1.6 余弦函数的图像与性质 课件3

课件36张PPT。三角函数第一章第一章1.6.1-1.6.2 余弦函数的图像与性质现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象，这种变化规律称为周期性．例如：地球自转引起的昼夜交替变化和公转引起的四季交替变化；月亮圆缺变化的周期性，即朔——上弦——望——下弦——朔；潮汐变化的周期性，即海水在月球引力作用下发生的周期性涨落现象；物体做匀速圆周运动时位置变化的周期性；做简谐运动的物体的位移变化的周期性；交变电流变化的周期性．如何用数学的方法来刻画这种变化规律呢？余弦曲线 (3)用五点法作余弦函数的图像，余弦曲线上有五个点起关键作用，这五个点是__________、__________、__________、__________、__________.(0,1) (π，－1) (2π，1) [答案]　B
[解析]　函数y＝1－cosx是偶函数，其图像关于y轴对称．
2．函数f(x)＝－cosx，x∈R是(　　)
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为2π的偶函数
D．最小正周期为2π的奇函数
[答案]　C
[解析]　最小正周期为2π，f(－x)＝－cos(－x)＝－cosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数．[答案]　D[思路分析]　运用“五点法”作图，正确找出五个点是作图的关键．用“五点法”作图
[规律总结]　“五点法”画函数图像是一项重要的基本技能，必须熟练掌握，复杂函数的图像可以化归为基本函数来画，也可借助于图像变换的方法，如平移、对称、翻折等，这些将在后文中讲到．用五点法作出函数y＝3＋2cosx在一个周期内的图像．描点得y＝3＋2cosx在一个周期内的图像(如图所示)：[思路分析]　对(1)可利用余弦函数本身的范围及一次函数的单调性求解，对(2)可考虑利用二次函数的单调性求解．求函数的值域(最值)
[规范解答]　(1)∵－1≤cosx≤1，
又∵一次函数y＝－3m＋1在m∈R上是单调减函数，
∴当cosx＝－1时，ymax＝4，
当cosx＝1时，ymin＝－2.
[规律总结]　形如y＝acos2x＋bcosx＋c(a≠0)的三角函数最值问题常利用二次函数的思想转化成在给定区间[m，n]上求二次函数最值的问题，解答时依然采用数形结合的思想加以分析，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”，或“轴定区间变”问题．[思路分析]　根据函数奇偶性的定义作出判断，注意诱导公式的应用．余弦函数的奇偶性
[规律总结]　有关函数奇偶性的结论：
(1)奇函数的图像关于原点成中心对称图形；
偶函数的图像关于y轴成轴对称图形．
(2)对于奇函数，当x＝0属于定义域时必有f(0)＝0.
对于偶函数，任意属于定义域的x都有f(|x|)＝f(x)．[答案]　C
[解析]　由题意知f(x)＝－4cos2x为偶函数，所以该函数的图像关于y轴对称．[思路分析]　根据y＝cosx的单调区间求．
[规范解答]　(1)画出函数y＝3cosx＋1的简图(略)，可知y＝3cosx＋1的单调区间与y＝cosx的单调区间相同，即单调递增区间为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，单调递减区间为[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z.函数的单调性
[规律总结]　求形如y＝cos(ωx＋φ)(ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法来解答．列不等式的原则是：把“ωx＋φ(ω>0)”看作一个整体，代入y＝cosx的单调区间的范围内，求出x的范围即为对应的单调区间．[分析]　利用诱导公式转化为单调区间[0，π]上来比较大小．[点评]　比较cosα与cosβ的大小时，可利用诱导公式化为[0，π]内的余弦函数值来进行．[错解]　A或C或D[辨析]　正弦函数与余弦函数都是周期函数，最小正周期都是2π，因而左、右平移2π个单位长度图像都不变的也可能是余弦函数，因而B是错误的．
[正解]　B