1.2 角的概念的推广 课件3
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课件42张PPT。三角函数第一章1.2 角的概念的推广第一章在花样滑冰比赛中，运动员的动作是那么优美！尤其是原地转身和空中翻转动作都让我们叹为观止．运动员在原地转身的动作中，仅仅几秒内就能旋转十几圈，甚至二十几圈，因此，花样滑冰美丽而危险．你能算出他们在一次原地转身的动作中转过的角度吗？1.角的概念
角可以看成平面内__________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
(1)正角：按照________方向旋转形成的角．
(2)负角：按照________方向旋转形成的角．
(3)零角：一条射线从起始位置OA_____________，终止位置OB与起始位置OA重合，称它形成了一个零度角，又称零角.一条射线 端点 旋转 逆时针 顺时针 没作任何旋转3．象限角、坐标轴上的角
使角的顶点与_____重合，角的始边与______________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．
4．终边相同角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：____________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的____倍的和．原点 x轴的非负半轴 S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数1.下列说法错误的是( )
A．按逆时针方向旋转所成的角是正角
B．按顺时针方向旋转所成的角是负角
C．没有作任何旋转所成的角是零角
D．终边和始边相同的角是零角
[答案] D
[解析] 选项A、B、C分别是正角、负角、零角的概念，若射线旋转后，终边与始边重合所形成的角不是零角．
2．－3290°角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
[答案] D
[解析] －3290°＝－10×360°＋310°，是第四象限的角．
3．给出下列四种说法，其中正确的有( )
①－75°是第四象限角； ②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角； ④－315°是第一象限角．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] ∵－90°<－75°<0°，180°<225°<270°，360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°，
∴①②③④都是正确的．故选D.
4．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角有____________．
[答案] －160°，200°
[解析] 因为2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个．
5．若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了________度，分针转了________度．
[答案] 5 60角的有关概念与表示
[思路分析] 从角的概念入手．“第一象限角”是终边落在第一象限内的角，有正角，也有负角；“锐角”只是大于0°而小于90°的角；“小于90°的角”除了锐角外，还有零角和所有负角．
[答案] D
[规范解答] M＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，
N＝{θ|0°<θ<90°}，P＝{θ|θ<90°)，故选D.
[规律总结] (1)要区分清易混的概念．如锐角一定是第一象限的角，而第一象限角不全是锐角；(2)小于90°的角是{θ|θ<90°}，显然包括锐角、零角、负角．写出下图中的角α，β，γ的度数．
[解析] 要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小．由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.[思路分析] ①若β与α的终边相同，则β＝k·360°＋α.
②0°～360°的角α指α∈[0°，360°)．
终边相同的角
[规范解答] (1)－120°＝240°－360°，所以在0°到360°之间，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限角．
(2)640°＝280°＋360°，所以在0°到360°之间与640°角终边相同的角是280°角．因为280°是第四象限角，所以640°是第四象限角．
(3)－1910°＝250°－6×360°，所以与－1910°角终边相同的角是250°角，它是第三象限角．
[规律总结] (1)终边相同的角的集合，通常表示为k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．
(2)求符合某条件且与已知角终边相同的角，先写出与已知角终边相同的角的一般式，即所求角的通解，再依条件讨论k(即求特解)．写出终边落在y＝x上的角的集合．
[解析] 在0°～360°范围内，终边落在y＝x上的角有两个，即45°角与225°角(如图)．
因此，所有与45°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝45°＋k1×360°，k1∈Z}；
而所有与225°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝225°＋k2×360°，k2∈Z}；
于是，终边落在y＝x上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝45°＋k1×360°，k1∈Z}∪{β|β＝225°＋k2×360°，k2∈Z}＝{β|β＝45°＋k×180°，k∈Z}．[思路分析] 观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．区域角及其求法
[规范解答] (1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角，与l2终边相同的角有310°角．
∴图①阴影部分中角的集合为
S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}． (2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．
第三象限内阴影部分中角的集合为
S2＝{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}．
∴所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2
＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．
(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有－30°角，与l1终边相同的角有30°角．
∴图③阴影部分中角的集合为
S＝{α|－30°＋k×360°<α<30°＋k×360°，k∈Z}．
[规律总结] 数形结合是表示区域角的一种重要方法：首先应按逆时针方向由小到大找出一个代表区间角，再在两端加上k×360°(k∈Z)；若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k×360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由图可知，阴影部分是由介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k×360°≤α≤135°＋k×360°，k∈Z}．判断角的终边所在的位置
[规律总结] (1)解决此类问题，需熟练掌握各象限角的表示方法．
(2)注意分类讨论思想的应用，讨论依据是：相差360°的整数倍的角的终边相同．[错解] 因为α与x＋45°有相同的终边，
所以α＝k·360°＋x＋45°，k∈Z.
又因为角β与x－45°有相同的终边，
所以β＝k·360°＋x－45°，k∈Z，所以α－β＝90°.
[辨析] 错误的原因是误认为α＝k·360°＋x＋45°，k∈Z与β＝k·360°＋x－45°，k∈Z中的k取值完全相同．
[正解] 因为α与x＋45°有相同的终边，
所以α＝k1·360°＋x＋45°，k1∈Z. ①
又β与x－45°有相同的终边，
所以β＝k2·360°＋x－45°，k2∈Z. ②
由①②可知α－β＝(k1－k2)·360°＋90°，(k1－k2)∈Z，
即α－β＝k·360°＋90°，k∈Z.
[规律总结] 与α的终边相同的角的一般形式为β＝α＋k·360°，k∈Z，应清楚以下几点：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍．
角可以看成平面内__________绕着________从一个位置________到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类
按旋转方向可将角分为如下三类：
(1)正角：按照________方向旋转形成的角．
(2)负角：按照________方向旋转形成的角．
(3)零角：一条射线从起始位置OA_____________，终止位置OB与起始位置OA重合，称它形成了一个零度角，又称零角.一条射线 端点 旋转 逆时针 顺时针 没作任何旋转3．象限角、坐标轴上的角
使角的顶点与_____重合，角的始边与______________重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．
特别地，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限．
4．终边相同角的表示
一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：____________________________，即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的____倍的和．原点 x轴的非负半轴 S＝{β|β＝α＋k×360°，k∈Z} 整数1.下列说法错误的是( )
A．按逆时针方向旋转所成的角是正角
B．按顺时针方向旋转所成的角是负角
C．没有作任何旋转所成的角是零角
D．终边和始边相同的角是零角
[答案] D
[解析] 选项A、B、C分别是正角、负角、零角的概念，若射线旋转后，终边与始边重合所形成的角不是零角．
2．－3290°角是( )
A．第一象限的角 B．第二象限的角
C．第三象限的角 D．第四象限的角
[答案] D
[解析] －3290°＝－10×360°＋310°，是第四象限的角．
3．给出下列四种说法，其中正确的有( )
①－75°是第四象限角； ②225°是第三象限角；
③475°是第二象限角； ④－315°是第一象限角．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
[答案] D
[解析] ∵－90°<－75°<0°，180°<225°<270°，360°＋90°<475°<360°＋180°，－360°<－315°<－270°，
∴①②③④都是正确的．故选D.
4．在－180°～360°范围内，与2000°角终边相同的角有____________．
[答案] －160°，200°
[解析] 因为2000°＝200°＋5×360°，2000°＝－160°＋6×360°，所以在－180°～360°范围内与2000°角终边相同的角有－160°，200°两个．
5．若将钟表拨慢了10分钟，则时针转了________度，分针转了________度．
[答案] 5 60角的有关概念与表示
[思路分析] 从角的概念入手．“第一象限角”是终边落在第一象限内的角，有正角，也有负角；“锐角”只是大于0°而小于90°的角；“小于90°的角”除了锐角外，还有零角和所有负角．
[答案] D
[规范解答] M＝{θ|k·360°<θ<90°＋k·360°，k∈Z}，
N＝{θ|0°<θ<90°}，P＝{θ|θ<90°)，故选D.
[规律总结] (1)要区分清易混的概念．如锐角一定是第一象限的角，而第一象限角不全是锐角；(2)小于90°的角是{θ|θ<90°}，显然包括锐角、零角、负角．写出下图中的角α，β，γ的度数．
[解析] 要正确识图，确定好旋转的方向和旋转的大小．由角的概念可知α＝330°，β＝－150°，γ＝570°.[思路分析] ①若β与α的终边相同，则β＝k·360°＋α.
②0°～360°的角α指α∈[0°，360°)．
终边相同的角
[规范解答] (1)－120°＝240°－360°，所以在0°到360°之间，与－120°终边相同的角是240°角，它是第三象限角．
(2)640°＝280°＋360°，所以在0°到360°之间与640°角终边相同的角是280°角．因为280°是第四象限角，所以640°是第四象限角．
(3)－1910°＝250°－6×360°，所以与－1910°角终边相同的角是250°角，它是第三象限角．
[规律总结] (1)终边相同的角的集合，通常表示为k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式．
(2)求符合某条件且与已知角终边相同的角，先写出与已知角终边相同的角的一般式，即所求角的通解，再依条件讨论k(即求特解)．写出终边落在y＝x上的角的集合．
[解析] 在0°～360°范围内，终边落在y＝x上的角有两个，即45°角与225°角(如图)．
因此，所有与45°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝45°＋k1×360°，k1∈Z}；
而所有与225°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝225°＋k2×360°，k2∈Z}；
于是，终边落在y＝x上的角的集合S＝S1∪S2＝{β|β＝45°＋k1×360°，k1∈Z}∪{β|β＝225°＋k2×360°，k2∈Z}＝{β|β＝45°＋k×180°，k∈Z}．[思路分析] 观察图形，找出边界上的角，用不等式形式表示出阴影部分内的角的集合．区域角及其求法
[规范解答] (1)由图①可知，按逆时针方向旋转，应由l1旋转至l2，与l1终边相同的角有60°角，与l2终边相同的角有310°角．
∴图①阴影部分中角的集合为
S＝{α|60°＋k×360°≤α≤310°＋k×360°，k∈Z}． (2)由图②知，第一象限内阴影部分中角的集合为S1＝{α|45°＋k×360°≤α≤90°＋k×360°，k∈Z}．
第三象限内阴影部分中角的集合为
S2＝{α|225°＋k×360°≤α≤270°＋k×360°，k∈Z}．
∴所求阴影部分中角的集合为S＝S1∪S2
＝{α|45°＋2k×180°≤α≤90°＋2k×180°，k∈Z}∪{α|45°＋(2k＋1)×180°≤α≤90°＋(2k＋1)×180°，k∈Z}＝{α|45°＋n×180°≤α≤90°＋n×180°，n∈Z}．
(3)由图③知，逆时针方向旋转，应由l2旋转至l1，与l2终边相同的角有－30°角，与l1终边相同的角有30°角．
∴图③阴影部分中角的集合为
S＝{α|－30°＋k×360°<α<30°＋k×360°，k∈Z}．
[规律总结] 数形结合是表示区域角的一种重要方法：首先应按逆时针方向由小到大找出一个代表区间角，再在两端加上k×360°(k∈Z)；若是对顶区域，如图②可用一个表达式表示：先在一个阴影中找出区间角[45°，90°]，然后再在两边加上n×180°(n∈Z)即可；若区域包括了x轴非负半轴，则可由负角到正角，如图③，两边再加上k×360°(k∈Z)．如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
[解析] (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k×360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k×360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k×360°，k∈Z}．
(2)由图可知，阴影部分是由介于[－30°，135°]之间的所有与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k×360°≤α≤135°＋k×360°，k∈Z}．判断角的终边所在的位置
[规律总结] (1)解决此类问题，需熟练掌握各象限角的表示方法．
(2)注意分类讨论思想的应用，讨论依据是：相差360°的整数倍的角的终边相同．[错解] 因为α与x＋45°有相同的终边，
所以α＝k·360°＋x＋45°，k∈Z.
又因为角β与x－45°有相同的终边，
所以β＝k·360°＋x－45°，k∈Z，所以α－β＝90°.
[辨析] 错误的原因是误认为α＝k·360°＋x＋45°，k∈Z与β＝k·360°＋x－45°，k∈Z中的k取值完全相同．
[正解] 因为α与x＋45°有相同的终边，
所以α＝k1·360°＋x＋45°，k1∈Z. ①
又β与x－45°有相同的终边，
所以β＝k2·360°＋x－45°，k2∈Z. ②
由①②可知α－β＝(k1－k2)·360°＋90°，(k1－k2)∈Z，
即α－β＝k·360°＋90°，k∈Z.
[规律总结] 与α的终边相同的角的一般形式为β＝α＋k·360°，k∈Z，应清楚以下几点：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍．