专题03 平面向量的数量积-2016-2017学年高一数学百所名校好题速递分项解析汇编（必修4） Word版含解析

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2016-2017学年高一数学（必修4）百所名校速递分项汇编
专题03
平面向量的数量积
一、选择题
1.【新余一中2016-2017学年高二年级上学期入学考试】已知，若，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
考点：向量的坐标运算．
2.【山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高二上学期第一次月考】已知平面向量满足，且，则向量与夹角的正切值为（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
试题分析：，.
考点：向量运算.
3.【潮阳实验学校2016-2017学年第一学期摸底考试】已知，，则在方向上的投影为（
）
A．2
B．
C．
D．5
【答案】C
【解析】
试题分析：由向量投影的定义可得在方向上的投影为，故选项为C.
考点：向量数量积的坐标表示.
4.【河北冀州中学2016-2017学年高二年级上学期第三次月考】设向量满足，，，，则（
）
A．2
B．4
C.5
D．1
【答案】C
考点：向量的运算．
5.【西藏民族学院附中2016年春学期4月月考高一】已知向量满足，与的夹角为，若对
一切实数，恒成立，则的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：由若对一切实数，恒成立，得，即，整理得，把，与的夹角为代入，整理得恒成立，故
，解得．
考点：1、平面向量数量积的运算；2、一元二次不等式的解法与判别式的关系.
【方法点睛】首先由若对一切实数，恒成立，
通过两边平方，
转化为恒成立，然后把，与的夹角为代入，化简整理成关于的二次方程恒成立问题，根据一元二次不等式的解法与判别式的关系，可得，从而得到关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围.
6.【河北冀州中学2016—2017学年高二年级上学期第二次月考文科】已知向量，向量，若，则实数的值是（
）
A．-2
B．-3
C．
D．3
【答案】D
考点：1、向量的模；2、平面向量的数量积公式.
7.【河北冀州中学2016—2017学年高二年级上学期第二次月考文科】已知向量，其中．若，则的最小值为（
）
A．2
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：因为向量，，所以，，的最小值为，故选C.
考点：1、平面向量数量积公式；2、基本不等式求最值.
8.【河北冀州中学2016—2017学年高二年级上学期第二次月考文科】已知非零向量与满足，且，则的形状为
（
）
A．三边均不相等的三角形
B．等边三角形
C．等腰非等边三角形
D．直角三角形
【答案】B
【解析】
试题分析：因为是与上的单位向量，又由可知，为边上的高，所以为等腰三角形，由可得，故为等边三角形，故选B.
考点：1、单位向量及向量的夹角；2、向量的加法运算、向量垂直的性质及正三角形的性质.
9.【安徽省黄山市屯溪第一中学2016-2017学年高二上学期摸底考试】已知，，，则向量与向量的夹角是（
）
A.
B．
C．
D．
【答案】C
考点：平面向量的数量积运算.
10.【山西省怀仁县第一中学2016-2017学年高二上学期第一次月考】已知是平面内两个互相垂直的单位向量,
若向量满足,则的最大值
是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
试题分析：，，，最大值为，其中为向量与的夹角.
考点：向量运算.
【思路点晴】涉及三角问题求解方法：（1）去除向量的包装外衣，转化为由三角函数值求对应的角的值；（2）去除向量的包装外衣，转化为形如：三角函数最值，但一定要关注自变量的范围.另外三角函数与代数函数一个很大的区别就是一般先要处理三角函数表达式，处理的结果之一就是转化为形如：，这一点很重要.涉及平面几何问题，往往通过平面向量的坐标运算，结合曲线的定义及曲线与曲线的位置关系，应用函数方程思想解题.
11.【福州外国语学校2017高二9月份月考试题数学（文科）】设是△内一点，且，，定义，其中，
，分别是△，△，△的面积，若，则的最小值是（
）
A．8
B．9
C．16
D．18
【答案】D
考点：向量的数量积公式基本不等式等知识的综合运用.
【易错点晴】本题以三角形为背景,通过定义一个新概念的形式精心设置了一道探求最小值的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,特别是题设中的,解答时先运用向量的数量积公式,求出三角形的面积,再由构建方程,然后在运用变形巧妙地求出的最小值为.
12.【
四川省双流中学2015—2016学年度下期半期考试高一】已知函数，点为坐标原点，
点，向量，是向量与的夹角，则（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
试题分析：因为点在函数的图象上，所以，因为向量，所以，由平方关系可得，所以，所以,故选D.
考点：数列求和.
【方法点晴】本题主要考查了数列的求和，涉及到平面向量的夹角的余弦值，同角三角函数的基本关系式，考查了数列的裂项法求和，属于中档题.本题解答的关键是通过向量数量积的表示出，利用同角三角函数的基本关系得到，从而得到数列的通项公式，利用裂项法进行求和，最终得到所求值.
填空题
13.【六安一中2015~2016学年第二学期高一年级周末作业】在中，，，点为中点，点满足，则
.
【答案】
考点：1、向量的几何运算；2、向量的数量积.
14.【新余一中2016-2017学年高二年级上学期入学考试】四边形中，且，则的最小值为____________．
【答案】
【解析】
试题分析：设与交点为，以为原点，为坐标轴建立平面直角坐标系，设，则，所以，所以，当时，取得最小值．
考点：平面向量的数量积的运算．
【方法点晴】本题主要考查了平面向量的数量积的运算，平面向量的坐标表示等知识点的应用，其中涉及到平面向量的坐标运算和向量的模的计算以及平面向量的夹角公式等知识，注意解题方法的积累和总结，属于中档试题，解答中适当的建立直角坐标系，写出相应点的坐标和向量的运算公式是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．
15.【湖北省沙市中学2015-2016学年高一下学期第四次半月考】在中,M是BC的中点，AM=1,点P在AM上且满足,则等于
___________．
【答案】.
考点：(1)向量的加法；（2）重心的性质；（3）向量的数量积.
16.【河北冀州中学2016—2017学年高二年级上学期第二次月考文科】以下命题：
①若，则；
②在方向上的投影为；
③若中，，则；
④若非零向量满足，则，所有真命题的标号是_____________．
【答案】①②④
考点：1、平面向量的数量积公式及余弦定理；2、向量的模、向量的投影及向量的运算.
【方法点晴】本题通过对多个命题真假的判断考察平面向量的数量积公式、余弦定理、向量的模、向量的投影、向量的运算及数学化归思想，属于难题.
该题型往往出现在在填空题最后两题，考查知识点较多，综合性较强，同学们往往因为某一点知识掌握不牢就导致本题“全盘皆输”，解答这类问题首先不能慌乱更不能因贪快而审题不清，其次先从最有把握的命题入手，最后集中力量攻坚最不好理解的命题.
三、解答题
17.【新余一中2016-2017学年高二年级上学期入学考试】（本题满分10分）
已知向量，其中．
求：（1）；
（2）与夹角的正弦值．
【答案】（1）；（2）．
考点：平面向量的坐标运算；向量的数量积的运算．
18.【六安一中2015~2016学年第二学期高一年级周末作业】如图所示，，，，其中.
（1）若，试求与之间的表达式；
（2）在（1）的条件下，若又有，试求、的值及四边形的面积.
【答案】（1）；（2）或，．
【解析】
试题分析：(1)先求的坐标，再利用向量平行的充要条件进行求解；(2)利用平行充要条件和垂直充要条件建立方程组即可求解.
试题解析：
（1），①
（2），，
②，解①②得或，∴，，由知：.
考点：1、向量的几何运算；2、向量的坐标运算；3、向量的平行；4、向量的垂直.
19.【重庆市第一中学2015-2016学年高一4月月考】（12分）
已知向量，满足，，.
（1）求的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
试题解析：（1）建立平面直角坐标系，令，，，
则，
∴.
（2）∵，
∴，
令，，则
故的最大值为.
考点：1、向量的坐标表示；2、向量模的坐标表示；3、向量数列积的坐标表示.
20.【六安一中2015~2016学年第二学期高一年级周末作业】如图，是所在平面内一点，，向量的模分
别为.
（1）求；
（2）若，求实数的值.
【答案】（1）；（2）.
考点：1、向量的模；2、向量的数量积；3、向量的相等.
21.【湖北省沙市中学2015-2016学年高一下学期第四次半月考】设向量，函数．
（I）求使不等式成立的的取值范围；
（Ⅱ）记内角A,B,C的对边分别为，若，求的值．
【答案】（I）；（Ⅱ）或.
试题解析：（I），或写成.
，所以，，
所以，或均可。
（Ⅱ）由得,即,
又因为,所以，所以,即.
因为，
所以由正弦定理,得,
故
当时，,从而，
当时，,又,从而，
故的值为或.
考点：(1)向量的数量积；（2）三角函数不等式；（3）正弦定理.
22.【福建省上杭县第一中学2015-2016学年高一下学期周末练】(
本小题满分分)
已知是两个非零向量，当的模取最小值时.
①求的值；
②已知与共线且同向，求证：与垂直.
【答案】①；②证明见解析.
试题解析：①令，
则
.
当时，.
②证明：与共线且同向，,,
,
.
考点：（1）向量的模；（2）数量积判断两个向量的垂直关系.
【方法点晴】本题主要考查模长形式，通常两边平方以及证明两个向量垂直，这种问题一般通过向量的数量积为零来证明，因为在本题中主要是数学符号的运算，所以对学生的运算能力要求较高，属于难题.启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质．
欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。
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