湖南省益阳市赫山区箴言中学2016-2017学年高二（上）9月月考数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年湖南省益阳市赫山区箴言中学高二（上）9月月考数学试卷（理科）
　
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合P={x∈R|x2+2x＜0}，Q={x∈R|＞0}，则P∩Q=（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣1，0）
C．
D．（﹣2，0）
2．在△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，则cosC=（　　）
A．
B．
C．
D．
3．在等差数列{an}中，已知a6+a9+a13+a16=20，则S21等于（　　）
A．100
B．105
C．200
D．0
4．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）
A．﹣6（1﹣3﹣10）
B．
C．3（1﹣3﹣10）
D．3（1+3﹣10）
5．函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值和最小正周期分别是（　　）
A．2，π
B．
+1，π
C．2，2π
D．
+1，2π
6．若按如图的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
7．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（　　）
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
8．由a1=1，an+1=给出的数列{an}的第34项（　　）
A．
B．100
C．
D．
9．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（　　）
A．
B．
C．
D．
10．若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞）
D．（∞，2]
11．若关于x的方程：9x+（4+a） 3x+4=0有解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞）
B．（﹣8，﹣4）
C．[﹣8，﹣4]
D．（﹣∞，﹣8]
12．设m∈N+，log2m的整数部分用F（m）表示，则F（1）+F（2）+…+F
A．8204
B．8192
C．9218
D．8021
　
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为　　．
14．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，求数列{an}的通项公式　　．
15．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　　．
16．已知不等式组的整数解恰好有两个，求a的取值范围是　　．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．已知等差数列{an}满足a3 a7=﹣12，a4+a6=﹣4，求数列{an}的前n项和Sn．
18．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．
20．如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．
（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；
（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．
21．彭山二中决定在新校区附近修建教师宿舍，学校行政办公室用100万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．
（1）若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式．
（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
22．设数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知an＞0，（an+1）2=4（Sn+1），bnSn﹣1=（n+1）2，其中n∈N
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前项和Tn；
（3）且符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[]=0，[]=0，[]=0，[2.8]=2．当n∈N
时，试求[T1]+[T2]+…+[Tn]．
　
2016-2017学年湖南省益阳市赫山区箴言中学高二（上）9月月考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
　
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．设集合P={x∈R|x2+2x＜0}，Q={x∈R|＞0}，则P∩Q=（　　）
A．（﹣2，1）
B．（﹣1，0）
C．
D．（﹣2，0）
【考点】交集及其运算．
【分析】分别求出P与Q中不等式的解集确定出P与Q，找出两集合的交集即可．
【解答】解：由P中不等式变形得：x（x+2）＜0，
解得：﹣2＜x＜0，即P=（﹣2，0），
由Q中不等式，得到x+1＞0，
解得：x＞﹣1，即Q=（﹣1，+∞），
则P∩Q=（﹣1，0）．
故选：B．
　
2．在△ABC中，a2+b2﹣c2=ab，则cosC=（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】余弦定理．
【分析】利用已知条件通过余弦定理即可求出cosC．
【解答】解：由a2+b2﹣c2=ab，余弦定理得：cosC===．
故选：A．
　
3．在等差数列{an}中，已知a6+a9+a13+a16=20，则S21等于（　　）
A．100
B．105
C．200
D．0
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由题意和等差数列的性质可得a1+a21，整体代入求和公式计算可得．
【解答】解：∵在等差数列{an}中，a6+a9+a13+a16=20，
由等差数列的性质可得a1+a21=a6+a16=a9+a13，
∴2（a1+a21）=20，解得a1+a21=10，
∴S21=（a1+a21）=105，
故选：B．
　
4．已知数列{an}满足3an+1+an=0，a2=﹣，则{an}的前10项和等于（　　）
A．﹣6（1﹣3﹣10）
B．
C．3（1﹣3﹣10）
D．3（1+3﹣10）
【考点】等比数列的前n项和．
【分析】由已知可知，数列{an}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求
【解答】解：∵3an+1+an=0
∴
∴数列{an}是以﹣为公比的等比数列
∵
∴a1=4
由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）
故选C
　
5．函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值和最小正周期分别是（　　）
A．2，π
B．
+1，π
C．2，2π
D．
+1，2π
【考点】二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用两角和的正弦公式，二倍角公式，把函数y化为y=sin（2x+）+1，即可求出函数f（x）=2cosx（sinx+cosx）的最大值和最小正周期．
【解答】解：函数y=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1
=sin（2x+）+1，
故它的最大值为+1，最小正周期等于=π，．
故选：B．
　
6．若按如图的算法流程图运行后，输出的结果是，则输入的N的值为（　　）
A．5
B．6
C．7
D．8
【考点】程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可知：程序的功能是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，根据输出的结果是，可分析出判断框中的条件．
【解答】解：进行循环前k=1，S=0，进行循环后S=，不满足退出循环的条件；
k=2，S=，不满足退出循环的条件；
k=3，S=，不满足退出循环的条件；
k=4，S=，不满足退出循环的条件；
k=5，S=，不满足退出循环的条件；
k=6，S=，满足退出循环的条件；
故满足条件的N值为6，
故选B
　
7．在△ABC中，a=，b=，B=45°，则A等于（　　）
A．30°
B．60°
C．30°或150°
D．60°或120°
【考点】正弦定理．
【分析】根据B的度数求出sinB的值，再由a，b的值，利用正弦定理求出sinA的值，然后根据A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．
【解答】解：由a=，b=，B=45°，
根据正弦定理得：，
所以，又A∈（0，180°），
所以A等于60°或120°．
故选D
　
8．由a1=1，an+1=给出的数列{an}的第34项（　　）
A．
B．100
C．
D．
【考点】数列递推式．
【分析】对数列递推式，取倒数，可得数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列，求出数列{an}通项，即可得到结论．
【解答】解：∵an+1=，∴
=
∴
∵a1=1，∴数列{}是以1为首项，3为公差的等差数列
∴=1+3（n﹣1）=3n﹣2
∴
∴数列{an}的第34项为=
故选C．
　
9．已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S=（a+b）2﹣c2，则tanC等于（　　）
A．
B．
C．
D．
【考点】余弦定理．
【分析】首先由三角形面积公式得到S△ABC=，再由余弦定理，结合2S=（a+b）2﹣c2，得出sinC﹣2cosC=2，然后通过（sinC﹣2cosC）2=4，求出结果即可．
【解答】解：△ABC中，∵S△ABC=，由余弦定理：c2=a2+b2﹣2abcosC，
且
2S=（a+b）2﹣c2
，∴absinC=（a+b）2﹣（a2+b2﹣2abcosC），
整理得sinC﹣2cosC=2，∴（sinC﹣2cosC）2=4．
∴=4，化简可得
3tan2C+4tanC=0．
∵C∈（0，180°），∴tanC=﹣，
故选C．
　
10．若不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣2，2）
B．（﹣2，2]
C．（﹣∞，﹣2）∪[2，∞）
D．（∞，2]
【考点】函数恒成立问题．
【分析】将原不等式整理成关于x的二次不等式，结合二次函数的图象与性质解决即可，注意对二次项系数分类讨论
【解答】解：不等式ax2+2ax﹣4＜2x2+4x，可化为（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0，
当a﹣2=0，即a=2时，恒成立，合题意．
当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，需，解得﹣2＜a＜2．
所以a的取值范围为（﹣2，2]．
故选B．
　
11．若关于x的方程：9x+（4+a） 3x+4=0有解，则实数a的取值范围为（　　）
A．（﹣∞，﹣8）∪[0，+∞）
B．（﹣8，﹣4）
C．[﹣8，﹣4]
D．（﹣∞，﹣8]
【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【分析】可分离出a+4，转化为函数f（x）=﹣的值域问题，令3x=t，利用基本不等式和不等式的性质求值域即可．
【解答】解：∵a+4=﹣，
令3x=t（t＞0），则﹣=﹣
因为≥4，所以﹣≤﹣4，
∴a+4≤﹣4，
所以a的范围为（﹣∞，﹣8]
故选D．
　
12．设m∈N+，log2m的整数部分用F（m）表示，则F（1）+F（2）+…+F
A．8204
B．8192
C．9218
D．8021
【考点】对数的运算性质．
【分析】先找到能使得log2m是整数的m，再找到介于相邻的两个这样的m值之间的整数的个数，分别求值相加即可
【解答】解：由题意知F（1）+F（2）+F（3）+F（4）+F（5）+F（6）+F（7）+F（8）+…+F+F（2）+F（2）+F（4）+F（4）+F（4）+F（4）+F（8）+…+F+10
设S=1×2+2×22+3×23+4×24+…+9×29
则2S=1×22+2×23+3×24+…+8×29+9×210
∴两式相减得：﹣S=2+22+23+…+29﹣9×210==﹣8×210﹣2
∴S=8×210+2
∴F（1）+F（2）+…+F
13．若x，y满足则z=x+2y的最大值为　2　．
【考点】简单线性规划．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由直线方程可知，要使z最大，则直线在y轴上的截距最大，结合可行域可知当直线z=x+2y过点B时z最大，求出B的坐标，代入z=x+2y得答案．
【解答】解：由足约束条件作出可行域如图，
由z=x+2y，得y=﹣+．
要使z最大，则直线y=﹣+的截距最大，
由图可知，当直线y=﹣+．
过点A时截距最大．
联立，解得，
∴A（0，1），
∴z=x+2y的最大值为0+2×1=2．
故答案为：2．
　
14．已知数列{an}的前n项和Sn=n2+3n+1，求数列{an}的通项公式　　．
【考点】数列的概念及简单表示法．
【分析】利用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出．
【解答】解：当n=1时，a1=S1=1+3+1=5；
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+3n+1﹣[（n﹣1）2+3（n﹣1）+1]=2n+2．
∴数列{an}的通项公式为．
故答案为．
　
15．在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=　1　．
【考点】余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．
【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
　
16．已知不等式组的整数解恰好有两个，求a的取值范围是　（1，2]　．
【考点】其他不等式的解法．
【分析】不等式组即，再由题意分①当a=1﹣a时、②当a＞1﹣a时、③当a＜1﹣a时三种情况分别求得a的范围，再取并集，即得所求．
【解答】解：不等式组，即，
①当a=1﹣a时，即a=时，x无解．
②当a＞1﹣a时，即a＞时，不等式组的解集为（1﹣a，a），
再根据此解集包含2个整数解，可得
1﹣a＜0，且a≤2，解得1＜a≤2．
③当a＜1﹣a时，即a＜时，
若0≤a＜，不等式组的解集为（1﹣2a，1﹣a），无整数解，不满足题意．
若a＜0，不等式组的解集为 ，不满足题意．
综上可得，1＜a≤2，
故答案为：（1，2]．
　
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）
17．已知等差数列{an}满足a3 a7=﹣12，a4+a6=﹣4，求数列{an}的前n项和Sn．
【考点】等差数列的前n项和．
【分析】由已知得a3，a7是一元二次方程x2+4x﹣12=0的两个根，解方程x2+4x﹣12=0，得x1=﹣6，x2=2，从而得到a3=﹣6，a7=2或a3=2，a7=﹣6，由此能求出数列{an}的前n项和Sn．
【解答】解：∵等差数列{an}满足a3 a7=﹣12，a4+a6=a3+a7=﹣4，
∴a3，a7是一元二次方程x2+4x﹣12=0，
解方程x2+4x﹣12=0，得x1=﹣6，x2=2，
当a3=﹣6，a7=2时，
，
解得a1=﹣10，d=2，
Sn=﹣10n+=n2﹣11n；
当a3=2，a7=﹣6时，
，
，解得a1=6，d=﹣2，
Sn=6n﹣=﹣n2+7n；
综上所述，Sn=n2﹣11n或Sn=﹣n2+7n．
　
18．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，
∵sinB≠0，∴sinA=，
又A为锐角，
则A=；
（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，
∴bc=，又sinA=，
则S△ABC=bcsinA=．
　
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，且PM=3MC，求三棱锥P﹣QBM的体积．
【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【分析】（1）由PA=PD，得到PQ⊥AD，又底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，得BQ⊥AD，利用线面垂直的判定定理得到AD⊥平面PQB利用面面垂直的判定定理得到平面PQB⊥平面PAD；
2）由平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，得PQ⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，得PQ⊥BC，得BC⊥平面PQB，即得到高，利用椎体体积公式求出；
【解答】解：（1）∵PA=PD，
∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，
∴BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB
又AD 平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD；
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，
∴PQ⊥BC，
又BC⊥BQ，QB∩QP=Q，
∴BC⊥平面PQB，
又PM=3MC，
∴VP﹣QBM=VM﹣PQB=
　
20．如图，在凸四边形ABCD中，C，D为定点，CD=，A，B为动点，满足AB=BC=DA=1．
（Ⅰ）写出cosC与cosA的关系式；
（Ⅱ）设△BCD和△ABD的面积分别为S和T，求S2+T2的最大值．
【考点】余弦定理．
【分析】（Ⅰ）在三角形BCD和三角形BCD中，利用余弦定理表示出BD2，两者相等表示即可得到cosC与cosA的关系式；
（Ⅱ）利用三角形面积公式变形出S与T，进而表示出S2+T2，将第一问表示出的cosA代入得到关于cosC的二次函数，利用二次函数性质即可求出S2+T2的最大值．
【解答】解：（Ⅰ）连接BD，
∵CD=，AB=BC=DA=1，
∴在△BCD中，利用余弦定理得：BD2=BC2+CD2﹣2BC CDcosC=4﹣2cosC；
在△ABD中，BD2=2﹣2cosA，
∴4﹣2cosC=2﹣2cosA，
则cosA=cosC﹣1；
（Ⅱ）S=BC CD sinC=sinC，T=AB ADsinA=sinA，
∵cosA=cosC﹣1，
∴S2+T2=sin2C+sin2A=（1﹣cos2C）+（1﹣cos2A）=﹣cos2C+cosC+=﹣（cosC﹣）2+，
则当cosC=时，S2+T2有最大值．
　
21．彭山二中决定在新校区附近修建教师宿舍，学校行政办公室用100万元从政府购得一块廉价土地，该土地可以建造每层1000平方米的楼房，楼房的每平方米建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整层楼每平方米建筑费用提高20元．已知建筑第5层楼房时，每平方米建筑费用为800元．
（1）若建筑第x层楼时，该楼房综合费用为y万元（综合费用是建筑费用与购地费用之和），写出y=f（x）的表达式．
（2）为了使该楼房每平方米的平均综合费用最低，学校应把楼层建成几层？此时平均综合费用为每平方米多少元？
【考点】函数模型的选择与应用．
【分析】（1）第1层楼房每平方米建筑费用为720元，第1层楼房建筑费用为720×1000=720000（元）=72（万元）；
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高20×1000=20000（元）=2（万元）；第x层楼房建筑费用为72+（x﹣1）×2=2x+70（万元）；建筑第x层楼时，楼房综合费用=建筑总费用（等差数列前n项和）+购地费用，由此可得y=f（x）；
（2）楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则（元），代入（1）中f（x）整理，求出最小值即可．
【解答】解：（1）由题意知，建筑第1层楼房每平方米建筑费用为：720元．
建筑第1层楼房建筑费用为：720×1000=720000（元）=72（万元）
楼房每升高一层，整层楼建筑费用提高：20×1000=20000（元）=2（万元）
建筑第x层楼房建筑费用为：72+（x﹣1）×2=2x+70（万元）
建筑第x层楼时，该楼房综合费用为：
所以，y=f（x）=x2+71x+100（x≥1，x∈Z）
（2）设该楼房每平方米的平均综合费用为g（x），则：
==910，
当且仅当，即x=10时，等号成立；
所以，学校应把楼层建成10层．此时平均综合费用为每平方米910元．
　
22．设数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，已知an＞0，（an+1）2=4（Sn+1），bnSn﹣1=（n+1）2，其中n∈N
．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的前项和Tn；
（3）且符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[]=0，[]=0，[]=0，[2.8]=2．当n∈N
时，试求[T1]+[T2]+…+[Tn]．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）由题意可知：当，解得：a1=3，则+2an+1=4Sn+4①，当n≥2时，
+2an﹣1+1=4Sn﹣1+4②，①﹣②得an﹣an﹣1=2，因此数列{an}为首项为3，公差为2的等差数列，根据等比数列的通项公式即可求得数列{an}的通项公式；
（2）由（1）可知：，，，采用分组求和及“裂项法”即可求得数列{bn}的前项和Tn；
（3）由（2）可知：[T1]+[T2]+…+[Tn]=1+2+4+5+6+7+…+n+1，根据等差数列通项公式即可求得[T1]+[T2]+…+[Tn]的值．
【解答】解：（1）当，整理得：﹣2a1﹣3=0，
解得：a1=3或a1=﹣1（舍去）
+2an+1=4Sn+4①
当n≥2时，
+2an﹣1+1=4Sn﹣1+4②
①﹣②得，化简得：，
∴an﹣an﹣1=2，
∴数列{an}为首项为3，公差为2的等差数列，
∴an=3+（n﹣1）2=2n+1，
数列{an}的通项公式an=2n+1；
（2）由（1）得，，
，
∴，
∴，
=，
=，
数列{bn}的前项和Tn，Tn=；
（3）由（2）可知：[T1]+[T2]+…+[Tn]=1+2+4+5+6+7+…+n+1，
=，
=．
　
2016年12月26日