2.3.1 数乘向量 同步练习2（含答案）

2.3.1 数乘向量 同步练习
双基达标　?限时20分钟?
1．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题(　　)．
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.21cnjy.com
其中正确的命题是(　　)．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析　若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确．
答案　B
2．已知向量a、b且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)．
A．B、C、D B．A、B、C
C．A、B、D D．A、C、D
解析　∵＝＋＝2a＋4b＝2 ，
∴A、B、D三点共线．
答案　C
3．已知一点O到平行四边形ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c则向量等于(　　)．
A．a＋b＋c B．a－b＋c C．a＋b－c D．a－b－c
解析　如右图，点O到平行四边形的
三个顶点A、B、C的向量分别为a，b，c.
结合图形有＝＋＝＋＝
＋－＝a＋c－b.
答案　B
4．点C在线段AB上，且＝，则＝________，＝________.
解析　∵＝，∴点C为线段AB的5等分点，
∴＝，＝－.
答案　　－
5．已知点O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝________.
解析　＝＝(－)＝(3e2－2e1)
＝e2－e1.
答案　e2－e1
6．已知点E， F分别为四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，设＝a，＝b，试用a，b表示.21·cn·jy·com
解　如图，取AB中点P，连接EP，FP.
在△ABC中，
∵EP是△ABC的中位线，
∴＝＝a.
在△ABD中，
∵FP是△ABD的中位线，
∴＝A＝－b.
在△EFP中，＝－＝－(a＋b)．
综合提高　?限时25分钟??
7．已知λ、μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　)．
①λ<0，a≠0，λa与a的方向一定相反；
②λ>0，a≠0，λa与a的方向一定相同；
③λ≠0，a≠0，λa与a是共线向量；
④λμ>0，a≠0，λa与μa的方向一定相同；
⑤λμ<0，a≠0，λa与μa的方向一定相反．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
解析　由λa方向的规定，易知命题①、②、③正确．对于命题④与⑤，当λμ>0时，λ与μ同为正或同为负，所以λa与μa或者都与a同向，或者都与a反向，因而λa与μa同向，故命题④正确，当λμ<0时，λ与μ异号，则λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，因而λa与μa反向．故命题⑤正确．故选D.21世纪教育网版权所有
答案　D
8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)．
A. B. C．－ D．－
解析　法一　由＝2，
可得－＝2(－)?＝＋，
所以λ＝.
法二　＝＋＝＋
＝＋(－)＝＋，
所以λ＝.
答案　A
9．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.www.21-cn-jy.com
解析　∵A，B，C三点共线，∴存在λ∈R使＝λ.
∴－＝λ(－)．
∴＝(1－λ)＋λ.
∴x＝1－λ，y＝λ，∴x＋y＝1.
答案　1
10．若向量a＝3i－4j，b＝5i＋4j，则－3＋(2b－a)＝________.
解析　－3＋(2b－a)
＝a－b－3a－2b＋2b－a
＝－a－b
＝－(3i－4j)－(5i＋4j)
＝－11i＋j－5i－4j
＝－16i＋j.
答案　－16i＋j
11．如图所示，在平行四边形ABCD中，
点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M、N、C三点共线．
证明　设＝a，＝b，则由向量加法的三角形法则可知：
＝－＝－＝a－b.
又∵N在BD上且BD＝3BN，
∴＝＝(＋)＝(a＋b)，
∴＝－＝(a＋b)－b
＝a－b＝，
∴＝，又∵与共点C，
∴C、M、N三点共线．
12．(创新拓展)(1)设a、b是两不共线的非零向量，已知＝3a－2b，＝－2a＋4b，＝－2a－4b，试判断A、C、D三点是否共线；2·1·c·n·j·y
(1)在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，证明这个四边形为梯形．
(1)解　∵＝＋＝(3a－2b)＋(－2a＋4b)＝a＋2b.
又＝－2a－4b＝－2(a＋2b)．
∴＝－2，从而向量与共线，故A、C、D三点共线．
(2)证明　∵＝＋＋＝(a＋2b)＋(－4a－b)＋(－5a－3b)＝－8a－2b＝2(－4a－b)，21教育网
∴＝2.∴与共线，且||＝2||.
∵这两个向量所在直线不重合，
∴AD∥BC，且AD＝2BC.
∴四边形ABCD是以AD、BC为两底边的梯形．