江苏省涟水中学2015-2016学年高二上学期期末考试数学试题

江苏省涟水中学2015-2016学年度高二年级第一学期期末考试
数学试卷
分值160分、时间120分钟
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不写解答过程，将答案写在答题纸的指定位置上.
1、“”是“”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”“既不充分也不必要”之一）
2、抛物线的准线方程为 ▲ ．
3、不论实数取何值，直线都经过定点 ▲
4、命题“x∈R，”是假命题，则实数a的取值范围是 ▲ .
5、已知抛物线y2＝2px过点M(2，2)，则点M到抛物线焦点的距离为 ▲ ．
6．对于平面和两条不同的直线，下列命题中真命题的是 ▲ （填序号）。
（1）若,则； （2）若，
(3) 若 ， （4）所成的角相等，则。
7、若直线与直线平行，则实数的值为 ▲
8、设双曲线的实轴长为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为 ▲ .
9、一个圆柱和一个圆锥同底等高，若圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则圆柱的侧面积是其底面积的　　▲　　倍．
10、已知椭圆的左焦点为，点是椭圆上异于顶点的任意一点，为坐标原点，若点是线段的中点，则的周长为 ▲ ．
11、若直线与曲线有两个不同的交点，则的取值范围
是 ▲
12、已知定点，动点在单位圆上运动，以，为邻边作平行四边形，则点到直线距离的取值范围是　 ▲　 ．
13. 已知椭圆（）与双曲线 有公共的焦点，的一条渐近线与以 的长轴为直径的圆相交于两点.若 恰好将线段三等分，则=____▲_____.
14．设椭圆的左焦点为F，短轴上端点为B，连接BF并延长交椭圆于点，连接并延长交椭圆于点，过三点的圆的圆心为.若为圆的切线，则椭圆的离心率 ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸的指定区域内.
15. （本题满分14分）
已知，命题恒成立；命题直线与椭圆有公共点．是否存在正数，使得且为真命题，若存在，请求出的范围，若不存在，请说明理由．
16. （本题满分14分）
已知双曲线过点，且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点．
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）求以双曲线的右准线为准线的抛物线的标准方程．
17．（本题满分14分）
如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．
（1）求证：MN∥平面AA1C1C；
（2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，
求证：AB?平面CMN．
18、（本题满分16分）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆E：的左、右顶点分别为、，上、下顶点分别为、．设直线的倾斜角的正弦值为，以线段为直径的圆记为圆M.
（1）求椭圆E的离心率；
（2）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（3）圆与圆关于直线对称．且圆的面积为，求圆的方程．
19、（本题满分16分）
已知直线与圆相交，截得的弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）过原点作圆的两条切线，与抛物线相交于、两点（异于原点）．证明：直线与圆相切；
（3）若抛物线上任意三个不同的点、、，且满足直线和都与圆相切，判断直线与圆的位置关系，并加以证明．

20．（本题满分16分）
在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且经过点，若分别是椭圆的右顶点和上顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的值；
（3）求四边形面积的最大值．
高二期末考试参考答案：2016.0108
1、充分不必要 2、 3、 4、（0，4） 5、
6、（1） 7、1或-2 8、 9、； 10、
11、 12、 13、 14、
15、解：对，，（），所以要使恒成立，应有……………5分
，直线恒过定点（0，2），要使直线与椭圆有公共点，应有，解得…………………………………………10分
若为真命题，则与都为真命题，因此所以 ……………12分
综上，存在使得为真命题．…………………………１4分
16、解：（I）由椭圆方程得焦点，…………2分
由条件可知，双曲线过点（3，﹣2）
根据双曲线定义，2a==2………………5分
即得，所以……………………………………7分
双曲线方程为：，………………………………………………9分
（II）由（1）得双曲线的右准线方程为：…………………………11分
∴，可得抛物线的标准方程为：………………14分
17．证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．
因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝A1B1． …………………… 2分
在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．
故NP∥AB，且NP＝AB．
因为M为AB的中点，所以AM＝AB．
所以NP＝AM，且NP∥AM．
所以四边形AMNP为平行四边形．
所以MN∥AP． ………………… 4分
因为AP?平面AA1C1C，MN?平面AA1C1C，
所以MN∥平面AA1C1C． ………7分
（2）因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB． …………………………… 8分
因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．
在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN?BC．
因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CN?平面CC1B1B，
所以CN⊥平面ABC． …………………………………… 10分
因为AB?平面ABC，所以CN⊥AB． …………………………………… 12分
因为CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN＝C，
所以AB⊥平面CMN． …………………………………… 14分
18、解：（1）设椭圆E的焦距为2c（c>0），
因为直线的倾斜角的正弦值为，所以，
于是，即，所以椭圆E的离心率……5分
（2）由可设，，则，
于是的方程为：，
故的中点到的距离， ………8分
又以为直径的圆的半径，即有，
所以直线与圆相切． ……………10分
（3）由圆的面积为知圆半径为1，从而， ………12分
设的中点关于直线：的对称点为，
则 …………………14分
解得．所以，圆的方程为．……16分
19、解：（1）∵ ∴圆心到直线的距离为，
∵截得的弦长为 ∴
∴圆的方程为： ………………………………5分
（2）设过原点的切线方程为：，即 ∴，解得：
∴过原点的切线方程为：，不妨设与抛物线的交点为，则
，解得：，同理可求： ∴直线 ………8分
∵圆心到直线的距离为1且 ∴直线与圆相切；………… 10分
（3）直线与圆相切．证明如下：
设，则直线、、的方程分别为：
：，：；：
∵是圆的切线 ∴，化简得： ①
∵是圆的切线，同理可得： ② ………………13分
则为方程的两个实根 ∴
∵圆心到直线的距离为：
∴直线与圆相切． ……………………………………16分
20、解：（1），………………………………………………4分
（2）直线的方程分别为，.
如图，设，其中，
且满足方程，故………①
由知，得；
由在上知，得．所以，
化简得，解得或．………………………………………10分
（3）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，
．
又，所以四边形的面积为
，
当且仅当即当时，上式取等号．所以的最大值为．
解法二：由题设，，．
设，，由①得，，
故四边形的面积为
，当时，上式取等号．所以的最大值为．