1 6所示为赛车场的一个水平“梨形”赛道，两个弯道分别为半径R＝90
m的大圆弧和r＝40
m的小圆弧，直道与弯道相切．大、小圆弧圆心O、O′距离L＝100
m．赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的2.25倍．假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动．要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度g取10
m/s2，π＝3.14)，则赛车(　　)
图1 6
A．在绕过小圆弧弯道后加速
B．在大圆弧弯道上的速率为45
m/s
C．在直道上的加速度大小为5.63
m/s2
D．通过小圆弧弯道的时间为5.58
s
【答案】AB【解析】要使赛车绕赛道一圈时间最短，则通过弯道的速度都应最大，由f＝2.25mg＝m可知，通过小弯道的速度v1＝30
m/s，通过大弯道的速度v2＝45
m/s，故绕过小圆弧弯道后要加速，选项A、B正确；如图所示，由几何关系可得AB长x＝＝50
m，故在直道上的加速度a＝eq
\f(v－v,2x)＝
m/s2≈6.5
m/s2，选项C错误；由sin＝＝可知，小圆弧对应的圆心角θ＝，故通过小圆弧弯道的时间t＝＝＝
s＝2.79
s，选项D错误．
10.2016·全国卷Ⅰ]
利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为(　　)
A．1
h
B．4
h
C．8
h
D．16
h
11.2016·全国卷Ⅲ]
关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)
A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律
B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
【答案】B　【解析】开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星按照这些规律运动的原因，选项B正确．
12.2016·北京卷]
如图1 所示，一颗人造卫星原来在椭圆轨道1绕地球E运行，在P点变轨后进入轨道2做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
图1
A．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的速度都相同
B．不论在轨道1还是在轨道2运行，卫星在P点的加速度都相同
C．卫星在轨道1的任何位置都具有相同加速度
D．卫星在轨道2的任何位置都具有相同动量
13.2016·天津卷]
我国即将发射“天宫二号”空间实验室，之后发射“神舟十一号”飞船与“天宫二号”对接．假设“天宫二号”与“神舟十一号”都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是(　　)
图1
A．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间实验室实现对接
B．使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，然后空间实验室减速等待飞船实现对接
C．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
D．飞船先在比空间实验室半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间实验室，两者速度接近时实现对接
【答案】C【解析】若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则飞船加速后，万有引力不足以提供向心力，飞船将远离原来的轨道，不能实现对接，A错误；若使飞船与空间实验室在同一轨道上运行，则空间实验室减速将会使空间实验室进入低轨道，也不能实现对接，故B错误；实现对接的方法是使飞船在比空间实验室低的轨道上加速，然后飞船进入较高的空间实验室轨道后实现对接，C正确；若使飞船在比空间实验室低的轨道上减速，则飞船将进入更低的轨道上去运行，无法实现对接，D错误．
14.2016·江苏卷]
如图1 所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　)
图1
A．TA>TB
B．EkA>EkB
C．SA＝SB
D.eq
\f(R,T)＝eq
\f(R,T)
15.2016·江苏卷]
据报道，一法国摄影师拍到“天宫一号”空间站飞过太阳的瞬间．照片中，“天宫一号”的太阳帆板轮廓清晰可见．如图所示，假设“天宫一号”正以速度v＝7.7
km/s绕地球做匀速圆周运动，运动方向与太阳帆板两端M、N的连线垂直，M、N间的距离L＝20
m，地磁场的磁感应强度垂直于v，MN所在平面的分量B＝1.0×10－5
T，将太阳帆板视为导体．
图1
(1)求M、N间感应电动势的大小E；
(2)在太阳帆板上将一只“1.5
V，0.3
W”的小灯泡与M、N相连构成闭合电路，不计太阳帆板和导线的电阻．试判断小灯泡能否发光，并说明理由；
(3)取地球半径R＝6.4×103
km，地球表面的重力加速度g＝9.8
m/s2，试估算“天宫一号”距离地球表面的高度h(计算结果保留一位有效数字)．
【答案】
(1)1.54
V　(2)不能，理由见解析　(3)4×105
m
16.2016·四川卷]
国务院批复，自2016年起将4月24日设立为“中国航天日”.1970年4月24日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为440
km，远地点高度约为2060
km；1984年4月8日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空35786
km的地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为a1，东方红二号的加速度为a2，固定在地球赤道上的物体随地球自转的加速度为a3，则a1、a2、a3的大小关系为(　　)
图1
A．a2＞a1＞a3
B．a3＞a2＞a1
C．a3＞a1＞a2
D．a1＞a2＞a3
【答案】D　【解析】由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，可得：a＝ω2r，由于r2>r3，则可以得出：a2>a3；又由万有引力定律有：G＝ma，且r1故选项D正确．
17.2016·全国卷Ⅱ]
小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短．将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图1 所示．将两球由静止释放，在各自轨迹的最低点(　　)
图1
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
18.2016·全国卷Ⅱ]
轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l.现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接．AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图所示．物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5.用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g.
(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点间的距离；
(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围．
图1
【答案】
(1)　2
l　(2)m≤M【解析】(1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能．由机械能守恒定律，弹簧长度为l时的弹性势能为
Ep＝5mgl　①
mv＝mv＋mg·2l　⑤
联立③⑤式得
vD＝　⑥
vD满足④式要求，故P能运动到D点，并从D点以速度vD水平射出．设P落回到轨道AB所需的时间为t，由运动学公式得
2l＝gt2　⑦
P落回到AB上的位置与B点之间的距离为
s＝vDt　⑧
联立⑥⑦⑧式得
s＝2
l　⑨.
(2)为使P能滑上圆轨道，它到达B点时的速度不能小于零．
由①②式可知5mgl>μMg·4l
要使P仍能沿圆轨道滑回，P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点C.由机械能守恒定律有
Mv≤Mgl　
联立①②⑩ 式得
m≤M1．(2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图1所示．水平台面的长和宽分别为L1和L2，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内，通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是(　　)
图1
A.＜v＜L1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
2．(多选)(2015·浙江理综·19)如图2所示为赛车场的一个水平“U”形弯道，转弯处为圆心在O点的半圆，内外半径分别为r和2r.一辆质量为m的赛车通过AB线经弯道到达A′B′线，有如图所示的①、②、③三条路线，其中路线③是以O′为圆心的半圆，OO′＝r.赛车沿圆弧路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力为Fmax.选择路线，赛车以不打滑的最大速率通过弯道(所选路线内赛车速率不变，发动机功率足够大)，则(　　)
图2
A．选择路线①，赛车经过的路程最短
B．选择路线②，赛车的速率最小
C．选择路线③，赛车所用时间最短
D．①、②、③三条路线的圆弧上，赛车的向心加速度大小相等
3．(2015·海南单科·14)如图3所示，位于竖直平面内的光滑轨道由四分之一圆弧ab和抛物线bc组成，圆弧半径Oa水平，b点为抛物线顶点．已知h＝2m，s＝m．取重力加速度大小g＝10m/s2.
图3
(1)一小环套在轨道上从a点由静止滑下，当其在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，求圆弧轨道的半径；
(2)若环从b点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达c点时速度的水平分量的大小．
【答案】(1)0.25m　(2)m/s。
【解析】(1)小环在bc段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到b点时的速度水平，使小环做平抛运动的轨迹与轨道bc重合，故有s＝vbt①
h＝gt2②
在ab滑落过程中，根据动能定理可得mgR＝mv③
联立三式可得R＝＝0.25m
1．【2014·新课标全国卷Ⅰ】如图所示，两个质量均为m的小木块a和b(可视为质点)放在水平圆盘上，a与转轴OO′的距离为l，b与转轴的距离为2l.木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍，重力加速度大小为g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用ω表示圆盘转动的角速度．下列说法正确的是(　　)
A．b一定比a先开始滑动
B．a、b所受的摩擦力始终相等
C．ω＝是b开始滑动的临界角速度
D．当ω＝时，a所受摩擦力的大小为kmg
【答案】AC　
【解析】本题考查了圆周运动与受力分析．a与b所受的最大摩擦力相等，而b需要的向心力较大，所以b先滑动，A项正确；在未滑动之前，a、b各自受到的摩擦力等于其向心力，因此b受到的摩擦力大于a受到的摩擦力，B项错误；b处于临界状态时kmg＝mω2·2l，解得ω＝
，C项正确；ω＝小于a的临界角速度，a所受摩擦力没有达到最大值
，D项错误．
2.【2014·四川卷】有一条两岸平直、河水均匀流动、流速恒为v的大河．小明驾着小船渡河，去程时船头指向始终与河岸垂直，回程时行驶路线与河岸垂直．去程与回程所用时间的比值为k，船在静水中的速度大小相同，则小船在静水中的速度大小为(　　)
A.
B.
C.
D.
【答案】B　
【解析】设河岸宽为d，船速为u，则根据渡河时间关系得∶＝k，解得u＝，所以B选项正确．
3.【2014·江苏卷】为了验证做平抛运动的小球在竖直方向上做自由落体运动，用如图所示的装置进行实验．小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开，自由下落．关于该实验，下列说法中正确的有(　　)
A．两球的质量应相等
B．两球应同时落地
C．应改变装置的高度，多次实验
D．实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
【答案】BC　
4.【2014·安徽卷】(18分)Ⅰ.图1是“研究平抛物体运动”的实验装置图，通过描点画出平抛小球的运动轨迹．
(1)以下是实验过程中的一些做法，其中合理的有________．
a．安装斜槽轨道，使其末端保持水平
b．每次小球释放的初始位置可以任意选择
c．每次小球应从同一高度由静止释放
d．为描出小球的运动轨迹，描绘的点可以用折线连接
(2)实验得到平抛小球的运动轨迹，在轨迹上取一些点，以平抛起点O为坐标原点，测量它们的水平坐标x和竖直坐标y，图2中y x2图像能说明平抛小球运动轨迹为抛物线的是________．
图3
(3)图3是某同学根据实验画出的平抛小球的运动轨迹，O为平抛的起点，在轨迹上任取三点A、B、C，测得A、B两点竖直坐标y1为5.0
cm，y2为45.0
cm，A、B两点水平间距Δx为40.0
cm.则平抛小球的初速度v0为________m/s，若C点的竖直坐标y3为60.0
cm，则小球在C点的速度vC为________m/s(结果保留两位有效数字，g取10
m/s2)．
【答案】Ⅰ.D3(1)ac　(2)c　(3)2.0
　4.0
(3)将公式y＝eq
\f(gx2,2v)变形可得x＝v0，AB水平距离Δx＝v0，可得v0＝2.0
m/s，C点竖直速度vy＝，根据速度合成可得vc＝eq
\r(2gy3＋v)＝4.0
m/s.
5.【2014·安徽卷】如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5
m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10
m/s2.则ω的最大值是(　　)
A.
rad/s
B.
rad/s
C．1.0
rad/s
D．0.5
rad/s
【答案】C　
6．【2014·新课标全国卷Ⅰ】太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”．据报道，2014年各行星冲日时间分别是：1月6日木星冲日；4月9日火星冲日；5月11日土星冲日；8月29日海王星冲日；10月8日天王星冲日．已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示，则下列判断正确的是(　　)
地球
火星
木星
土星
天王星
海王星
轨道半径(AU)
1.0
1.5
5.2
9.5
19
30
A.各地外行星每年都会出现冲日现象
B．在2015年内一定会出现木星冲日
C．天王星相邻两次冲日的时间间隔为土星的一半
D．地外行星中，海王星相邻两次冲日的时间间隔最短
【答案】BD　
【解析】本题考查万有引力知识，开普勒行星第三定律，天体追及问题．因为冲日现象实质上是角速度大的天体转过的弧度恰好比角速度小的天体多出2π，所以不可能每年都出现(A选项)．由开普勒行星第三定律有eq
\f(T,T)＝eq
\f(r,r)＝140.608，周期的近似比值为12，故木星的周期为12年，由曲线运动追及公式t－t＝2nπ，将n＝1代入可得t＝年，为木星两次冲日的时间间隔，所以2015年能看到木星冲日现象，B正确．同理可算出天王星相邻两次冲日的时间间隔为1.01年．土星两次冲日的时间间隔为1.03年．海王星两次冲日的时间间隔为1.006年，由此可知C错误，D正确．
7.【2014·天津卷】研究表明，地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比(　　)
A．距地面的高度变大
B．向心加速度变大
C．线速度变大
D．角速度变大
【答案】A　
8.【2014·浙江卷】长期以来“卡戎星(Charon)”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19
600
km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48
000
km，则它的公转周期T2最接近于(　　)
A．15天
B．25天
C．35天
D．45天
【答案】B　
【解析】本题考查开普勒第三定律、万有引力定律等知识．根据开普勒第三定律eq
\f(r,T)＝eq
\f(r,T)，代入数据计算可得T2约等于25天．选项B正确．
9.【2014·安徽卷】在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l，引力常量为G，地球质量为M，摆球到地心的距离为r，则单摆振动周期T与距离r的关系式为(　　)
A．T＝2πr　　　　　B．T＝2πr
C．T＝
D．T＝2πl
【答案】B　
【解析】本题考查单摆周期公式、万有引力定律与类比的方法，考查推理能力．在地球表面有G＝mg，解得g＝G.单摆的周期T＝2π·＝2πr，选项B正确．
10.【2014·福建卷Ⅰ】若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的(　　)
A.倍
B.倍
C.倍
D.倍
【答案】C　
11.【2014·广东卷】如图13所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是(　　)
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
【答案】AC　
【解析】根据G＝mR，可知半径越大则周期越大，故选项A正确；根据G＝m，可知轨道半径越大则环绕速度越小，故选项B错误；若测得周期T，则有M＝，如果知道张角θ，则该星球半径为r＝Rsin，所以M＝＝π(Rsin)3ρ，可得到星球的平均密度，故选项C正确，而选项D无法计算星球半径，则无法求出星球的平均密度，选项D错误．
12.【2014·江苏卷】已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为(　　)
A．3.5
km/s
B．5.0
km/s
C．17.7
km/s
D．35.2
km/s
【答案】A　
【解析】航天器在火星表面附近做圆周运动所需的向心力是由万有引力提供的，由G＝m知v＝，当航天器在地球表面附近绕地球做圆周运动时有v地＝7.9
km/s，＝＝＝，故v火＝v地＝×7.9
km/s≈3.5
km/s，则A正确．
13.【2014·山东卷】2013年我国相继完成“神十”与“天宫”对接、“嫦娥”携“玉兔”落月两大航天工程．某航天爱好者提出“玉兔”回家的设想：如图所示，将携带
“玉兔”的返回系统由月球表面发射到h高度的轨道上，与在该轨道绕月球做圆周运动的飞船对接，然后由飞船送“玉兔”返回地球．设“玉兔”质量为m，月球半径为R，月面的重力加速度为g月．以月面为零势能面，“玉兔”在h高度的引力势能可表示为Ep＝，其中G为引力常量，M为月球质量．若忽略月球的自转，从开始发射到对接完成需要对“玉兔”做的功为(　　)
A.(h＋2R)
B.(h＋R)
C.
D.
【答案】D　
14.【2014·北京卷]万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.
a.
若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；
b.
若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式．
(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．
【答案】(1)a.　＝　0.98
b．　＝1－
(2)1年
b．在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有
G－F2＝mR
得
＝1－.
(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有
G＝Mreq
\f(4π2,T)
得
TE＝＝eq
\r(\f(3πr3,GρR)).
其中ρ为太阳的密度．
由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．
15.【2014·四川卷】石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯仓沿着这条缆绳运行，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．
(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.
(2)当电梯仓停在距地面高度h2＝4R的站点时，求仓内质量m2＝50
kg的人对水平地板的压力大小．取地面附近重力加速度g取10
m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5
rad/s，地球半径R＝6.4×103
km.
【答案】(1)m1ω2(R＋h1)2　(2)11.5
N
(2)设地球质量为M，人相对地心的距离为r2，向心加速度为an，受地球的万有引力为F，则
r2＝R＋h2⑤
an＝ω2r2⑥
F＝eq
\f(Gm2M,r)⑦
g＝⑧
设水平地板对人的支持力大小为N，人对水平地板的压力大小为N′，则
F－N＝m2an⑨
N′＝N⑩
联立⑤～⑩式并代入数据得　　N′＝11.5
N
16.【2014·重庆卷】题7图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测器受到推力在距月球表面高度为h1处悬停(速度为0，h1远小于月球半径)；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为h2处的速度为v；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落到月面，已知探测器总质量为m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为k1，质量比为k2，地球表面附近的重力加速度为g，求：
题7图
(1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；
(2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化．
【答案】(1)eq
\f(k,k2)g　eq
\r(v2＋\f(2kgh2,k2))　(2)mv2－eq
\f(k,k2)mg(h1－h2)
本题利用探测器的落地过程将万有引力定律，重力加速度概念，匀变速直线运动，机械能等的概念融合在一起考查．设计概念比较多，需要认真审题．
(2)设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp.
由ΔE＝ΔEk＋ΔEp
有ΔE＝m(v2＋eq
\f(2kgh2,k2))－meq
\f(k,k2)gh1
得ΔE＝mv2－eq
\f(k,k2)mg(h1－h2).
17.【2014·全国卷】已知地球的自转周期和半径分别为T和R，地球同步卫星A的圆轨道半径为h，卫星B沿半径为r(r＜h)的圆轨道在地球赤道的正上方运行，其运行方向与地球自转方向相同．求：
(1)卫星B做圆周运动的周期；
(2)卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔(信号传输时间可忽略)．
【答案】(1)T
(2)(arcsin
＋arcsin
)T
(2)设卫星A和B连续地不能直接通讯的最长时间间隔为τ；
在此时间间隔τ内，卫星A和B绕地心转动的角度分别为α和α′，则
α＝2π④
α′＝2π⑤
若不考虑卫星A的公转，两卫星不能直接通讯时，卫星B的位置应在图中B点和B′点之间，图中内圆表示地球的赤道．
由几何关系得
∠BOB′＝2⑥
由③式知，当r＜h时，卫星B比卫星A转得快，考虑卫星A的公转后应有
α′－α＝∠BOB′⑦
由③④⑤⑥⑦式得
τ＝T⑧
1．如图所示，帆板在海面上以速度v朝正西方向运动，帆船以速度v朝正北方向航行，以帆板为参照物(　　)
A．帆船朝正东方向航行，速度大小为v
B．帆船朝正西方向航行，速度大小为v
C．帆船朝南偏东45°方向航行，速度大小为v
D．帆船朝北偏东45°方向航行，速度大小为v
2．如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球顶入球门的左下方死角(图中P点)．球员顶球点的高度为h.足球做平抛运动(足球可看成质点，忽略空气阻力)，则(　　)
A．足球位移的大小x＝
B．足球初速度的大小v0＝
C．足球末速度的大小v＝
D．足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan
θ＝
解析：选B.根据几何关系可知，足球做平抛运动的竖直高度为h，水平位移为x水平＝，则足球位移的大小为：x＝＝，选项A错误；由h＝gt2，x水平＝v0t，可得足球的初速度为v0＝，选项B正确；对小球应用动能定理：mgh＝－，可得足球末速度v＝＝，选项C错误；初速度方向与球门线夹角的正切值为tan
θ＝，选项D错误．
3．A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高．从E点以一定的水平速度抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程下列说法正确的是(　　)
A．球1和球2运动的时间之比为2∶1
B．球1和球2动能增加量之比为1∶3
C．球1和球2抛出时初速度之比为2∶1
D．球1和球2运动时的加速度之比为1∶2
4．如图所示，一网球运动员将球在边界处正上方水平向右击出，球刚好过网落在图中位置(不计空气阻力)，数据如图所示，则下列说法中正确的是(　　)
A．击球点高度h1与球网高度h2之间的关系为h1＝2h2
B．若保持击球高度不变，球的初速度v0只要不大于
，就一定落在对方界内
C．任意降低击球高度(仍大于h2)，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
D．任意增加击球高度，只要击球初速度合适，球一定能落在对方界内
解析：选D.不计空气阻力，网球做平抛运动．网球由h1高度被水平击出，刚好越过球网，落在另一侧的中点．由h1＝gt，s＝v0t1及h1－h2＝gt，s＝v0t2得h1＝1.8h2，选项A错误；要使球落在对方界内，h1＝gt，x＝v0t3＜2s，得v0＜，v0＝时，刚好落在界线上，选项B错误；击球高度为某一值hL时，若球刚好过网并落在界线上，应有hL＝gt，2s＝vLtL及hL－h2＝gtL′2，s＝vLtL′，解得：hL＝h2，高度小于hL时，球击出后或者落在自己一侧，或者出界，选项C错误；高度大于hL时，击球速度合适，球一定能落在对方界内，选项D正确．
5．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其角速度大小为ω.假设宇航员登上该行星后，在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体的重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为F0.已知引力常量为G，则这颗行星的质量为(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C.
D.
6．近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础．如果火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为T，则火星的平均密度ρ的表达式为(k为某个常数)(　　)
A．ρ＝kT
B．ρ＝
C．ρ＝kT2
D．ρ＝
解析：选D.火星探测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动时，＝m，又M＝πR3·ρ，可得：ρ＝＝，故选项D正确．
7．人造卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为R，线速度为v，周期为T，若要使卫星的周期变为3T，可以采取的办法是(　　)
A．R不变，使线速度变为
B．v不变，使轨道半径变为3R
C．使轨道半径变为R
D．使卫星的高度增加2R
解析：选C.对于卫星的运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律可得G＝m＝mRω2＝mR，卫星的线速度v＝，周期T＝2π，所以当轨道半径变为R时，卫星的运动周期将变为3T，即选项C正确．
8．(多选)中国最新研制的“长征六号”运载火箭2015年9月20日首次发射，成功将20颗卫星送入预定轨道，缔造了“一箭多星”发射的亚洲新纪录．假设某颗卫星运行在同步轨道(卫星的轨道半径是地球半径的n倍)上，由此可知(　　)
A．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的
B．该卫星运行的向心加速度大小是地表重力加速度的
C．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的
D．该卫星的运行速度大小是第一宇宙速度大小的
9．登上火星是人类的梦想．“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响．根据下表，火星和地球相比(　　)
行星
半径/m
质量/kg
轨道半径/m
地球
6.4×106
6.0×1024
1.5×1011
火星
3.4×106
6.4×1023
2.3×1011
A.火星的公转周期较小
B．火星做圆周运动的加速度较小
C．火星表面的重力加速度较大
D．火星的第一宇宙速度较大
解析：选B.火星和地球都绕太阳做圆周运动，万有引力提供向心力，由＝mr＝ma知，因r火>r地，而＝，故T火>T地，选项A错误；向心加速度a＝，则a火v火，故选项D错误．
10．(多选)中国志愿者王跃参与人类历史上第一次全过程模拟从地球往返火星的试验“火星—500”．假设将来人类一艘飞船从火星返回地球时，经历如图
所示的变轨过程，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船在轨道Ⅱ上运动时，在P点的速度大于在Q点的速度
B．飞船在轨道Ⅰ上运动时，在P点的速度大于在轨道Ⅱ上运动时在P点的速度
C．飞船在轨道Ⅰ上运动到P点时的加速度等于飞船在轨道Ⅱ上运动到P点时的加速度
D．若轨道Ⅰ贴近火星表面，测出飞船在轨道Ⅰ上运动的周期，就可以推知火星的密度
11．(多选)2015年10月17日0时16分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功将亚太九号通信卫星发射升空，这是我国首次向国际成熟卫星运营商提供通信卫星在轨交付服务．火箭升空约26
min后，西安卫星测控中心传来的数据表明，星箭分离正常，卫星准确进入近地点212
km、远地点41
965
km的地球同步转移轨道，发射任务获得圆满成功．关于此次发射的通信卫星，下列说法正确的是(　　)
A．卫星在近地点212
km、远地点41
965
km的地球同步转移轨道上做匀速圆周运动
B．卫星在近地点212
km、远地点41
965
km的地球同步转移轨道上正常运行，机械能一定守恒
C．卫星沿地球同步转移轨道运动，在近地点的加速度一定大于在远地点的加速度
D．卫星由同步转移轨道的近地点加速有可能进入地球同步轨道
解析：选BC.题述的近地点212
km、远地点41
965
km的地球同步转移轨道一定是一椭圆，卫星在椭圆轨道上做变速椭圆运动，机械能守恒，在近地点重力势能较小，动能较大，速率较大；在远地点重力势能较大，动能较小，速率较小，选项A错误、B正确．卫星沿地球同步转移轨道运动，在近地点所受万有引力较大，其加速度一定大于在远地点的加速度，选项C正确．卫星由同步转移轨道的远地点加速可能进入地球同步轨道，而在同步转移轨道的近地点加速，只能使卫星做半长轴更大的椭圆运动，不可能进入同步轨道，选项D错误．
12.神舟十号飞船于北京时间2013年6月11日17时38分在甘肃省酒泉卫星发射中心发射升空，并于北京时间6月13日13时18分，实施与天宫一号自动交会对接．这是天宫一号自2011年9月发射入轨以来，第5次与神舟飞船成功实现交会对接．交会对接前神舟十号飞船先在较低圆轨道1上运动，在适当位置经变轨与在圆轨道2上运动的天宫一号对接．如图所示，M、Q两点在轨道1上，P点在轨道2上，三点连线过地球球心，把飞船的加速过程简化为只做一次短时加速．下列关于神舟十号变轨过程的描述，正确的是(　　)
A．神舟十号必须在Q点加速，才能在P点与天宫一号相遇
B．神舟十号在M点经一次加速，即可变轨到轨道2
C．神舟十号经变轨后速度总大于变轨前的速度
D．神舟十号变轨后的运行周期总大于变轨前的运行周期
13．质量不等的两星体在相互间的万有引力作用下，绕两者连线上某一定点O做匀速圆周运动，构成双星系统．由天文观察测得其运动周期为T，两星体之间的距离为r，已知引力常量为G.下列说法正确的是(　　)
A．双星系统的平均密度为
B．O点离质量较大的星体较远
C．双星系统的总质量为
D．若在O点放一物体，则物体受两星体的万有引力合力为零
解析：选C.根据G＝mr1，G＝Mr2，r1＋r2＝r，联立三式解得M＋m＝，因为双星的体积未知，无法求出双星系统的平均密度，故A错误，C正确；根据mr1＝Mr2可知，质量大的星体离O点较近，故B错误；因为O点离质量较大的星体较近，根据万有引力定律可知若在O点放一物体，则物体受质量大的星体的万有引力较大，故合力不为零，故D错误．
14．由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，求：
(1)A星体所受合力大小FA；
(2)B星体所受合力大小FB；
(3)C星体的轨道半径RC；
(4)三星体做圆周运动的周期T.
解析：
(3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，则
RC＝，可得RC＝a.
＝，得RC＝(4分)
(4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝m2RC，可得T＝π
.(4分)
答案：(1)2G　(2)G　(3)a　(4)π
.
15.
将一质量为m的可视为质点的小球用一长为l的细绳拴结，细绳的另一端固定在天花板上的O点，在O点右下方的A位置钉一光滑的钉子，已知AO两点的高度差为.现将小球从图示位置无初速地释放，此位置与O点等高且此时细绳刚好绷紧，当细绳与A点的钉子相碰后，小球将在竖直面内绕钉子做圆周运动．
(1)当A点到过O点竖直线的距离为l时，小球刚好运动到最低点细绳断裂，则细绳能承受的最大拉力与重力的比值为多大？
(2)为了保证在细绳不断裂的情况下，小球能在竖直面内做完整的圆周运动，则A点到过O点竖直线的距离范围是多少？
在最低点细绳承受的拉力最大，有F－mg＝m
解得最大拉力F＝7mg，所以＝7.
(2)设小球到达最高点时速度大小为v2，运动半径为R2，
小球绕钉子做圆周运动，恰好能到达最高点时有mg＝m
运动过程中机械能守恒，有mg(－R2)＝mv
A点到过O点竖直线的距离为x2＝，解得x2＝l
因此A点到过O点竖直线的距离范围为l≤x＜l.
答案：(1)7　(2)l≤x＜l
16.如图所示的装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与细线1、2连接后分别系于B、C两点，装置静止时细线1水平，细线2与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1
kg，细线2长l＝1
m，B点距C点的水平和竖直距离相等．重力加速度g＝10
m/s2，sin
37°＝0.6，cos
37°＝0.8.
(1)若装置匀速转动的角速度为ω1时，细线1上的张力为零而细线2与竖直方向的夹角仍为37°，求角速度ω1的大小；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝
rad/s，求细线2与竖直方向的夹角．
答案　(1)
rad/s　(2)53°.
17．如图所示，半径为R＝1
m，内径很小的粗糙半圆管竖直放置，一直径略小于半圆管内径、质量为m＝1
kg的小球，在水平恒力F＝
N的作用下由静止沿光滑水平面从A点运动到B点，A、B间的距离x＝
m，当小球运动到B点时撤去外力F，小球经半圆管道运动到最高点C，此时球对外轨的压力FN＝2.6mg，然后垂直打在倾角为θ＝45°的斜面上(g＝10
m/s2)．求：
(1)小球在B点时的速度的大小；
(2)小球在C点时的速度的大小；
(3)小球由B到C的过程中克服摩擦力做的功；
(4)D点距地面的高度．
(3)由B到C的过程，由动能定理得
－mg·2R－Wf＝mv－mv(2分)
解得克服摩擦力做的功Wf＝12
J．(1分)
(4)设小球从C点到打在斜面上经历的时间为t，D点距地面的高度为h，则在竖直方向上有2R－h＝gt2(2分)
由小球垂直打在斜面上可知＝tan
45°(1分)
联立解得h＝0.2
m．(1分)
答案：(1)10
m/s　(2)6
m/s　(3)12
J　(4)0.2
m
18．如图所示，从A点以v0＝4
m/s的水平速度抛出一质量m＝1
kg的小物块(可视为质点)，当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入光滑圆弧轨道BC，经圆弧轨道后滑上与C点等高、静止在粗糙水平面的长木板上，圆弧轨道C端切线水平，已知长木板的质量M＝4
kg，A、B两点距C点的高度分别为H＝0.6
m、h＝0.15
m，R＝0.75
m，物块与长木板之间的动摩擦因数μ1＝0.5，长木板与地面间的动摩擦因数μ2＝0.2，g取10
m/s2.求：
(1)小物块运动至B点时的速度大小和方向；
(2)小物块滑动至C点时，对圆弧轨道C点的压力；
(3)长木板至少为多长，才能保证小物块不滑出长木板．
(2)从A至C点，由动能定理mgH＝mv－mv(2分)
设C点受到的支持力为FN，则有FN－mg＝m(2分)
由上式可得v2＝2
m/s，FN＝47.3
N(1分)
根据牛顿第三定律可知，物块m对圆弧轨道C点的压力大小为47.3
N，方向竖直向下．(1分)
(3)由题意可知小物块m对长木板的摩擦力
Ff＝μ1mg＝5
N(1分)
长木板与地面间的最大静摩擦力不小于滑动摩擦力
Ff′＝μ2(M＋m)g＝10
N(1分)
因Ff＜Ff′，所以小物块在长木板上滑动时，长木板静止不动．(1分)
小物块在长木板上做匀减速运动，至长木板右端时速度刚好为0，才能保证小物块不滑出长木板．(1分)
则长木板长度至少为l＝＝2.8
m．(2分)
答案：(1)5
m/s　方向与水平方向的夹角为37°斜向下　(2)47.3
N　方向竖直向下　(3)2.8
m.