2.2.1 向量的加法 同步练习3（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.1 向量的加法 同步练习3（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 341.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-28 16:07:14 | ||
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文档简介
2.2.1 向量的加法 同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.向量(+)+(+)+等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.原式=++++=.
2.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则++= ( )
A. B. C. D.
【解题指南】根据图形，由向量加法的三角形法则依次求和，即可得到和向量的表达式，从图形中找出相对应的有向线段即可.
【解析】选B.由题图可得，++=+=.故选B.
3. P为四边形ABCD所在平面上一点，+++=+，则P为 ( )
A.四边形ABCD对角线交点 B.AC中点
C.BD中点 D.CD边上一点
【解题指南】利用向量的三角形法则可得:=+，=+.由于+++=+，
可得+=+，即+=0.即可得出.
【解析】选B.因为=+，=+.
又+++=+，
所以+=+，
所以+=0.
所以点P为线段AC的中点.故选B.
4.在平行四边形ABCD中，++等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.++= +=.故选C.
5.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则+=
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.设图中H左侧的点为I，连接OPIQ，易知四边形OPIQ为平行四边形，故+=，又=，故选D.
【误区警示】本题容易出现误选A的错误，原因是误认为OPHQ为平行四边形，因此观察图形时应仔细.
6.若|a|=3，|b|=4，且a，b方向相反，则|a+b|= ( )
A.3 B.4 C.5 D.1
【解析】选D.由题意可知|a+b|=|b|-|a|=1.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.在矩形ABCD中，+= ，+= ，+= .
【解析】由向量加法的三角形法则可知，+=，+=0.
由向量加法的平行四边形法则可知，+=.
答案: 0
8.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a+b|= ，a+b的方向是 .
【解析】在平面内任意取一点O(如图)，
作=a，=b，则=a+b，||=||=8，所以||==
=8(km)，
向量的方向是东北方向.
答案:8km 东北方向
9.根据图示填空:
(1)c+d= .(2)f+e= .
(3)a+b+d= .(4)c+d+e= .
【解析】(1)c+d=+==f.
(2)f+e=+==g.
(3)a+b+d=(+)+=+==f.
(4)c+d+e=(+)+=+==g.
答案:(1)f (2)g (3)f (4)g
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式:
(1)++.
(2)+++.
【解析】(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
11.在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
【解析】作出图形如图:
船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水+v船=v实际，结合已知条件，可知四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，||=||=|v水|=10m/min，
||=|v船|=20m/min，
所以cosα===，
所以α=60°，即船行进的方向与水流方向成120°角.
【变式训练】一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d=100m，船的静水航行速度为4m/s，水流的速度为2m/s，试问当船头与水流方向的夹角为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是多大？
【解析】设小船行驶到对岸所用的时间为ts，如图(1)，设表示水流的速度，表示船的航行速度，以AD，AB为邻边作?ABCD，则就是船实际航行的速度.设∠BAC=α，∠BAD=θ，则相对于垂直对岸的速度为v=sinθ，小船行驶到对岸所用的时间为t====，θ∈(0，π).
故当sinθ=1，即θ=90°时，小船行驶到对岸所用的时间最少，为25s.
当θ=90°，如图(2)，在Rt△ABC中，||=2，||=||=4，所以tanα=2.
答:当船头与水流方向的夹角为90°时，小船行驶到对岸所用的时间最少，为25s，此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是2.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果与向量共线的有 ( )
①(+)+；
②(+)+；
③(+)+；
④(+)+.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解题指南】由向量的运算可得4个结果均为向量，由向量的共线可得答案.
【解析】选D.由向量的运算可得
①(+)+=+=，与向量共线；
②(+)+=+=，与向量共线；
③(+)+=+=，与向量共线；
④(+)+=+=，与向量共线.故选D.
2.河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为 ( )
A.13m/s B.12m/s C.17m/s D.15m/s
【解析】选A.设河水的流速|v2|=5m/s，
静水速度与河水速度的合速度|v|=12m/s，
小船的静水速度为|v1|，
因为为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即:静水速度v1斜向上游方向，河水速度|v2|=5m/s平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度|v|=12m/s指向对岸，所以静水速度|v1|===13(m/s).
3.在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则必有 ( )
A.平行四边形ABCD为菱形
B.平行四边形ABCD为矩形
C.平行四边形ABCD为正方形
D.以上都不正确
【解析】选B.因为+=，=，
所以+=+=.
由|+|=|+|可知||=||，
所以四边形ABCD是矩形.
4.设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为
( )
①a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|<|a|+|b|；⑤|a+b|=|a|+|b|；
⑥|a+b|>|a|+|b|.
A.①②⑥ B.①③⑥
C.①③⑤ D.③④⑤⑥
【解析】选C.因为a=(+)+(+)=+++=+=0，故只有①③⑤正确.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列说法正确的是 (填序号)
(1)+=
(2)+=
(3)+=
(4)+++≠0
【解析】根据题意可得:
(1)+=+=≠，所以(1)错误.
(2)+=+=≠，所以(2)错误.
(3)+=+=，所以(3)正确.
(4)+++=0+0=0，所以(4)错误.
答案:(3)
6.当非零向量a，b(a，b不共线)满足 时，能使a+b平分a与b的夹角.
【解析】菱形的对角线平分对角，由平行四边形法则可得，当|a|=|b|时，a+b平分a与b的夹角.
答案:|a|=|b|
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.如图，点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，
求证:(1)+=+.
(2)++=0.
【证明】(1)因为+=，
+=，所以+=+.
(2)由向量加法的平行四边形法则可得:
++=(+)+(+)+(+)=(+)+(+)+(+)=0.
【拓展延伸】用向量证明几何问题的一般步骤
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量.
(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.
(3)还原成几何问题.
【变式训练】设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式:
(1)+.
(2)+ +.
(3)++.
(4)+++.
【解析】(1)+=.
(2)++=++=0.
(3)++=++
=+=.
(4)+++
=+++=.
8.重为|G|的物体系在OA，OB两根等长的轻绳上，轻绳挂在半圆形支架上.如图所示，若A端位置固定不变，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中.OA绳和OB绳的拉力如何变化？
【解题指南】OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，物体始终处于平衡状态，找出不变的物理量，画出平行四边形进行分析.
【解析】对结点O受力分析如图:
结点O始终处于平衡状态，所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的.
所以OA绳和OB绳的拉力变化为:OA绳受力大小变化情况:变小；OB绳受力大小变化情况是:先变小后变大.
【变式训练】如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子拉力的大小.
【解析】如图，作?OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，和分别表示两根绳子的拉力，则表示这两根绳子拉力的合力，则||=300N.
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
则||=||cos30°=300×=150(N)，
||=||sin30°=300×=150(N)，
即||=||=150(N).
则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.向量(+)+(+)+等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.原式=++++=.
2.如图所示，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，则++= ( )
A. B. C. D.
【解题指南】根据图形，由向量加法的三角形法则依次求和，即可得到和向量的表达式，从图形中找出相对应的有向线段即可.
【解析】选B.由题图可得，++=+=.故选B.
3. P为四边形ABCD所在平面上一点，+++=+，则P为 ( )
A.四边形ABCD对角线交点 B.AC中点
C.BD中点 D.CD边上一点
【解题指南】利用向量的三角形法则可得:=+，=+.由于+++=+，
可得+=+，即+=0.即可得出.
【解析】选B.因为=+，=+.
又+++=+，
所以+=+，
所以+=0.
所以点P为线段AC的中点.故选B.
4.在平行四边形ABCD中，++等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.++= +=.故选C.
5.如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则+=
( )
A. B. C. D.
【解析】选D.设图中H左侧的点为I，连接OPIQ，易知四边形OPIQ为平行四边形，故+=，又=，故选D.
【误区警示】本题容易出现误选A的错误，原因是误认为OPHQ为平行四边形，因此观察图形时应仔细.
6.若|a|=3，|b|=4，且a，b方向相反，则|a+b|= ( )
A.3 B.4 C.5 D.1
【解析】选D.由题意可知|a+b|=|b|-|a|=1.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.在矩形ABCD中，+= ，+= ，+= .
【解析】由向量加法的三角形法则可知，+=，+=0.
由向量加法的平行四边形法则可知，+=.
答案: 0
8.若a表示“向东走8km”，b表示“向北走8km”，则|a+b|= ，a+b的方向是 .
【解析】在平面内任意取一点O(如图)，
作=a，=b，则=a+b，||=||=8，所以||==
=8(km)，
向量的方向是东北方向.
答案:8km 东北方向
9.根据图示填空:
(1)c+d= .(2)f+e= .
(3)a+b+d= .(4)c+d+e= .
【解析】(1)c+d=+==f.
(2)f+e=+==g.
(3)a+b+d=(+)+=+==f.
(4)c+d+e=(+)+=+==g.
答案:(1)f (2)g (3)f (4)g
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式:
(1)++.
(2)+++.
【解析】(1)++=++=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
11.在静水中船的速度为20m/min，水流的速度为10 m/min，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.
【解析】作出图形如图:
船速v船与岸的方向成α角，由图可知v水+v船=v实际，结合已知条件，可知四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中，||=||=|v水|=10m/min，
||=|v船|=20m/min，
所以cosα===，
所以α=60°，即船行进的方向与水流方向成120°角.
【变式训练】一条小船要渡过一条两岸平行的小河，河的宽度d=100m，船的静水航行速度为4m/s，水流的速度为2m/s，试问当船头与水流方向的夹角为多大时，小船行驶到对岸所用的时间最少？此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是多大？
【解析】设小船行驶到对岸所用的时间为ts，如图(1)，设表示水流的速度，表示船的航行速度，以AD，AB为邻边作?ABCD，则就是船实际航行的速度.设∠BAC=α，∠BAD=θ，则相对于垂直对岸的速度为v=sinθ，小船行驶到对岸所用的时间为t====，θ∈(0，π).
故当sinθ=1，即θ=90°时，小船行驶到对岸所用的时间最少，为25s.
当θ=90°，如图(2)，在Rt△ABC中，||=2，||=||=4，所以tanα=2.
答:当船头与水流方向的夹角为90°时，小船行驶到对岸所用的时间最少，为25s，此时小船的实际航行速度与水流速度的夹角的正切值是2.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果与向量共线的有 ( )
①(+)+；
②(+)+；
③(+)+；
④(+)+.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【解题指南】由向量的运算可得4个结果均为向量，由向量的共线可得答案.
【解析】选D.由向量的运算可得
①(+)+=+=，与向量共线；
②(+)+=+=，与向量共线；
③(+)+=+=，与向量共线；
④(+)+=+=，与向量共线.故选D.
2.河水的流速为5m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以12m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为 ( )
A.13m/s B.12m/s C.17m/s D.15m/s
【解析】选A.设河水的流速|v2|=5m/s，
静水速度与河水速度的合速度|v|=12m/s，
小船的静水速度为|v1|，
因为为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，即:静水速度v1斜向上游方向，河水速度|v2|=5m/s平行于河岸，
静水速度与河水速度的合速度|v|=12m/s指向对岸，所以静水速度|v1|===13(m/s).
3.在平行四边形ABCD中，若|+|=|+|，则必有 ( )
A.平行四边形ABCD为菱形
B.平行四边形ABCD为矩形
C.平行四边形ABCD为正方形
D.以上都不正确
【解析】选B.因为+=，=，
所以+=+=.
由|+|=|+|可知||=||，
所以四边形ABCD是矩形.
4.设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为
( )
①a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|<|a|+|b|；⑤|a+b|=|a|+|b|；
⑥|a+b|>|a|+|b|.
A.①②⑥ B.①③⑥
C.①③⑤ D.③④⑤⑥
【解析】选C.因为a=(+)+(+)=+++=+=0，故只有①③⑤正确.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知O是平行四边形ABCD的对角线的交点，则下列说法正确的是 (填序号)
(1)+=
(2)+=
(3)+=
(4)+++≠0
【解析】根据题意可得:
(1)+=+=≠，所以(1)错误.
(2)+=+=≠，所以(2)错误.
(3)+=+=，所以(3)正确.
(4)+++=0+0=0，所以(4)错误.
答案:(3)
6.当非零向量a，b(a，b不共线)满足 时，能使a+b平分a与b的夹角.
【解析】菱形的对角线平分对角，由平行四边形法则可得，当|a|=|b|时，a+b平分a与b的夹角.
答案:|a|=|b|
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.如图，点D，E，F分别是△ABC三边AB，BC，CA的中点，
求证:(1)+=+.
(2)++=0.
【证明】(1)因为+=，
+=，所以+=+.
(2)由向量加法的平行四边形法则可得:
++=(+)+(+)+(+)=(+)+(+)+(+)=0.
【拓展延伸】用向量证明几何问题的一般步骤
(1)要把几何问题中的边转化成相应的向量.
(2)通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系.
(3)还原成几何问题.
【变式训练】设E是平行四边形ABCD外一点，如图所示，化简下列各式:
(1)+.
(2)+ +.
(3)++.
(4)+++.
【解析】(1)+=.
(2)++=++=0.
(3)++=++
=+=.
(4)+++
=+++=.
8.重为|G|的物体系在OA，OB两根等长的轻绳上，轻绳挂在半圆形支架上.如图所示，若A端位置固定不变，将OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中.OA绳和OB绳的拉力如何变化？
【解题指南】OB绳的B端沿半圆支架从水平位置逐渐移至竖直的位置C的过程中，物体始终处于平衡状态，找出不变的物理量，画出平行四边形进行分析.
【解析】对结点O受力分析如图:
结点O始终处于平衡状态，所以OB绳和OA绳上的拉力的合力大小保持不变，方向始终是竖直向上的.
所以OA绳和OB绳的拉力变化为:OA绳受力大小变化情况:变小；OB绳受力大小变化情况是:先变小后变大.
【变式训练】如图，在重300N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子拉力的大小.
【解析】如图，作?OACB，使∠AOC=30°，∠BOC=60°，和分别表示两根绳子的拉力，则表示这两根绳子拉力的合力，则||=300N.
在△OAC中，∠ACO=∠BOC=60°，∠OAC=90°，
则||=||cos30°=300×=150(N)，
||=||sin30°=300×=150(N)，
即||=||=150(N).
则可得与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.