1.2 角的概念的推广 课件4
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课件33张PPT。1.2 角的概念的推广1.在初中角是如何定义的？定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫作角.顶点边边定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫作角.ABO顶点始边 终边2.角是如何度量的?角的单位是度.规定:周角的 为1度的角.3.我们学过哪些角?它们的大小是多少?锐角:大于0度小于90度 直角：等于90度
钝角:大于90度小于180度 平角：等于180度
周角：等于360度 我们以前所学过的角都是大于0度，小于或等于360度的角.生活中很多实例不在0°～360°范围内.像体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1 080o.本节课我们进一步研究更广泛的角.地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？角这就是这节课我们所要学习的内容——角1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点)
2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角的概念.（重点）
3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
（难点）探究点1 任意角的概念思考1：下面的角度如何表示？（１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.顺时针旋转30度逆时针旋转900度提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负来表示.思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否也可以推广? 逆时针 顺时针任意角定义：正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合任意角记法：角 或 ,可简记为 . 注意角的旋转方向和旋转量.说明：1.角的正负由旋转方向决定.2.角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数及终边位置决定.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.x思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限探究点2 象限角象限角
1.角的顶点与原点重合;
2.角的始边重合于x轴的非负半轴;
则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第几象限角. Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ提示：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.象限角的图形表示ⅠⅡⅢⅣ思考2：如图所示的角α、角β是第几象限角？怎样判断一个角是第几象限角？提示：角α是第一象限角，角β是第三象限角.判断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说该角是第几象限角.坐标轴上的角如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：角的终边落在x轴或y轴上.坐标轴上的角第三象限角第四象限角第三象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角第一象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角按终边的位置分类第二象限角1.锐角是第几象限的角？2.第一象限的角是否都是锐角？3.小于90°的角都是锐角吗？答：锐角是第一象限的角.答：第一象限的角并不都是锐角.答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角.想一想思考1：在坐标轴上画出30°,390°,-330°, 它们有什么共同点和内在联系？
提示：终边相同，且
30°=30°+ 0×360°xyO30°390°-330°390°=30°+360°-330°=30°-360°=30°+1×360° =30°-1×360°探究点3 终边相同的角390°,-330°两个角都可以表示成30°角与k个周角的和,其中k为整数.提示：集合思考2：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ 提醒：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然都与30°角终边相同.终边相同的角的表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：
S= _________________________.
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.{β|β=α+k×360°,k∈Z}注意: (1)k∈Z.(2)α是任意角.(3)k×360°与α 之间是“+”号， 如k×360°-30°,应看成k×360°+（-30°）.(4)k的两层含义：
①特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角；
②一般性：表示了所有与终边α重合的角的集合.(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.例1 判定下列各角是第几象限角：（1）-60°. （2）606°. （3） -950°12'.解:（1）因为-60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角. （2）因为606°=360°+246°,
所以606°与246°角的终边重合，而246°的终边在第三象限，所以606°是第三象限角.（3）因为-950°12' = （-2）×360°-230°12',
而-230°12'的终边在第二象限，所以-950°12 '是第二象限角. 方法总结:判断一个角所在象限或不同角之间的终边关系，只要把它们化为 β + k·360°,k∈Z，（0°≤ β ＜360°），然后只要考查β 的相关问题即可.例2 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°～360°的角表示).
解: 在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1=
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2=
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2=={β| β=90°+k×180°,k∈Z}.{β| β=270°+k×360°,k∈Z}∪解：S =｛β 丨 β=k×360°+60°,k∈Z｝.
S 中适合-360°≤ β ＜720°的元素是:
60°-1×360° =-300°,
60°+0×360°=60°,
60°+1×360°=420°.例3 写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤ β ＜720° 的元素β 写出来.1.已知下列各角：①-120°；②-240°；③180°；
④495°，其中是第二象限角的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
2.若β是第四象限角，则180°-β是第____象限角.D三3.与600°角终边相同的角可表示为( )
A.k·360°＋220°(k∈Z)
B.k·360°＋240°(k∈Z)
C.k·360°＋60°(k∈Z)
D.k·360°＋260°(k∈Z)B4.在0°～360°范围内,找出与-990°15′角终边相同的角,并判定它是第几象限角. 解 : 因为-990°15′= 89°45′-3×360°,所以在0°～360°范围内, 与-990°15′角终边相同的角是89°45′, 它是第一象限角.5.写出终边落在x轴上的角的集合.解：在0°～360°范围内,终边在x轴上的角有两个0°,180°.S1={β| β=k×360°, k∈Z };与180°角终边相同的角构成的集合S2={β| β=180°+k×360°,k∈Z }={β| β=180°+2k×180°,k∈Z }.与0°角终边相同的角构成的集合S=S1∪S2={β|β=k×180°, k∈Z }.回顾本节课的收获1.理解角的概念推广的必要性.
2.理解任意角和象限角的概念.
3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.不登高山，不知天之高也；不临深谷，不知地之厚也；不闻先王之遗言，不知学问之大也.
——荀况
钝角:大于90度小于180度 平角：等于180度
周角：等于360度 我们以前所学过的角都是大于0度，小于或等于360度的角.生活中很多实例不在0°～360°范围内.像体操运动员转体720o，跳水运动员向内、向外转体1 080o.本节课我们进一步研究更广泛的角.地球绕太阳旋转，角的范围如何来表示？角这就是这节课我们所要学习的内容——角1.通过实例深刻理解推广后角的概念.(重点)
2.理解正角、负角和零角的定义及任意角、象限角的概念.（重点）
3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.
（难点）探究点1 任意角的概念思考1：下面的角度如何表示？（１）你的手表慢了５分钟，想将它校准，分针应该旋转多少度？（２）假如你的手表快了2.5小时，想将它校准，分针应该旋转多少度？注意：旋转方向和旋转量确定了校准手表的方式.顺时针旋转30度逆时针旋转900度提示：类比正负数可表示具有相反意义的量，对于旋转方向不同的角，我们猜想：也可以用正负来表示.思考2：类比数系的扩充，思考角的概念是否也可以推广? 逆时针 顺时针任意角定义：正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：一条射线从起始位置OA没有作任何旋转，终止位置OB与起始位置OA重合任意角记法：角 或 ,可简记为 . 注意角的旋转方向和旋转量.说明：1.角的正负由旋转方向决定.2.角可以任意大小，其数值的大小由旋转次数及终边位置决定.这样，我们就把角的概念推广到了任意角.x思考1：为了进一步研究角的需要，我们常在直角坐标系内讨论角，并使角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合，那么对一个任意角，角的终边可能落在哪些位置？
提示：如图，可以是坐标轴、
第一象限、第二象限、
第三象限、第四象限探究点2 象限角象限角
1.角的顶点与原点重合;
2.角的始边重合于x轴的非负半轴;
则角的终边（除端点外）在第几象限，就是第几象限角. Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ提示：象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.象限角的图形表示ⅠⅡⅢⅣ思考2：如图所示的角α、角β是第几象限角？怎样判断一个角是第几象限角？提示：角α是第一象限角，角β是第三象限角.判断方法是将角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就说该角是第几象限角.坐标轴上的角如果角的终边落在了坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.例如：角的终边落在x轴或y轴上.坐标轴上的角第三象限角第四象限角第三象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角第一象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角象限角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角角坐标轴上的角坐标轴上的角坐标轴上的角按终边的位置分类第二象限角1.锐角是第几象限的角？2.第一象限的角是否都是锐角？3.小于90°的角都是锐角吗？答：锐角是第一象限的角.答：第一象限的角并不都是锐角.答：小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零角或负角.想一想思考1：在坐标轴上画出30°,390°,-330°, 它们有什么共同点和内在联系？
提示：终边相同，且
30°=30°+ 0×360°xyO30°390°-330°390°=30°+360°-330°=30°-360°=30°+1×360° =30°-1×360°探究点3 终边相同的角390°,-330°两个角都可以表示成30°角与k个周角的和,其中k为整数.提示：集合思考2：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，可构成一个集合S，你能用描述法表示集合S吗？ 提醒：所有与30°角终边相同的角，连同30°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素显然都与30°角终边相同.终边相同的角的表示
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：
S= _________________________.
即任何一个与角α终边相同的角，都可以表示成角α与周角的整数倍的和.{β|β=α+k×360°,k∈Z}注意: (1)k∈Z.(2)α是任意角.(3)k×360°与α 之间是“+”号， 如k×360°-30°,应看成k×360°+（-30°）.(4)k的两层含义：
①特殊性：每对k赋一个值可得一个具体角；
②一般性：表示了所有与终边α重合的角的集合.(5)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍.例1 判定下列各角是第几象限角：（1）-60°. （2）606°. （3） -950°12'.解:（1）因为-60°角的终边在第四象限，所以它是第四象限角. （2）因为606°=360°+246°,
所以606°与246°角的终边重合，而246°的终边在第三象限，所以606°是第三象限角.（3）因为-950°12' = （-2）×360°-230°12',
而-230°12'的终边在第二象限，所以-950°12 '是第二象限角. 方法总结:判断一个角所在象限或不同角之间的终边关系，只要把它们化为 β + k·360°,k∈Z，（0°≤ β ＜360°），然后只要考查β 的相关问题即可.例2 在直角坐标系中，写出终边在y轴上的角的集合（用0°～360°的角表示).
解: 在0°～360°范围内，终边在y轴上的角有两个，即90°与270°角（如图）.因此，所有与90°角终边相同的角构成集合S1=
而所有与270°角终边相同的角构成集合
S2=
于是，终边在y轴上的角的集合
S=S1∪S2=={β| β=90°+k×180°,k∈Z}.{β| β=270°+k×360°,k∈Z}∪解：S =｛β 丨 β=k×360°+60°,k∈Z｝.
S 中适合-360°≤ β ＜720°的元素是:
60°-1×360° =-300°,
60°+0×360°=60°,
60°+1×360°=420°.例3 写出与60°角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤ β ＜720° 的元素β 写出来.1.已知下列各角：①-120°；②-240°；③180°；
④495°，其中是第二象限角的是( )
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
2.若β是第四象限角，则180°-β是第____象限角.D三3.与600°角终边相同的角可表示为( )
A.k·360°＋220°(k∈Z)
B.k·360°＋240°(k∈Z)
C.k·360°＋60°(k∈Z)
D.k·360°＋260°(k∈Z)B4.在0°～360°范围内,找出与-990°15′角终边相同的角,并判定它是第几象限角. 解 : 因为-990°15′= 89°45′-3×360°,所以在0°～360°范围内, 与-990°15′角终边相同的角是89°45′, 它是第一象限角.5.写出终边落在x轴上的角的集合.解：在0°～360°范围内,终边在x轴上的角有两个0°,180°.S1={β| β=k×360°, k∈Z };与180°角终边相同的角构成的集合S2={β| β=180°+k×360°,k∈Z }={β| β=180°+2k×180°,k∈Z }.与0°角终边相同的角构成的集合S=S1∪S2={β|β=k×180°, k∈Z }.回顾本节课的收获1.理解角的概念推广的必要性.
2.理解任意角和象限角的概念.
3.掌握所有与角α终边相同的角的表示方法.不登高山，不知天之高也；不临深谷，不知地之厚也；不闻先王之遗言，不知学问之大也.
——荀况