2.1 从位移、速度、力到向量 同步练习2（含答案）

2.1 从位移、速度、力到向量 同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.下列命题中，正确的是　(　　)
A.两个相等的向量的起点、方向、长度必须都相同
B.若a，b是两个单位向量，则a=b
C.若向量a和b共线，则向量a，b的方向相同
D.零向量的长度为0，方向是任意的
【解析】选D.两个向量相等，只要长度相等，且方向相同即可，起点可以不同，故A不正确；两个单位向量的方向不一定相同，所以它们不一定相等，故B不正确；方向相同或相反的向量为共线向量，故C不正确；零向量的长度为0，其方向是任意的，故D正确.
2.设O是正△ABC的中心，则向量，，是　(　　)
A.有相同起点的向量　　　　　 B.平行向量
C.模相等的向量 D.相等向量
【解析】选C.向量，，分别是以三角形的顶点和中心为起点和终点的向量，因为O是正三角形的中心，所以O到三个顶点的距离相等，即||=||=||，故选C.
3.下列三个说法正确的个数是
①零向量是长度为0的向量，所以零向量与非零向量不平行.
②若非零向量与是共线向量，则A，B，C，D四点共线.
③因为向量∥，所以AB∥CD.　(　　)
A.0　　　　　 B.1　　　　　 C.2　　　　　 D.3
【解析】选A.零向量与任意向量都平行，故①错误；方向相同或相反的向量为共线向量，若与无公共点，则A，B，C，D四点不一定共线，故②错误；当向量∥，AB与CD平行或共线，故③错误.本题应选A.
4.四边形ABCD中，如果=，且||=||，则四边形ABCD为　 (　　)
A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形
【解题指南】由=，可得四边形ABCD为平行四边形，再由||=||，可得此平行四边形是矩形，从而得出结论.
【解析】选C.四边形ABCD中，如果=，则四边形ABCD为平行四边形.再由||=||，可得平行四边形的对角线相等，四边形ABCD是矩形，故选C.
5.如图，设ABCD是菱形，下列可以用同一条有向线段表示的两个向量是　(　　)
A.和 B.和
C.和 D.和
【解析】选B.由菱形的性质知:和大小相等，方向相同，故选B.
【误区警示】本题容易出现因概念不清而错选的情况.“用同一条有向线段表示”即“两个向量相等”.
6.如图所示，四边形ABCD，CEFG，CGHD是全等的菱形，则下列结论中不成立的是　
(　　)
A.||=|| B.与共线
C.与共线 D.=
【解析】选C.由题目条件可知AB=EF，AB∥CD∥FG，CD=FG，但是∠DEH≠∠BDC，故BD与EH不平行，所以A，B，D成立，C不成立.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.把所有单位向量的起点集中于一点O，则它们终点的轨迹是　　　　　　　　　　.
【解析】如图所示，轨迹是以O为圆心，半径为1的圆.
答案:以O为圆心，以1为半径的圆
8.把平行于某一直线的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是　　　　.
【解析】由于这些向量平行于同一条直线，故这些向量为共线向量，当把这些向量的起点移到同一起点时，终点在过定点与已知直线平行的直线上.
答案:直线
9.如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中:
(1)与相等的向量有　　　　　　　　　　　.
(2)与共线的向量有　　　　　　　　　　　.
(3)与的模相等的向量有　　　　　　　　　.
(4)向量与　　　　　　　(填“相等”“不相等”)
【解析】因为O是正方形ABCD对角线的交点且四边形OAED，OCFB都是正方形.
(1)结合相等向量的定义可知与相等的向量有.(2)结合共线向量的定义可知与共线的向量有，，.(3)与的模相等的向量有，，，，，，.(4)向量与方向不同，故不相等.
答案:(1)　(2)，，　(3)，，，，，，　(4)不相等
【误区警示】解此类题目时一定要分清相等向量、共线向量等概念的区别.
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图是4×5的矩形(每个小方格都是正方形)，试作出与相等的向量，要求向量的起点和终点都在方格的顶点处.
【解析】如图，，为所求.
11.如图，四边形ABCD与ABDE都是平行四边形，则:
(1)与向量共线的向量有哪些？
(2)若||=1.5，求||.
【解题指南】(1)根据共线向量的定义，方向相同或相反的向量为共线向量，故在同一直线上或平行直线上的向量都是共线向量.
(2)利用向量共线的充要条件将用表示，求出模.
【解析】(1)，，，，，，.
(2)由平行四边形的性质||=||=||，
故||=2||=3.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知A={与a共线的向量}，B={与a长度相等的向量}，C={与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是　(　　)
A.C?A　　　　　　　 B.A∩B={a}
C.C?B D.A∩B?{a}
【解析】选B.与a共线的向量是与其方向相同或相反的向量，所以C?A，故A对；A∩B={a，-a}，故B错；因为B中的向量与a的长度相同，方向任意，故C?B，故C对；A∩B={a，-a}，所以{a}?A∩B，故D对.故选B.
2.在长方体ABCD-A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有　
(　　)
A.0个　　 B.6个　　 C.7个　　 D.9个
【解题指南】利用长方体的性质和向量的模相等即可得出.
【解析】选C.如图，与向量模相等的向量有，，，，，，，共7个.故选C.
【误区警示】本题容易漏掉而误选B，解题时应紧扣题意，全面考察.
3.在四边形ABCD中，=，则相等的向量是　(　　)
A.与 B.与
C.与 D.与
【解析】选D.由题意可知四边形ABCD是平行四边形，由=知A不正确，由=知B错误.显然选项C错误，由=，故D正确.
4.下列说法中，正确的是　(　　)
A.单位向量都共线
B.任意向量与0平行
C.平行向量不一定是共线向量
D.向量就是有向线段
【解析】选B.A选项，单位向量间不一定共线；B正确；C选项，平行向量一定是共线向量；D选项混淆了向量与有向线段，故选B.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图所示，△ABC和△A′B′C′是在各边的处相交的两个正三角形，△ABC的边长为a，图中列出了长度均为的若干个向量，则
(1)与向量相等的向量是　　　　　.
(2)与向量平行的向量是　　　　　.
【解题指南】(1)在图形中找出与向量相等的向量，即找出和已知向量大小相等，方向相同的向量.
(2)与向量平行的向量，是指所有与已知向量方向相同或相反的向量，图中很多，要做到不重不漏.
【解析】(1)与向量相等的向量是和.
(2)与向量平行的向量是，，，，.
答案:(1)，
(2)，，，，
6.在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1)
(1)是共线向量的有　　　　　.
(2)模相等的向量有　　　　　.
【解析】(1)因为向量a与d，b与e方向相反，故共线.(2)向量a，d，c的模相等.
答案:(1)a与d，b与e
(2)a，d，c
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.某人从A点出发向西走了10m，到达B点，然后改变方向按西偏北60°走了15m到达C点，最后又向东走了10m到达D点.
(1)作出向量，，(用1cm长的线段代表10m长)
(2)求||.
【解析】(1)如图.
(2)因为=，故四边形ABCD为平行四边形，所以||=||=15(m).
【拓展延伸】向量相等在判断图形性质中的应用
　　向量相等指两个向量的方向相同，模相等，若两个向量所在的边不共线，则两个边平行且相等，这个特性往往作为判断平行四边形的依据.向量相等还具有判定平行的功能，解题时要注意应用.
8.如图，在以长、宽、高分别为AB=3，AD=2，AA1=1的长方体ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量.
(3)试写出与相等的所有向量.
【解题指南】(1)根据单位向量的定义及已知条件可得答案.
(2)通过计算可得答案.
(3)由相等向量的定义可得答案.
【解析】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个.
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，共8个.
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有，及，共3个.
【变式训练】O是正六边形ABCDEF的中心，且=a，=b，=c，分别写出图中与a，b，c相等的向量.
【解析】与a相等的向量是:，，；
与b相等的向量是:，，；
与c相等的向量是:，，.