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2.7.2
向量的应用举例
学案
【课时目标】 经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．
知识梳理
向量方法在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)
________ ______________________．
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b
__________ ______________________________．
(3)求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos
θ＝__________＝
________________________________________________________________________．
(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：
|a|＝__________．
作业设计
一、选择题
1．在△ABC中，已知A(4，1)、B(7，5)、C(－4，7)，则BC边的中线AD的长是( )
A．2
B．
C．3
D．
2．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．三个内角的角平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条高的交点
3．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
4．已知点A(，1)，B
(0，0)，C(，0)，设∠BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有＝λ，其中λ等于( )21cnjy.com
A．2
B．
C．－3
D．－
5．已知非零向量与满足·＝0且·＝，则△ABC的形状是( )
A．三边均不相等的三角形
B．直角三角形
C．等腰(非等边)三角形
D．等边三角形
6．已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且||＝||＝||，＋＋＝0，·＝·＝·，则点O，N，P依次是△ABC的( )21世纪教育网版权所有
A．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D．外心、重心、内心
二、填空题
7．已知边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________．【来源：21·世纪·教育·网】
8．已知|a|＝2，|b|＝4，a与b的夹角为，以a，b为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为________．21·世纪
教育网
9．已知平面上三点A、B、C满足||＝3，||＝4，||＝5．则·＋·＋·＝________________________________________________________________________．
10．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(＋－2)·(－)＝0，则△ABC的形状一定是______．www-2-1-cnjy-com
三、解答题
11．求证：△ABC的三条高线交于一点．
12．P是正方形ABCD对角线BD上一点，PFCE为矩形．求证：PA＝EF且PA⊥EF．
能力提升
13．设点O是△ABC的外心，AB＝13，AC＝12，则·＝________．
14．已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小．21·cn·jy·com
反思感悟
利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．21教育网
答案
知识梳理
(1)a＝λb x1y2－x2y1＝0 (2)a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
(3) (4)
作业设计
1．B [BC中点为D(，6)，＝(－，5)，
∴||＝．]
2．D [∵·＝·．∴(－)·＝0．
∴·＝0．∴OB⊥AC．同理OA⊥BC，
OC⊥AB，∴O三条高的交点．]
3．B [∵|－|＝||＝|－|，
|＋－2|＝|＋|，
∴|－|＝|＋|，
∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°．
∴△ABC是直角三角形．]
4．C
[如图所示，由题知∠ABC＝30°，∠AEC＝60°，CE＝，
∴＝3，
∴＝－3．]
5．D [由·＝0，得角A的平分线垂直于BC．∴AB＝AC．
而·＝cos〈，〉＝，
又〈，〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°．
故△ABC为正三角形，选D．]
6．C [如图，∵＋＋＝0，
∴＋＝－．依向量加法的平行四边形法则，知|N|＝2||，故点N为△ABC的重心．
∵·＝·，
∴(－)·
＝·＝0．
同理·＝0，·＝0，
∴点P为△ABC的垂心．
由||＝||＝||，知点O为△ABC的外心．]
7．2
解析 注意||＝|c|＝1，
而a＋b＝c，
∴|a＋b＋c|＝|2c|＝2．
8．2
解析
如图所示，以a、b为邻边作平行四边形ABCD，
AC＝
＝2，
BD＝
＝2
．
∵2＜2
，
∴较短的一条对角线长为2
．
9．－25
解析 △ABC中，B＝90°，cos
A＝，cos
C＝，
∴·＝0，·＝4×5×＝－16，
·＝5×3×＝－9．
∴·＋·＋·＝－25．
10．等腰三角形
解析 ∵(＋－2)·(－)
＝[(－)＋(－)]·(－)
＝(＋)·(－)＝2－2
＝||2－||2＝0，
∴||＝||，∴△ABC是等腰三角形．
11．证明
如图所示，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高．
设BE，CF交于H点，
令＝b，＝c，＝h，
则＝h－b，＝h－c，＝c－b．
∵⊥，⊥，
∴(h－b)·c＝0，(h－c)·b＝0，
即(h－b)·c＝(h－c)·b
整理得h·(c－b)＝0，∴·＝0
∴AH⊥BC，∴与共线．
AD、BE、CF相交于一点H．
12．证明 以D为坐标原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系如图所示，设正方形边长为1，||＝λ，则A(0，1)，www.21-cn-jy.com
P，E，F，
于是＝，＝．
∴||＝＝，
同理||＝，
∴||＝||，∴PA＝EF．
∴·＝＋
＝0，
∴⊥．∴PA⊥EF．
13．－
解析
设{，}为一平面内一组基底．如图所示，设O为△ABC的外心，M为BC中点，连结OM、AM、OA，则易知OM⊥BC．2·1·c·n·j·y
又由＝－，
＝＋＝(＋)＋．
∴·＝·(＋)
＝·＋·
＝·(其中·＝0)
＝(－)·(＋)
＝(－)
＝×(122－132)
＝－．
14．解 建立如图所示的平面直角坐标系，
设A(0，a)，C(c，0)，则B(－c，0)，＝(0，a)，
＝(c，a)，＝(c，0)，＝(2c，0)．
因为BB′、CC′为AC、AB边的中线，
所以＝(＋)＝，
同理＝．
因为⊥，所以·＝0，
即－＋＝0，a2＝9c2，
又cos
A＝＝＝＝．
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2.7.2
向量的应用举例
学案
【课时目标】 经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他的一些实际问题的过程，体会向量是一种处理物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．
知识梳理
1．力向量
力向量与前面学过的自由向量有区别．
(1)相同点：力和向量都既要考虑________又要考虑________．
(2)不同点：向量与始点无关，力和作用点有关，大小和方向相同的两个力，如果作用点不同，那么它们是不相等的．21世纪教育网版权所有
2．向量方法在物理中的应用
(1)力、速度、加速度、位移都是________．
(2)力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的________运算，运动的叠加亦用到向量的合成．21cnjy.com
(3)动量mν是数乘向量．
(4)功是力F与所产生位移s的数量积．
作业设计
一、选择题
1．用力F推动一物体水平运动s
m，设F与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为( )
A．|F|·s
B．Fcos
θ·s
C．Fsin
θ·s
D．|F|cos
θ·s
2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20
N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为( )21·cn·jy·com
A．40
N
B．10
N
C．20N
D．10
N
3．共点力F1＝(lg
2，lg
2)，F2＝(lg
5，lg
2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg
5，1)，则共点力对物体做的功W为( )21教育网
A．lg
2
B．lg
5
C．1
D．2
4．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知F1，F2成90°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )www-2-1-cnjy-com
A．6
B．2
C．2
D．2
5．质点P在平面上作匀速直线运动，速度向量ν＝(4，－3)(即点P的运动方向与ν相同，且每秒移动的距离为|ν|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5秒后点P的坐标为( )2-1-c-n-j-y
A．(－2，4)
B．(－30，25)
C．(10，－5)
D．(5，－10)
6．已知作用在点A的三个力f1＝(3，4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3，1)且A(1，1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为( )21
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A．(9，1)
B．(1，9)
C．(9，0)
D．(0，9)
二、填空题
7．若＝(2，2)，＝(－2，3)分别表示F1，F2，则|F1＋F2|为________．
8．一个重20
N的物体从倾斜角30°，斜面长1
m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________．【来源：21·世纪·教育·网】
9．在水流速度为4千米/小时的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8千米/小时的速度航行，则船实际航行的速度的大小为________．【出处：21教育名师】
10．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．
①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．
三、解答题
11．如图所示，两根绳子把重1
kg的物体W吊在水平杆子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g＝10
N/kg)．
12．已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点B(7，0)．【版权所有：21教育】
(1)求F1，F2分别对质点所做的功；
(2)求F1，F2的合力F对质点所做的功．
能力提升
13．如图所示，在细绳O处用水平力F2缓慢拉起所受重力为G的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F1．【来源：21cnj
y.co
m】
(1)求|F1|，|F2|随角θ的变化而变化的情况；
(2)当|F1|≤2|G|时，求角θ的取值范围．
14．已知e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，今有动点P从P0(－1，2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度为e1＋e2；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度为3e1＋2e2，设P、Q在t＝0
s时分别在P0、Q0处，问当⊥时所需的时间t为多少？www.21-cn-jy.com
反思感悟
用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．21教育名师原创作品
答案
知识梳理
1．(1)大小 方向 2．(1)向量 (2)加、减
作业设计
1．D
2．B [|F1|＝|F2|＝|F|cos
45°＝10，
当θ＝
120°，由平行四边形法则知：
|F合|＝|F1|＝|F2|＝10
N．]
3．D [F1＋F2＝(1，2lg
2)．
∴W＝(F1＋F2)·s＝(1，2lg
2)·(2lg
5，1)
＝2lg
5＋2lg
2＝2．]
4．C [因为力F是一个向量，由向量加法的平行四边形法则知F3的大小等于以F1、F2为邻边的平行四边形的对角线的长，故|F3|2＝|F1＋F2|2＝|F1|2＋|F2|2＝4＋16＝20，
∴|F3|＝2．]
5．C [设(－10，10)为A，设5秒后P点的坐标为A1(x，y)，
则＝(x＋10，y－10)，由题意有＝5ν．
即(x＋10，y－10)＝(20，－15) ．]
6．A [f＝f1＋f2＋f3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)
＝(8，0)，
设合力f的终点为P(x，y)，则
＝＋f＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1)．]
7．5
解析 ∵F1＋F2＝(0，5)，
∴|F1＋F2|＝＝5．
8．10
J
解析 WG＝G·s＝|G|·|s|·cos
60°＝20×1×＝10(J)．
9．4
km/h
解析 如图用v0表示水流速度，v1表示与水流垂直的方向的速度．
则v0＋v1表示船实际航行速度，
∵|v0|＝4，|v1|＝8，
∴解直角三角形
|v0＋v1|＝＝4．
10．①③
解析 设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0<θ<)．则|F|cos
θ＝|f|，2·1·c·n·j·y
∴|F|＝．
∵θ增大，cos
θ减小，∴|F|增大．
∵|F|sin
θ增大，∴船的浮力减小．
11．解
设A、B所受的力分别为f1、f2，
10
N的重力用f表示，则f1＋f2＝f，以重力的作用点C为f1、f2、f的始点，作右图，使＝f1，＝f2，＝f，则∠ECG＝180°－150°＝30°，∠FCG＝180°－120°＝60°．
∴||＝||·cos
30°＝10×＝5．
||＝||·cos
60°＝10×＝5．
∴在A处受力为5
N，在B处受力为5
N．
12．解 (1)＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)，
W1＝F1·＝(3，4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J)．
∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99
J和－3
J．
(2)W＝F·＝(F1＋F2)·
＝[(3，4)＋(6，－5)]·(－13，－15)
＝(9，－1)·(－13，－15)
＝9×(－13)＋(－1)×(－15)
＝－117＋15＝－102(J)．
∴合力F对质点所做的功为－102
J．
13．解
(1)由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得－G＝F1＋F2，|F1|＝，
|F2|＝|G|tan
θ，
当θ从0°趋向于90°时，|F1|，|F2|都逐渐增大．
(2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cos
θ≥．
又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°．
14．解 e1＋e2＝(1，1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为(，)；3e1＋2e2＝(3，2)，21·世纪
教育网
|3e1＋2e2|＝，其单位向量为(，)，如图．
依题意，||＝t，||＝t，
∴＝||(，)＝(t，t)，
＝||(，)＝(3t，2t)，
由P0(－1，2)，Q0(－2，－1)，
得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2，2t－1)，
∴＝(－1，－3)，
＝(2t－1，t－3)，
由于⊥，∴·＝0，
即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2．
∴当⊥时所需的时间为2
s．
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