2.2.2 向量的减法 同步练习2（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.2.2 向量的减法 同步练习2（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 248.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-28 16:11:57 | ||
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文档简介
2.2.2 向量的减法 同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.化简-+-得 ( )
A. B. C. D.0
【解析】选D.-+-=+++=0.
【举一反三】化简+--的结果是 ( )
A.0 B. C. D.
【解析】选A.+--=+++=0.
2.在△ABC中，=a，=b，则等于 ( )
A.a+b B.-(a+b)
C.a-b D.b-a
【解析】选B.= -=--=-a-b=-(a+b)，故选B.
3.在平行四边形ABCD中，-+等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.-+=++=.故应选D.
4.已知向量a与b反向，下列等式中成立的是 ( )
A.|a|-|b|=|a-b| B.|a+b|=|a-b|
C.|a|+|b|=|a-b| D.|a|+|b|=|a+b|
【解题指南】结合向量减法的几何意义求解.
【解析】选C.因为向量a与b反向，所以a+b，a-b与a，b同向(或反向)且满足|a|+|b|=|a-b|.
【误区警示】本题在求解过程中常因不理解“向量a与b反向”而错选D.
5.下列式子中不能化简为的是 ( )
A.++ B.+++
C.-+ D.+-
【解析】选D.A中，++=++=；B中，+++=+(++)=+0=；C中，-+=+=；D中，+-=2+，故选D.
6.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，则= ( )
A.a+b-c B.a-b-c
C.a-b+c D.a+b+c
【解析】选C.因为=，=-，=-，
所以-=-，=-+.所以=a-b+c.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.化简以下各式:①++；②-+-；
③-+；④++-.其结果为0的个数是 .
【解析】①++=+=0；
②-+-=++=0；
③-+=+=0；
④++-=+++=0.
答案:4
8.如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则-的结果为①；②；③，其中正确的序号为 .
【解析】由图可知，-= -==，又==，故①②③均正确.
答案:①②③
9.若||=5，||=8，则||的取值范围是 .
【解题指南】找与，的关系:-=.
【解析】=-，所以||=|-|，||-||≤|-|≤||+||，即3≤||≤13.
答案:[3，13]
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，解答下列各题:
(1)用a，d，e表示.
(2)用b，c表示.
(3)用a，b，e表示.
(4)用c，d表示.
【解析】(1)=++
=d+e+a=a+d+e.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=e+a+b=a+b+e.
(4)=-=-(+)= -c-d.
11.如图所示，D，E在线段BC上，且BD=EC，
求证:+=+.
【证明】因为-=，
-=，D，E在线段BC上，且BD=EC，所以与大小相等，方向相同，
所以=.所以-=-，即+=+.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则 ( )
A.++=0 B.-+=0
C.+-=0 D.--=0
【解题指南】模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项.
【解析】选A.由题图可知=，==，
在△DBE中，++=0，
即++=0.
2.已知P为△ABC所在平面内一点，当+=时，点P位于 ( )
A.△ABC的AB边上 B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部 D.△ABC的外部
【解析】选D.由+=得=-=，
所以P在过A与BC平行的直线上(一确定的点)，故P位于△ABC的外部.
3.平面内有四边形ABCD和点O，若+=+，则四边形ABCD的形状是
( )
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
【解析】选B.因为+=+，
所以-=-，
即=.又A，B，C，D四点不共线，
所以||=||，且BA∥CD，
故四边形ABCD为平行四边形.
4.如图，设△ABC三条边的中线AD，BE，CF相交于点G，则下列三个向量:++，++，++中，等于零向量的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【解题指南】由△ABC三条边的中线AD，BE，CF相交于点G，结合图形知++=0，++=-+=0，++=(++)=≠0.
【解析】选B.因为△ABC三条边的中线AD，BE，CF相交于点G，所以++=0，
++=-+=0，
++=(++)=≠0，
所以三个向量:++，++，++中，等于零向量的有2个.
【拓展提升】向量加减法的四点化简技巧
(1)加法:首尾连(如++=)，起点到终点.
(2)减法:共起点(如-=)，连终点，指被减.
(3)化减法为加法:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(如-=+=).
(4)凑零法:相反向量和为0(如+=0).
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|= .
【解析】|-+|=|++|
=|+|=||=2.
答案:2
6.已知三角形ABC为等腰直角三角形，且∠A=90°，有下列等式:
①|+|=|-|；
②|-|=|-|；
③|-|=|-|；
④|-|2=|-|2+|-|2.
其中正确等式的序号为 .
【解析】以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，由题意知其为正方形.
①因为|+|=||，|-|=||，
||=||，所以①正确；
②因为|-|=||，|-|=||，||=||，所以②正确；
③因为|-|=|+|=||，|-|
=|+|=||，||=||，所以③正确；
④因为|-|2=||2，
|-|2+|-|2
=|+|2+|+|2=||2+||2=||2，所以④正确.
答案:①②③④
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.设O是△ABC内一点，且=a，=b，=c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第五个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
【解题指南】根据向量加减法的运算法则求解.
【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形，
所以=+=a+b，
所以=-=c-(a+b)=c-a-b.
又四边形ODHC为平行四边形，
所以=+=c+a+b，
所以=-=a+b+c-b=a+c.
8.如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证:=++.
【解题指南】三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，三角形的垂心是三角形各边高线的交点，利用外心及垂心的性质解题.
【证明】作直径BD，连结DA，DC，
则=-，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
所以CH∥DA，AH∥DC，
故四边形AHCD是平行四边形.
所以=，
又=-=+，
所以=+=+=++.
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.化简-+-得 ( )
A. B. C. D.0
【解析】选D.-+-=+++=0.
【举一反三】化简+--的结果是 ( )
A.0 B. C. D.
【解析】选A.+--=+++=0.
2.在△ABC中，=a，=b，则等于 ( )
A.a+b B.-(a+b)
C.a-b D.b-a
【解析】选B.= -=--=-a-b=-(a+b)，故选B.
3.在平行四边形ABCD中，-+等于 ( )
A. B. C. D.
【解析】选D.-+=++=.故应选D.
4.已知向量a与b反向，下列等式中成立的是 ( )
A.|a|-|b|=|a-b| B.|a+b|=|a-b|
C.|a|+|b|=|a-b| D.|a|+|b|=|a+b|
【解题指南】结合向量减法的几何意义求解.
【解析】选C.因为向量a与b反向，所以a+b，a-b与a，b同向(或反向)且满足|a|+|b|=|a-b|.
【误区警示】本题在求解过程中常因不理解“向量a与b反向”而错选D.
5.下列式子中不能化简为的是 ( )
A.++ B.+++
C.-+ D.+-
【解析】选D.A中，++=++=；B中，+++=+(++)=+0=；C中，-+=+=；D中，+-=2+，故选D.
6.如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，=a，=b，=c，则= ( )
A.a+b-c B.a-b-c
C.a-b+c D.a+b+c
【解析】选C.因为=，=-，=-，
所以-=-，=-+.所以=a-b+c.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.化简以下各式:①++；②-+-；
③-+；④++-.其结果为0的个数是 .
【解析】①++=+=0；
②-+-=++=0；
③-+=+=0；
④++-=+++=0.
答案:4
8.如图，D，E，F是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则-的结果为①；②；③，其中正确的序号为 .
【解析】由图可知，-= -==，又==，故①②③均正确.
答案:①②③
9.若||=5，||=8，则||的取值范围是 .
【解题指南】找与，的关系:-=.
【解析】=-，所以||=|-|，||-||≤|-|≤||+||，即3≤||≤13.
答案:[3，13]
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，解答下列各题:
(1)用a，d，e表示.
(2)用b，c表示.
(3)用a，b，e表示.
(4)用c，d表示.
【解析】(1)=++
=d+e+a=a+d+e.
(2)=-=--=-b-c.
(3)=++=e+a+b=a+b+e.
(4)=-=-(+)= -c-d.
11.如图所示，D，E在线段BC上，且BD=EC，
求证:+=+.
【证明】因为-=，
-=，D，E在线段BC上，且BD=EC，所以与大小相等，方向相同，
所以=.所以-=-，即+=+.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.如图，D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则 ( )
A.++=0 B.-+=0
C.+-=0 D.--=0
【解题指南】模相等、方向相同的向量为相等向量，得出图中的相等向量，再由向量加法法则得选项.
【解析】选A.由题图可知=，==，
在△DBE中，++=0，
即++=0.
2.已知P为△ABC所在平面内一点，当+=时，点P位于 ( )
A.△ABC的AB边上 B.△ABC的BC边上
C.△ABC的内部 D.△ABC的外部
【解析】选D.由+=得=-=，
所以P在过A与BC平行的直线上(一确定的点)，故P位于△ABC的外部.
3.平面内有四边形ABCD和点O，若+=+，则四边形ABCD的形状是
( )
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.菱形
【解析】选B.因为+=+，
所以-=-，
即=.又A，B，C，D四点不共线，
所以||=||，且BA∥CD，
故四边形ABCD为平行四边形.
4.如图，设△ABC三条边的中线AD，BE，CF相交于点G，则下列三个向量:++，++，++中，等于零向量的有( )
A.3个 B.2个 C.1个 D.0个
【解题指南】由△ABC三条边的中线AD，BE，CF相交于点G，结合图形知++=0，++=-+=0，++=(++)=≠0.
【解析】选B.因为△ABC三条边的中线AD，BE，CF相交于点G，所以++=0，
++=-+=0，
++=(++)=≠0，
所以三个向量:++，++，++中，等于零向量的有2个.
【拓展提升】向量加减法的四点化简技巧
(1)加法:首尾连(如++=)，起点到终点.
(2)减法:共起点(如-=)，连终点，指被减.
(3)化减法为加法:减去一个向量等于加上这个向量的相反向量(如-=+=).
(4)凑零法:相反向量和为0(如+=0).
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.若菱形ABCD的边长为2，则|-+|= .
【解析】|-+|=|++|
=|+|=||=2.
答案:2
6.已知三角形ABC为等腰直角三角形，且∠A=90°，有下列等式:
①|+|=|-|；
②|-|=|-|；
③|-|=|-|；
④|-|2=|-|2+|-|2.
其中正确等式的序号为 .
【解析】以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，由题意知其为正方形.
①因为|+|=||，|-|=||，
||=||，所以①正确；
②因为|-|=||，|-|=||，||=||，所以②正确；
③因为|-|=|+|=||，|-|
=|+|=||，||=||，所以③正确；
④因为|-|2=||2，
|-|2+|-|2
=|+|2+|+|2=||2+||2=||2，所以④正确.
答案:①②③④
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.设O是△ABC内一点，且=a，=b，=c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第五个顶点为H.试用a，b，c表示，，.
【解题指南】根据向量加减法的运算法则求解.
【解析】由题意可知四边形OADB为平行四边形，
所以=+=a+b，
所以=-=c-(a+b)=c-a-b.
又四边形ODHC为平行四边形，
所以=+=c+a+b，
所以=-=a+b+c-b=a+c.
8.如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证:=++.
【解题指南】三角形的外心是三角形各边垂直平分线的交点，三角形的垂心是三角形各边高线的交点，利用外心及垂心的性质解题.
【证明】作直径BD，连结DA，DC，
则=-，
DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.
所以CH∥DA，AH∥DC，
故四边形AHCD是平行四边形.
所以=，
又=-=+，
所以=+=+=++.