1.4.1-1.4.2 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 课件3
文档属性
| 名称 | 1.4.1-1.4.2 任意角的正弦函数、余弦函数的定义 课件3 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.4MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-27 09:59:25 | ||
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文档简介
课件37张PPT。三角函数第一章4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式第一章1.4.1-1.4.2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义1.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
(1)单位圆
在直角坐标系中，以_______为圆心，以__________为半径的圆，称为单位圆．
(2)任意角的正弦、余弦函数的定义
定义1：如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的__________v叫作角α的正弦函数，记作__________；点P的__________u叫作角α的余弦函数，记作__________．原点 单位长 纵坐标 v＝sinα 横坐标 u＝cosα 通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角形y＝sinx和y＝cosx，它们的定义域为__________，值域为__________．全体实数 [－1,1] (3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号＋ ＋ － － ＋ － － ＋ 2.单位圆与周期性
(1)终边相同的角的正、余弦函数值__________
sin(2kπ＋x)＝__________，k∈Z.
cos(2kπ＋x)＝__________，k∈Z.
(2)周期函数与周期
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有______________，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的__________．相等 sinx cosx f(x＋T)＝f(x) 周期 [答案] B[答案] D
3．已知θ是第四象限角，则( )
A．sinθ>0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0
C．sinθ<0，cosθ>0 D．sinθ<0，cosθ<0
[答案] C
[解析] 因为θ为第四象限角，根据各象限角的三角函数定义可知sinθ<0，cosθ>0.
4．5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°＝__________.
[答案] －2
[解析] ∵sin90°＝1，sin0°＝0，
sin270°＝－1，cos180°＝－1，
∴原式＝5×1＋2×0－3×(－1)＋10×(－1)＝－2.
5．已知函数f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝__________.
[答案] 1
[解析] f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.[思路分析] 角θ的终边可能在第三象限或第四象限，分两种情况讨论．三角函数的定义
[规律总结] (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出或含有绝对值时，要根据问题及解题的需要对参数进行分类讨论．
(2)求任意角的三角函数，有时需要确定角所在的象限，相应地以此来确定三角函数的符号，这是容易出现错误的地方．已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sinα，cosα的值；
(2)求α的终边与单位圆交点Q的坐标．[思路分析] 确定4rad,8rad所在象限，则符号易定．正弦、余弦函数值符号的确定
[规律总结] 对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结果．其中，正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象限也很重要．
(2)∵－925°＝－3×360°＋155°，
∴－925°是第二象限角．
∴cos(－925°)<0.
(3)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin340°<0，cos265°<0，∴sin340°·cos265°>0.[思路分析] 先利用终边相同的角的公式转化，然后求值．利用终边相同的角的公式化简、求值 [规律总结] 解答此类题目的方式是先把已知角借助于终边相同的角化归到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值；在问题的解答过程中重在体现数学上的化归(转化)思想．[思路分析] 只需找出一个常数T(T≠0)，满足f(x＋T)＝f(x)即可．
[证明] ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期．周期函数的理解与应用
[规律总结] (1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说T是f(x)的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如f(2x＋T)＝f(x)的周期，不能说T是f(x)的周期．已知函数f(x)是以2为周期的奇函数，f(1)＝3，
求f(－7)的值．
[解析] 由题意知f(－7)＝－f(7)，
∵f(7)＝f(3×2＋1)＝f(1)＝3，∴f(－7)＝－3.[辨析] 错解一是对sinα＝y，cosα＝x的理解有误，定义中的(x，y)是α终边与单位圆的交点坐标，不是任意点．
错解二只考虑了y＝－3x(x>0)的情况，没考虑y＝－3x(x<0)的情况．
(1)单位圆
在直角坐标系中，以_______为圆心，以__________为半径的圆，称为单位圆．
(2)任意角的正弦、余弦函数的定义
定义1：如图所示，在直角坐标系中，给定单位圆对于任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(u，v)，那么点P的__________v叫作角α的正弦函数，记作__________；点P的__________u叫作角α的余弦函数，记作__________．原点 单位长 纵坐标 v＝sinα 横坐标 u＝cosα 通常，我们用x表示自变量，即x表示角的大小，用y表示函数值，这样我们就定义了任意角的三角形y＝sinx和y＝cosx，它们的定义域为__________，值域为__________．全体实数 [－1,1] (3)正弦函数、余弦函数在各象限的符号＋ ＋ － － ＋ － － ＋ 2.单位圆与周期性
(1)终边相同的角的正、余弦函数值__________
sin(2kπ＋x)＝__________，k∈Z.
cos(2kπ＋x)＝__________，k∈Z.
(2)周期函数与周期
一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T，对定义域内的任意一个x值，都有______________，我们就把f(x)称为周期函数，T称为这个函数的__________．相等 sinx cosx f(x＋T)＝f(x) 周期 [答案] B[答案] D
3．已知θ是第四象限角，则( )
A．sinθ>0，cosθ>0 B．sinθ>0，cosθ<0
C．sinθ<0，cosθ>0 D．sinθ<0，cosθ<0
[答案] C
[解析] 因为θ为第四象限角，根据各象限角的三角函数定义可知sinθ<0，cosθ>0.
4．5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°＝__________.
[答案] －2
[解析] ∵sin90°＝1，sin0°＝0，
sin270°＝－1，cos180°＝－1，
∴原式＝5×1＋2×0－3×(－1)＋10×(－1)＝－2.
5．已知函数f(x)是周期函数，周期T＝6，f(2)＝1，则f(14)＝__________.
[答案] 1
[解析] f(14)＝f(2×6＋2)＝f(2)＝1.[思路分析] 角θ的终边可能在第三象限或第四象限，分两种情况讨论．三角函数的定义
[规律总结] (1)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出或含有绝对值时，要根据问题及解题的需要对参数进行分类讨论．
(2)求任意角的三角函数，有时需要确定角所在的象限，相应地以此来确定三角函数的符号，这是容易出现错误的地方．已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)．
(1)求sinα，cosα的值；
(2)求α的终边与单位圆交点Q的坐标．[思路分析] 确定4rad,8rad所在象限，则符号易定．正弦、余弦函数值符号的确定
[规律总结] 对于此类判断含三角函数的代数式的符号问题，关键是要搞清楚三角函数中所含的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定函数值的正负，进而得到结果．其中，正弦、余弦函数周期的运用对判断角所在的象限也很重要．
(2)∵－925°＝－3×360°＋155°，
∴－925°是第二象限角．
∴cos(－925°)<0.
(3)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，
∴sin340°<0，cos265°<0，∴sin340°·cos265°>0.[思路分析] 先利用终边相同的角的公式转化，然后求值．利用终边相同的角的公式化简、求值 [规律总结] 解答此类题目的方式是先把已知角借助于终边相同的角化归到[0,2π)之间，然后利用公式化简求值；在问题的解答过程中重在体现数学上的化归(转化)思想．[思路分析] 只需找出一个常数T(T≠0)，满足f(x＋T)＝f(x)即可．
[证明] ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝－[－f(x)]＝f(x)，
∴f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期．周期函数的理解与应用
[规律总结] (1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说T是f(x)的周期．
(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如f(2x＋T)＝f(x)的周期，不能说T是f(x)的周期．已知函数f(x)是以2为周期的奇函数，f(1)＝3，
求f(－7)的值．
[解析] 由题意知f(－7)＝－f(7)，
∵f(7)＝f(3×2＋1)＝f(1)＝3，∴f(－7)＝－3.[辨析] 错解一是对sinα＝y，cosα＝x的理解有误，定义中的(x，y)是α终边与单位圆的交点坐标，不是任意点．
错解二只考虑了y＝－3x(x>0)的情况，没考虑y＝－3x(x<0)的情况．