2.5 从力做的功到向量的数量积 课件4
文档属性
| 名称 | 2.5 从力做的功到向量的数量积 课件4 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 930.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-27 11:03:30 | ||
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文档简介
课件30张PPT。2.5 从力做的功到向量的数量积物理中我们学过功的概念，一个物体在力 的作用
下产生位移 （如图）θ力 所做的功W可用下式计算:
其中θ是 与 的夹角.当0°≤θ＜90°时，W＞0, 即力F做正功；
当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；
当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功.从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（重点）
2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用.（重点）
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（难点）两个非零向量 和 ，作 ， ，则
（ ）叫作向量 与 的夹角．思考1 如何定义向量的夹角？计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.探究点1 向量的数量积由于零向量的方向是任意的，为方便起见，
规定:零向量可与任一向量垂直. ，过点B 作BB1垂直于直线OA，垂足为
B1，则| | cosθ叫作向量 在 方向
上的射影(也叫投影)．当θ为锐角时，
| | cosθ_____0＞思考2 什么是向量的射影？B1OBA当θ=0°时，
| |cosθ=_____| |当θ为钝角时，
| | cosθ___0.当θ为直角时，
| |cosθ____0＜=OBA当θ=180°时，
| | cosθ=_____B1物理实例中，与位移 方向一致的分力 的长度为
︱ ︱cosθ，即是力 在 方向上的射影.θ-| |思考3 平面向量的数量积的定义如何？
已知两个向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把
| || |cosθ叫作 与 的数量积（或内积）.记作 ·
· =| || | cosθ注意：向量的数量积是一个数量.特别地:零向量与任一向量 的数量积为0.⑵ 已知 =(1,1), =(2,0), 与 的夹角θ= 45°.
求 · .例1 ⑴ 已知| |=3，| |=4，且 与 的夹角θ=150°，求 · .解： · =| || |cosθ=3×4×cos150°
=3×4×（- ）=－6解： | | = , | |=2, θ=45°,
所以 · =| || |cosθ= ×2×cos45°= 2.思考4 数量积的几何意义是什么？特别提醒：
1.
2.若 是单位向量,则重要性质：
1.若 是单位向量，则：
2.
3.
4.
5.
当且仅当 ∥ 时等号成立. 思考5 数量积的物理意义是什么？反之成立吗？解答：不成立.解答：成立.思考：探究点2 向量的数量积的运算律练习：判断下列说法的正误√×××××√3．若 ≠ ， · =0，则 = 2．若 ≠ ，则对任一非零向量 ,有 · ≠0．1．若 = ，则对任一向量 ，有 · = 0 ．4．若 · =0，则 , 中至少有一个为 ．5．若 ≠ ， · = · ，则 = 6．若 · = · ,且 ≠ ,当且仅当 = 时成立．7．对任意向量 有例2 在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：
a2=b2+c2–2 bccosA，
b2=c2+a2–2cacosB，
c2=a2+b2–2abcosC.证明：设 则同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.=b2+c2–2 bccosA......向量法证明几何问题的步骤：
1.将三角形的边用有向线段表示.
2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系.
3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于可得=0，
所以，即菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO..证明线段垂直的方法：
1.取两个不共线的向量作基底.
2.将要证明的向量用这两个向量表示.
3.利用 进行证明.【提升总结】例4 已知单位向量 , 的夹角为60°，求向量
, 的夹角.解：由单位向量 , 的夹角为60°，得又设 与 的夹角为 ， 由①②可得又 所以 .
即向量 与 的夹角为 .技巧点拨：
1.以 ， 为基底,计算 的值.
2.利用向量的夹角公式计算. 1.判断下列说法的正误:
（1）平面向量的数量积可以比较大小. ( )
（2） ( )
（3）已知 为非零向量,因为0× = ， · = 0,
所以 = ( )
(4) ( )√×××2.△ABC中， 则该三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】由 知∠ABC为锐角；
由 知,∠ACB为钝角.C3.在△ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，
则_______.-16 -24.若|a|=1,|b|=2，且a，b反向，则a·b=_______.解：本节课主要学习了：
1.向量的夹角.
2.向量的射影.
3.向量的数量积.
4.向量的数量积的几何意义和物理意义.
5.向量的数量积的性质和运算律.不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的.
——贝尔奈
下产生位移 （如图）θ力 所做的功W可用下式计算:
其中θ是 与 的夹角.当0°≤θ＜90°时，W＞0, 即力F做正功；
当θ＝90°时，W＝0，即力F不做功；
当90°＜θ≤180°时，W＜0，即力F做负功.从力所做的功出发，我们引入向量的数量积的概念.1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义、几何意义.（重点）
2.体会平面向量的数量积与向量射影的关系.3.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律和它的一些简单应用.（重点）
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.（难点）两个非零向量 和 ，作 ， ，则
（ ）叫作向量 与 的夹角．思考1 如何定义向量的夹角？计算向量的夹角时要将两个向量起点放在一起.探究点1 向量的数量积由于零向量的方向是任意的，为方便起见，
规定:零向量可与任一向量垂直. ，过点B 作BB1垂直于直线OA，垂足为
B1，则| | cosθ叫作向量 在 方向
上的射影(也叫投影)．当θ为锐角时，
| | cosθ_____0＞思考2 什么是向量的射影？B1OBA当θ=0°时，
| |cosθ=_____| |当θ为钝角时，
| | cosθ___0.当θ为直角时，
| |cosθ____0＜=OBA当θ=180°时，
| | cosθ=_____B1物理实例中，与位移 方向一致的分力 的长度为
︱ ︱cosθ，即是力 在 方向上的射影.θ-| |思考3 平面向量的数量积的定义如何？
已知两个向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把
| || |cosθ叫作 与 的数量积（或内积）.记作 ·
· =| || | cosθ注意：向量的数量积是一个数量.特别地:零向量与任一向量 的数量积为0.⑵ 已知 =(1,1), =(2,0), 与 的夹角θ= 45°.
求 · .例1 ⑴ 已知| |=3，| |=4，且 与 的夹角θ=150°，求 · .解： · =| || |cosθ=3×4×cos150°
=3×4×（- ）=－6解： | | = , | |=2, θ=45°,
所以 · =| || |cosθ= ×2×cos45°= 2.思考4 数量积的几何意义是什么？特别提醒：
1.
2.若 是单位向量,则重要性质：
1.若 是单位向量，则：
2.
3.
4.
5.
当且仅当 ∥ 时等号成立. 思考5 数量积的物理意义是什么？反之成立吗？解答：不成立.解答：成立.思考：探究点2 向量的数量积的运算律练习：判断下列说法的正误√×××××√3．若 ≠ ， · =0，则 = 2．若 ≠ ，则对任一非零向量 ,有 · ≠0．1．若 = ，则对任一向量 ，有 · = 0 ．4．若 · =0，则 , 中至少有一个为 ．5．若 ≠ ， · = · ，则 = 6．若 · = · ,且 ≠ ,当且仅当 = 时成立．7．对任意向量 有例2 在ΔABC中，设边BC，CA，AB的长度分别为a，b，c，证明：
a2=b2+c2–2 bccosA，
b2=c2+a2–2cacosB，
c2=a2+b2–2abcosC.证明：设 则同理可证其他两式，我们把这个结果称为余弦定理.=b2+c2–2 bccosA......向量法证明几何问题的步骤：
1.将三角形的边用有向线段表示.
2.根据向量的运算及向量的几何意义，写出向量之间的关系.
3.通过平方和向量的数量积整理出所要的结果.例3 证明菱形的两条对角线互相垂直.证明：菱形ABCD中，AB=AD，由于可得=0，
所以，即菱形的两条对角线互相垂直.ABCDO..证明线段垂直的方法：
1.取两个不共线的向量作基底.
2.将要证明的向量用这两个向量表示.
3.利用 进行证明.【提升总结】例4 已知单位向量 , 的夹角为60°，求向量
, 的夹角.解：由单位向量 , 的夹角为60°，得又设 与 的夹角为 ， 由①②可得又 所以 .
即向量 与 的夹角为 .技巧点拨：
1.以 ， 为基底,计算 的值.
2.利用向量的夹角公式计算. 1.判断下列说法的正误:
（1）平面向量的数量积可以比较大小. ( )
（2） ( )
（3）已知 为非零向量,因为0× = ， · = 0,
所以 = ( )
(4) ( )√×××2.△ABC中， 则该三角形为( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
【解析】由 知∠ABC为锐角；
由 知,∠ACB为钝角.C3.在△ABC中，M是线段BC的中点，AM=3，BC=10，
则_______.-16 -24.若|a|=1,|b|=2，且a，b反向，则a·b=_______.解：本节课主要学习了：
1.向量的夹角.
2.向量的射影.
3.向量的数量积.
4.向量的数量积的几何意义和物理意义.
5.向量的数量积的性质和运算律.不会宽容别人的人，是不配受到别人的宽容的.
——贝尔奈