2.1 从位移、速度、力到向量 同步练习1（含答案）

2.1 从位移、速度、力到向量 同步练习
基础巩固
一、选择题
1．两列火车从同一站台沿相反方向开走，走了相同的路程．设两列火车的位移向量分别为a和b，那么下列命题错误的是(　　)21教育网
A．a与b为平行向量 B．a与b为模相等的向量
C．a与b为不相等的向量 D．a与b为相等的向量
[答案]　D
[解析]　由于a和b的大小相等，方向相反，所以|a|＝|b|，且a∥b.
2．若向量a与b不相等，则a与b(　　)
A．不共线 B．长度不相等
C．不可能都是单位向量 D．不可能都是零向量
[答案]　D
[解析]　若a＝b＝0，则a＝b.
3．关于非零向量a的方向上的单位向量a0说法不正确的是(　　)
A．a0唯一　　　　　　 B．a0与a方向一致
C．a0＝1　 D．a0与a是共线向量
[答案]　C
[解析]　应写为|a0|＝1.
4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所组成的图形是(　)
A．一条线段　 B．一段圆弧21世纪教育网
C．圆上一群孤立点　 D．一个圆
[答案]　D
[解析]　单位向量长度是一个单位，但方向任意，当把单位向量归结到同一个始点，其终点构成一个圆，即半径为1的圆．故选D.2·1·c·n·j·y
5．在下列判断中，正确的是(　　)
①长度为0的向量是零向量
②零向量的方向都是相同的
③单位向量的长度都相等
④单位向量都是同方向的
⑤任意向量与零向量都共线
A．①②③　 B．②③④
C．①②⑤　 D．①③⑤
[答案]　D
[解析]　由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③⑤正确，④不正确，所以答案是D.
6．如图，在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是(　　)
A．与向量相等的向量只有一个(不含)
B．与向量的模相等的向量有9个(不含)
C．的模恰为的模的倍
D．与不共线
[答案]　D
[解析]　由有关概念逐一验证知，选项A，B，C正确．
二、填空题
7．如图，在平行四边形ABCD中，与共线的向量是________，与相等的向量是________．21世纪教育网版权所有
[答案]　，，　
8．给出下列说法．
①若＝，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；②在平行四边形ABCD中，一定有＝；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④若a∥b，b∥c，则a∥c.
其中正确的序号为________．
[答案]　②③
[解析]　＝，A，B，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确．在平行四边形ABCD中，||＝||，与平行且方向相同，所以＝，故②正确．若a＝b，则|a|＝|b|，且a与b方向相同；若b＝c，则|b|＝|c|，且b与c方向相同，则a与c长度相等且方向相同，所以a＝c，故③正确．对于④，当b＝0时，a与c不一定平行，故④不正确．
三、解答题
9．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝.求证：＝.
[证明]　∵＝，
∴||＝||且AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴||＝||，且DA∥CB.
又∵与方向相同，∴＝.
∵＝，
∴||＝||且CN∥MA.
∴四边形CNAM是平行四边形．
∴||＝||，且CM∥NA.
又与方向相同，
∴＝，∴＝.
能力提升
一、选择题
1．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题错误的是(　　)21·cn·jy·com
A．C?A　 B．A∩B＝{a}
C．C?B　 D．A∩B?{a}
[答案]　B
[解析]　因为A∩B是由与a共线且与a的模相等的向量构成的集合，即由与a的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以A∩B＝{a}是错误的．【来源：21·世纪·教育·网】
2．下列说法正确的是(　　)
A．向量与是共线向量，则所在直线平行于所在的直线
B．向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反
C．向量的长度与向量的长度相等
D．单位向量都相等
[答案]　C
[解析]　对于A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上；21·世纪*教育网
对于B，由于零向量与任一向量平行，因此若a，b中有一个为零向量，其方向是不确定的；
对于C；向量与方向相反，但长度相等；
对于D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同．故选C.www-2-1-cnjy-com
二、填空题
3．如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)与向量相等的向量为______；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
[答案]　(1)，；(2)6
[解析]　(1)利用平行四边形的性质，确定与||相等的向量，再确定与的方向相同．(2)要求||需建立||与||的联系．因为＝，所以E、D、C三点共线，从而问题解决．
(1)在平行四边形ABCD和ABDE中，
∵＝，＝，∴＝.
∴应填：、.
(2)由(1)知，＝，所以E、D、C三点共线，
||＝||＋||＝2||＝6.
∴应填：6.
4．下列命题正确的是________．
(1)零向量没有方向；
(2)单位向量都相等；
(3)向量就是有向线段；
(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；
(5)若a＝b，b＝c，则a＝c；
(6)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，＝.
[答案]　(4)(5)
[解析]　(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；
(2)该命题不正确，单位向量只是模均为单位长度1，而对方向没要求；
(3)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；
(4)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；
(5)该命题正确．由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a＝c；
(6)该命题不正确．显然有＝，但≠.
三、解答题
5．在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝，证明：四边形DNBM是平行四边形．21cnjy.com
[证明]　∵＝，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD，BC平行且相等．
又∵＝，∴四边形CNAM为平行四边形，
∴AN，MC平行且相等，∴AD－AN＝BC－MC，
即DN＝MB，∴DN，MB平行且相等，
∴四边形DNBM是平行四边形．
6．一个人从A点出发沿东北方向走了100m到达B点，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100m到达C点，求此人从C点走回A点的位移．www.21-cn-jy.com
[解析]　如图所示，
||＝100m，||＝100m，∠ABC＝45°＋15°＝60°，
∴△ABC为正三角形．
∴||＝100m，
即此人从C点返回A点所走的路程为100m.
∵∠BAC＝60°，
∴∠CAD＝∠BAC－∠BAD＝15°，
即此人行走的方向为西偏北15°.
故此人从C点走回A点的位移为沿西偏北15°方向100m.
7．如图，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
求：(1)写出相等的向量；
(2)与共线的向量；
(3)模相等的向量；
(4)与是否为相等向量．
[解析]　(1)＝，＝，＝，＝.
(2)与共线的向量为：，，.
(3)||＝||＝||＝||＝||＝||＝||＝||.
(4)与不相等．