2.5 从力做的功到向量的数量积 课件3
文档属性
| 名称 | 2.5 从力做的功到向量的数量积 课件3 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-27 11:02:21 | ||
图片预览
文档简介
课件48张PPT。平面向量第二章2.5 从力做的功到向量的数量积第二章水上飞机用绳索拉着人进行的水上运动，会让人感觉自己在水上漂动，异常轻松刺激．要用物理原理来分析的话，这说明飞机的拉力对人做了功．这种现象在现实生活中还有很多，在数学中两个向量也有类似的运算应用．那么它们遵循什么规律呢？请看本节学习的内容.夹角 0°≤θ≤180° θ＝0° θ＝180° θ＝90° 垂直 |a||b|cosθ a·b |a||b|cosθ |b|cosθ |a|cosθ 3．向量数量积的性质
由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质：
(1)若e是单位向量，则e·a＝________＝__________.
(2)若a⊥b，则__________；反之，若__________，则a⊥b.通常记作a⊥b?__________.
(3)|a|＝__________.
(4)cosθ＝__________(|a|·|b|≠0)．
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a|·|b|.
当且仅当_________时等号成立．a·e |a|cosθ a·b＝0 a·b＝0 a·b＝0 a∥b
4．向量数量积的运算律
给定向量a，b，c和实数λ，有以下结果：
a·b＝________；
(λa)·b＝__________＝__________；
a·(b＋c)＝__________.b·a λ(a·b) a·(λb) a·b＋a·c 1.已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
[答案] D
[解析] 由已知a＝－b，∴a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.[答案] C[答案] A4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝______.
[答案] 2[思路分析] 已知向量a，b的模及其夹角，求a·b及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．向量数量积的定义及几何意义(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；
(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b.[思路分析] 先由已知条件分析出a，b，c的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．平面向量数量积的运算
[规律总结] 向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a2＝|a|2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.已知|a|＝3，|b|＝4，θ＝120°(θ为a与b的夹角)，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(a＋b)·(a＋b)；(4)(a－2b)·(3a＋b)．
[分析] 将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b＝|a|·|b|cosθ求．[解析] (1)原式＝|a|·|b|·cosθ＝12×cos120°＝－6；
(2)原式＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝9－16＝－7；
(3)原式＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|·cosθ＝9＋16＋2×(－6)＝13.
(4)原式＝3a2－5a·b－2b2＝3|a|2－2|b|2－5·|a|·|b|·cosθ＝27－32－5×(－6)＝25.
[点评] (1)考查向量数量积定义；(2)相当于平方差公式；(3)相当于完全平方公式；(4)用到数量积的运算及数乘向量的运算．向量的夹角
[规律总结] 本题主要考查利用向量数量积求夹角的问题，求解时可直接利用向量数量积的性质求解，也可利用数形结合的方法，借助图形直接求得．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角θ的余弦值．
[解析] a·b＝2×1×cos60°＝1，
|m|2＝|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2
＝4×22＋4×1＋1＝21，
|n|2＝|a－4b|2＝|a|2－8a·b＋16|b|2
＝22－8×1＋16×1＝12，求向量的模[答案] B[思路分析] (1)将a＋tb的模表示为t的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b⊥(a＋tb)，只需证b·(a＋tb)＝0.用向量数量积解决垂直问题
[规律总结] 本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a＋tb的模的平方表示为t的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t的值；(2)中只需证出b·(a＋tb)＝0，求解时利用a与b共线且同向的条件，确定t的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为120°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[分析] 利用c⊥d?c·d＝0，构造关于k的方程组求解．
[辨析] 错误的原因在于认为a与b的夹角为∠C.其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．[规律总结] 在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．
由向量数量积的定义和几何意义，我们可得到如下性质：
(1)若e是单位向量，则e·a＝________＝__________.
(2)若a⊥b，则__________；反之，若__________，则a⊥b.通常记作a⊥b?__________.
(3)|a|＝__________.
(4)cosθ＝__________(|a|·|b|≠0)．
(5)对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a|·|b|.
当且仅当_________时等号成立．a·e |a|cosθ a·b＝0 a·b＝0 a·b＝0 a∥b
4．向量数量积的运算律
给定向量a，b，c和实数λ，有以下结果：
a·b＝________；
(λa)·b＝__________＝__________；
a·(b＋c)＝__________.b·a λ(a·b) a·(λb) a·b＋a·c 1.已知a与b是相反向量，且|a|＝2，则a·b＝( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
[答案] D
[解析] 由已知a＝－b，∴a·b＝a·(－a)＝－a2＝－|a|2＝－4.[答案] C[答案] A4．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝______.
[答案] 2[思路分析] 已知向量a，b的模及其夹角，求a·b及a在b上的射影，解答本题只需依据数量积的定义及其几何意义求解即可．向量数量积的定义及几何意义(1)在题设不变的情况下，求b在a上的射影；
(2)把“a与b的夹角θ＝120°”换成“a∥b”，求a·b.[思路分析] 先由已知条件分析出a，b，c的位置关系，找准它们之间的夹角，再用数量积的定义计算．也可用整体处理法解决．平面向量数量积的运算
[规律总结] 向量数量积的有关运算，要灵活利用运算律转化为求数量积及模的问题，注意下述结论：a2＝|a|2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.已知|a|＝3，|b|＝4，θ＝120°(θ为a与b的夹角)，试求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(a－b)；(3)(a＋b)·(a＋b)；(4)(a－2b)·(3a＋b)．
[分析] 将所给问题转化为数量积，并代入公式a·b＝|a|·|b|cosθ求．[解析] (1)原式＝|a|·|b|·cosθ＝12×cos120°＝－6；
(2)原式＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝9－16＝－7；
(3)原式＝a2＋2a·b＋b2＝|a|2＋|b|2＋2|a|·|b|·cosθ＝9＋16＋2×(－6)＝13.
(4)原式＝3a2－5a·b－2b2＝3|a|2－2|b|2－5·|a|·|b|·cosθ＝27－32－5×(－6)＝25.
[点评] (1)考查向量数量积定义；(2)相当于平方差公式；(3)相当于完全平方公式；(4)用到数量积的运算及数乘向量的运算．向量的夹角
[规律总结] 本题主要考查利用向量数量积求夹角的问题，求解时可直接利用向量数量积的性质求解，也可利用数形结合的方法，借助图形直接求得．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为60°，求向量m＝2a＋b与向量n＝a－4b的夹角θ的余弦值．
[解析] a·b＝2×1×cos60°＝1，
|m|2＝|2a＋b|2＝4|a|2＋4a·b＋|b|2
＝4×22＋4×1＋1＝21，
|n|2＝|a－4b|2＝|a|2－8a·b＋16|b|2
＝22－8×1＋16×1＝12，求向量的模[答案] B[思路分析] (1)将a＋tb的模表示为t的函数，问题转化为求函数的最值问题；(2) 要证b⊥(a＋tb)，只需证b·(a＋tb)＝0.用向量数量积解决垂直问题
[规律总结] 本题是一道平面向量与函数交汇的题，旨在考查平面向量的模、向量垂直及二次函数的最值等知识．(1)中求解时利用向量数量积的运算，将a＋tb的模的平方表示为t的二次函数，借助于二次函数有最小值时，求t的值；(2)中只需证出b·(a＋tb)＝0，求解时利用a与b共线且同向的条件，确定t的值．本题主要考查转化与化归的思想方法．已知|a|＝5，|b|＝4，且a与b的夹角为120°，则当k为何值时，向量ka－b与a＋2b垂直？
[分析] 利用c⊥d?c·d＝0，构造关于k的方程组求解．
[辨析] 错误的原因在于认为a与b的夹角为∠C.其实两向量的夹角应为平面上同一起点的两条有向线段所夹的角，夹角范围是[0°，180°]，故涉及向量夹角的问题时，一要弄清是哪个角，二要注意角的范围的限制．[规律总结] 在用向量求三角形内角或进行数量积运算时，特别注意三角形内角不一定是两向量夹角．