3.3 二倍角的三角函数 学案
【课时目标】 1．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．2．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
知识梳理
1．倍角公式
(1)S2α：sin 2α＝2sin αcos α，sin cos ＝sin α；
(2)C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1
＝1－2sin2α；
(3)T2α：tan 2α＝．
2．倍角公式常用变形
(1)＝__________，＝__________；
(2)(sin α±cos α)2＝______________；
(3)sin2α＝__________________，cos2α＝
________________________________________________________________________．
作业设计
一、选择题
1．计算1－2sin222．5°的结果等于( )
A． B． C． D．
2．函数y＝2cos2(x－)－1是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为的偶函数
3．若sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值为( )
A．－ B．－ C． D．
4．若＝1，则的值为( )
A．3 B．－3 C．－2 D．－
5．如果|cos θ|＝，<θ<3π，则sin 的值是( )
A．－ B． C．－ D．
6．已知角α在第一象限且cos α＝，则等于( )
A． B． C． D．－
二、填空题
7．的值是________．
8．函数f(x)＝cos x－sin2x－cos 2x＋的最大值是______．
9．已知tan ＝3，则＝______．
10．已知sin22α＋sin 2αcos α－cos 2α＝1，α∈(0，)，则α＝________．
三、解答题
11．求证：＝tan4 A．
12．若cos＝－，求的值．
能力提升
13．求值：cos 20°cos 40°cos 80°．
14．求值：tan 70°·cos 10°·(tan 20°－1)．
反思感悟
1．对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：
8α是4α的二倍；6α是3α的二倍；4α是2α的二倍；3α是α的二倍；是的二倍；是的二倍；＝ (n∈N*)．21世纪教育网版权所有
2．二倍角余弦公式的运用
在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛，二倍角的常用形式： ①1＋cos 2α＝2cos2α，②cos2α＝，③1－cos 2α＝2sin2α，④sin2α＝
答案
知识梳理
2．(1)cos α sin α (2)1±sin 2α (3)
作业设计
1．B 2．A
3．B [cos(＋2α)＝－cos(－2α)＝－cos[2(－α)]
＝－[1－2sin2(－α)]＝2sin2(－α)－1＝－．]
4．A [∵＝1，∴tan θ＝－．
∴＝＝
＝＝＝3．]
5．C [∵<θ<3π，|cos θ|＝，
∴cos θ<0，cos θ＝－．
∵<<π，∴sin <0．
由sin2＝＝，
∴sin ＝－．]
6．C [∵cos α＝且α在第一象限，∴sin α＝．
∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝－，
sin 2α＝2sin αcos α＝，
原式＝
＝＝．]
7．2
解析 ＝
＝＝2．
8．2
解析 f(x)＝cos x－(1－cos2x)－(2cos2x－1)＋
＝－cos2x＋cos x＋
＝－2＋2．
∴当cos x＝时，f(x)max＝2．
9．3
解析 ＝
＝＝tan ＝3．
10．
解析 ∵sin22α＋sin 2αcos α－(cos 2α＋1)＝0．
∴4sin2αcos2α＋2sin αcos2α－2cos2α＝0．
∵α∈(0，)．∴2cos2α>0．
∴2sin2α＋sin α－1＝0．
∴sin α＝(sin α＝－1舍)．
∴α＝．
11．证明 ∵左边＝
＝2＝2＝(tan2 A)2
＝tan4 A＝右边．
∴＝tan4 A．
12．解 ＝
＝
＝sin 2x＝sin 2xtan
＝costan
＝tan，
∵∴－<－x<－π．
又∵cos＝－，
∴sin＝，tan＝－．
∴原式＝×＝－．
13．解 原式＝
＝
＝
＝＝．
14．解 原式＝·cos 10°
＝·cos 10°·
＝·cos 10°·2
＝＝＝－1．
3.3 二倍角的三角函数 学案
【课时目标】 1．了解半角公式及推导过程．2．能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变换．3．了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律．
知识梳理
1．半角公式
(1)S：sin ＝___________________________________________________________；
(2)C：cos ＝___________________________________________________________；
(3)T：tan ＝____________________________________________________(无理形式)
＝__________________＝__________________________________________(有理形式)．
2．辅助角公式
使asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)成立时，cos φ＝______________________，sin φ＝______________，其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由__________决定．
作业设计
一、选择题
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B．
C．－ D．
2．函数y＝sin＋sin的最大值是( )
A．2 B．1 C． D．
3．函数f(x)＝sin x－cos x，x∈的最小值为( )
A．－2 B．－ C．－ D．－1
4．使函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)为奇函数的θ的一个值是( )
A． B． C． D．
5．函数f(x)＝sin x－cos x(x∈[－π，0])的单调递增区间是( )
A． B．
C． D．
6．若cos α＝－，α是第三象限的角，则等于( )
A．－ B． C．2 D．－2
二、填空题
7．函数f(x)＝sin(2x－)－2sin2x的最小正周期是______．
8．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是________．
9．已知等腰三角形顶角的余弦值为，则底角的正切值为________．
10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos 2θ的值等于____．21世纪教育网版权所有
三、解答题
11．已知函数f(x)＝sin＋2sin2 (x∈R)．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合．
12．已知向量m＝(cos θ，sin θ)和n＝(－sin θ，cos θ)，θ∈(π，2π)，且|m＋n|＝，求cos的值．21教育网
能力提升
13．当y＝2cos x－3sin x取得最大值时，tan x的值是( )
A． B．－ C． D．4
14．求函数f(x)＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)的最大值．
反思感悟
1．学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式．21·cn·jy·com
2．辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a，b)同象限；②tan φ＝(或sin φ＝，cos φ＝)．www.21-cn-jy.com
3．研究形如f(x)＝asin x＋bcos x的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式．因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一．对一些特殊的系数a、b应熟练掌握．例如sin x±cos x＝sin；sin x±cos x＝2sin等．2·1·c·n·j·y
答案
知识梳理
1．(1)± (2)± (3)± 2． 点(a，b)
作业设计
1．C
2．B [y＝2sin xcos ＝sin x．]
3．D [f(x)＝sin，x∈．
∵－≤x－≤，
∴f(x)min＝sin＝－1．]
4．D [f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)
＝2sin．
当θ＝π时，f(x)＝2sin(2x＋π)＝－2sin 2x．]
5．D [f(x)＝2sin，f(x)的单调递增区间为
(k∈Z)，
令k＝0得增区间为．]
6．A [∵α是第三象限角，cos α＝－，
∴sin α＝－．
∴＝＝
＝·
＝＝＝－．]
7．π
解析 f(x)＝sin 2x－cos 2x－(1－cos 2x)
＝sin 2x＋cos 2x－＝sin(2x＋)－，
∴T＝＝π．
8．
解析 设α为该等腰三角形的一底角，
则cos α＝，顶角为180°－2α．
∴sin(180°－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α
＝2·＝．
9．3
解析 设该等腰三角形的顶角为α，则cos α＝，
底角大小为(180°－α)．
∴tan＝tan＝
＝＝＝3．
10．
解析 由题意，5cos θ－5sin θ＝1，θ∈．
∴cos θ－sin θ＝．
由(cos θ＋sin θ)2＋(cos θ－sin θ)2＝2．
∴cos θ＋sin θ＝．
∴cos 2θ＝cos2 θ－sin2 θ
＝(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)＝．
11．解 (1)∵f(x)＝sin2＋1－
cos2
＝2＋1
＝2sin＋1
＝2sin＋1，∴T＝＝π．
(2)当f(x)取得最大值时，sin＝1，
有2x－＝2kπ＋，
即x＝kπ＋ (k∈Z)，
∴所求x的集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
12．解 m＋n＝(cos θ－sin θ＋，cos θ＋sin θ)，
|m＋n|＝
＝＝
＝2．
由已知|m＋n|＝，得cos＝．
又cos＝2cos2－1，
所以cos2＝．
∵π<θ<2π，
∴<＋<．
∴cos<0．
∴cos＝－．
13．B [y＝2cos x－3sin x
＝
＝(sin φcos x－cos φsin x)
＝sin(φ－x)，
当sin(φ－x)＝1，φ－x＝2kπ＋时，y取到最大值．
∴φ＝2kπ＋＋x，(k∈Z)
∴sin φ＝cos x，cos φ＝－sin x，
∴cos x＝sin φ＝，sin x＝－cos φ＝－．
∴tan x＝－．]
14．解 3sin(x＋20°)＋5sin(x＋80°)
＝3sin(x＋20°)＋5sin(x＋20°)cos 60°＋5cos(x＋20°)sin 60°21cnjy.com
＝sin(x＋20°)＋cos(x＋20°)
＝sin(x＋20°＋φ)
＝7sin
其中cos φ＝，sin φ＝．所以f(x)max＝7．
