1.4 单位圆与正弦函数 教案
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1.4 单位圆与正弦函数 教案
一、教学目标
1、知识与技能：
(1)回忆锐角的正弦函数定义；
(2)熟练运用锐角正弦函数的性质；
(3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；
(4)掌握任意角的正弦函数的定义；
(5)理解有向线段的概念；
(6)了解正弦函数图像的画法；
(7)掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。
2、过程与方法：
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。 【来源：21·世纪·教育·网】
二、教学重、难点
重点:
1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
难点:
1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。
三、学法与教法
在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。教法: 探究讨论法。21·cn·jy·com
四、教学过程
(一)、创设情境，揭示课题
我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆(1)角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；(2)初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。(板书课题)
(二)、探究新知
在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：sinα＝，如图：sinA＝，由于a是直角边，c是斜边，所sinA∈(0，1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？21教育网
在直角坐标系中，(如图所示)，设角α(α∈(0，))的终边与半经为r的圆交于点P(a，b)，则角α的正弦值是：sinα＝.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r＝1(即为单位圆)，那么sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。www.21-cn-jy.com
直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数？21·世纪*教育网
一般地，在直角坐标系中(如上图)，对任意角α，它的终边与单位圆交于点P(a，b)，我们可以唯一确定点P(a，b)的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记作y＝sinα(α∈R)。通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y＝sinx.正弦函数值有时也叫正弦值.www-2-1-cnjy-com
请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？角和角呢？－角和角呢？－角和－角呢？2-1-c-n-j-y
sin=sin= sin=-sin=-y
Sin(-)=sin()=y sin(-)=sin(-)=y
通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数的周期。21世纪教育网版权所有
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。21cnjy.com
【巩固深化，发展思维】
1．若点P(—3，y)是α终边上一点，且sinα＝—，求y值．【】
2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y＝—3x (x≤0)的图像上，则sinα＝ 。【】2·1·c·n·j·y
(三)、归纳整理，整体认识：
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
(四)、作业布置：1、已知锐角终边上一点(3，4)，求角的正弦值。
2、已知是角终边上一点，求的值。
3、已知角的终边落在直线上，求的值。
4、若实数，满足，求：的值。
(五)、课后反思:
A
B
c
a
b
y
P(ab)
r
M
O
y
、
P(-y)
P(y)
Y
P（y）
r
M
M
O
y
y
M
P(y)
P（y）
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1.4 单位圆与正弦函数 教案
一、教学目标
1、知识与技能：
(1)回忆锐角的正弦函数定义；
(2)熟练运用锐角正弦函数的性质；
(3)理解通过单位圆引入任意角的正弦函数的意义；
(4)掌握任意角的正弦函数的定义；
(5)理解有向线段的概念；
(6)了解正弦函数图像的画法；
(7)掌握五点作图法，并会用此方法画出[0，2π]上的正弦曲线。
2、过程与方法：
初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观：
通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，体会特殊与一般的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。 【来源：21·世纪·教育·网】
二、教学重、难点
重点:
1.任意角的正弦函数定义，以及正弦函数值的几何表示。
2.正弦函数图像的画法。
难点:
1.正弦函数值的几何表示。
2.利用正弦线画出y＝sinx，x∈[0， 2π]的图像。
三、学法与教法
在初中，我们知道直角三角形中锐角的对边比上斜边就叫着这个角的正弦，当把锐角放在直角坐标系中时，角的终边与单位圆交于一点，正弦函数对应于该点的纵坐标，当是任意角时，通过函数定义的形式引出正弦函数的定义；作正弦函数y＝sinx图像时，在正弦函数定义的基础上，通过平移正弦线得出其图像，再归结为五点作图法。教法: 探究讨论法。21·cn·jy·com
四、教学过程
(一)、创设情境，揭示课题
我们学习角的概念的推广和弧度制，就是为了学习三角函数。请同学们回忆(1)角的概念的推广及弧度制、象限角等概念；(2)初中所学的正弦函数是如何定义的？并想一想它有哪些性质？学生思考回答以后，教师小结。(板书课题)
(二)、探究新知
在初中，我们学习了锐角α的正弦函数值：sinα＝，如图：sinA＝，由于a是直角边，c是斜边，所sinA∈(0，1)。由于我们通常都是将角放到平面直角坐标系中，我们来看看会发生什么？21教育网
在直角坐标系中，(如图所示)，设角α(α∈(0，))的终边与半经为r的圆交于点P(a，b)，则角α的正弦值是：sinα＝.根据相似三角形的知识可知，对于确定的角α，都不会随圆的半经的改变而改变。为简单起见，令r＝1(即为单位圆)，那么sinα＝b，也就是说，若角α的终边与单位圆相交于P，则点P的纵坐标b就是角α的正弦函数。www.21-cn-jy.com
直角三角形显然不能包含所有的角，那么，我们可以仿照锐角正弦函数的定义．你认为该如何定义任意角的正弦函数？21·世纪*教育网
一般地，在直角坐标系中(如上图)，对任意角α，它的终边与单位圆交于点P(a，b)，我们可以唯一确定点P(a，b)的纵坐标b，所以P点的纵坐标b是角α的函数，称为正弦函数，记作y＝sinα(α∈R)。通常我们用x，y分别表示自变量与因变量，将正弦函数表示为y＝sinx.正弦函数值有时也叫正弦值.www-2-1-cnjy-com
请同学们画图，并利用正弦函数的定义比较说明：角与角的终边与单位圆的交点的纵坐标有什么关系？它们的正弦值有什么关系？角和角呢？－角和角呢？－角和－角呢？2-1-c-n-j-y
sin=sin= sin=-sin=-y
Sin(-)=sin()=y sin(-)=sin(-)=y
通过上述问题的讨论，容易得到：终边相同的角的正弦函数值相等，即
sin(2kπ＋α)＝sinα (k∈Z)，说明对于任意一个角α，每增加2π的整数倍，其正弦函数值不变。所以，正弦函数是随角的变化而周期性变化的，正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z，k≠0)为正弦函数的周期。21世纪教育网版权所有
2π是正弦函数的正周期中最小的一个，称为最小正周期。一般地，对于周期函数f(x)，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期。21cnjy.com
【巩固深化，发展思维】
1．若点P(—3，y)是α终边上一点，且sinα＝—，求y值．【】
2．若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在函数y＝—3x (x≤0)的图像上，则sinα＝ 。【】2·1·c·n·j·y
(三)、归纳整理，整体认识：
(1)请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到的主要数学思想方法有那些？
(2)在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请向老师提出。
(3)你在这节课中的表现怎样？你的体会是什么？
(四)、作业布置：1、已知锐角终边上一点(3，4)，求角的正弦值。
2、已知是角终边上一点，求的值。
3、已知角的终边落在直线上，求的值。
4、若实数，满足，求：的值。
(五)、课后反思:
A
B
c
a
b
y
P(ab)
r
M
O
y
、
P(-y)
P(y)
Y
P（y）
r
M
M
O
y
y
M
P(y)
P（y）
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