2.3.1 数乘向量 同步练习3（含答案）

2.3.1 数乘向量 同步练习
一、选择题(每小题3分，共18分)
1. 0=　(　　)
A.0　　　　 B.0　　　　 C.　　　　 D.
【解析】选B.0=0.
2.如图，在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，则=　(　　)
A.-
B.-
C.+
D.-
【解析】选D.在正方形ABCD中，点E为CD的中点，点F为BC上靠近点B的一个三等分点，故=+=+=-.
3.如图，在正方形ABCD中，下列描述中正确的是　(　　)
A.= B.=
C.= D.|+|=|-|
【解析】选D.在正方形ABCD中，设边长等于1，
因为+=，所以|+|=||=，
|-|=|-|=||=，
所以|+|=|-|，故选D.
4.已知O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足=，则向量等于(　　)
A.- B.+
C.(-) D.(+)
【解题指南】由于O，A，B是平面上不共线的三点，若点C满足=，可得C是AB的中点.
【解析】选D.由已知=+，又=，所以=+=+-，故2=+，=(+)，故选D.
5.设M是?ABCD的对角线的交点，O为任意一点(且不与M重合)，则+++等于　(　　)
A. B.2 C.3 D.4
【解析】选D.因为O为任意一点，不妨把A点看成O点，则+++=0+++，
因为M是?ABCD的对角线的交点，所以0+++=2=4，故选D.
6.已知=+，设=λ，那么实数λ的值是　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为=λ，
所以-=λ(-).
因为=+，
所以-+=λ(-)，
即(-)=λ(-)，所以λ=.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.如图所示，已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2++=0，则=　　　　　?.
【解析】因为D为BC的中点，所以+=2，即2+2=0，所以=-.
答案:-
8.已知向量e1≠0，e2≠0，μ∈R.向量a=μe1+e2，b=2e2，若a与b共线，则下列关系中一定成立的是　　　　　　　　.
①μ=0；②e1∥e2；③e1∥e2或μ=0
【解析】当μ=0时，显然a与b共线；当e1∥e2时也有a与b共线，故③一定成立.
答案:③
【误区警示】本题容易出现错选①②的情况，当①②成立时向量共线，但向量共线①②不一定成立，应理清其中的逻辑关系.
9.已知O，A，M，B为平面上四点，且=λ+(1-λ)，λ∈(1，2)，则A，B，M的关系是　　　　.
【解析】由=λ+(1-λ)可得=λ，因为λ∈(1，2)，因此点B在线段AM上.
答案:B在线段AM上
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.计算:(1)6(3a-2b)+9(-2a+b).
(2)-a+b+a.
(3)6(a-b+c)-4(a-2b+c)-2(-2a+c).
【解析】(1)原式=18a-12b-18a+9b=-3b.
(2)原式=
=a+b-a-b=0.
(3)原式=6a-6b+6c-4a+8b-4c+4a-2c
=(6-4+4)a+(-6+8)b+(6-4-2)c
=6a+2b.
【拓展提升】向量的数乘运算的求解
(1)向量的加、减法以及实数与向量的积的运算可类比实数的加、减法与乘法满足的运算法则.因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在向量的数乘运算中也都可以使用.
(2)向量的运算与实数的运算在具体含义上是不同的，但它们在形式上类似.
11.已知点C在线段AB的延长线上，且=.
(1)用表示.
(2)用表示.
【解题指南】本题中已知条件没有涉及方向，但欲求结果中却涉及了方向.因此，解答此类问题，要把握好从单一的长度要素向长度、方向双重要素的过渡.
【解析】如图①，由已知点C在线段AB的延长线上，且=，所以=，解得AB=3BC.
同时可得AC=4CB.
(1)如图②，向量与的方向相同，
所以=3.
(2)如图③，向量与的方向相反，
所以=-4.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知空间四边形ABCD，M，G分别是BC，CD的中点，连接AM，AG，MG，则+(+)等于　(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
【解析】选A.+(+)=+=.
2.在△ABC中，=，P是BN上的一点，若=m+，则实数m的值为　
(　　)
A. B. C.1 D.3
【解题指南】利用数乘向量及向量的加减法，用向量，表示出向量.
【解析】选A.因为=，=m+，
所以=m+，设=λ(λ>0)，得=+，所以m=且=，解之得λ=8，m=，故选A.
3.若O为平行四边形ABCD的中心，=4e1，=6e2，则6e2-4e1等于　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.6e2-4e1=-=-=.
4.设e1，e2是两个不共线的向量，若向量m=-e1+ke2(k∈R)与向量n=e2-2e1共线，则　(　　)
A.k=0 B.k=1 C.k=2 D.k=
【解题指南】解答本题的关键是根据e1，e2不共线，分析是否可以找到实数λ，使m=λn.
【解析】选D.由题意m=λn，所以解得k=.
【变式训练】a=e1+2e2，b=3e1-4e2，且e1，e2共线，则a与b(　　)
A.共线 B.不共线
C.相等 D.可能共线也可能不共线
【解析】选A.因为e1，e2共线，所以存在λ使得e1=λe2，故a=(λ+2)e2，b=(3λ-4)e2，故a与b共线.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=λ1+λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1+λ2的值为　　　　　.
【解题指南】利用向量加法的三角形法则，将转化为与和的形式.
【解析】由=+=+=+(-)=-+，
则λ1+λ2的值为.
答案:
【变式训练】在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，且=λ+μ，其中λ，μ∈R，则λ+μ=　　　　.
【解析】=+，=+，
故=-+，=-，
故=+=+，
故λ+μ=.
答案:
6.已知在△ABC中，点M满足++=0，若存在实数m使得+=m成立，则m=　　　　　.
【解题指南】确定点M为△ABC的重心，利用向量的加法法则，即可求得m的值.
【解析】由点M满足++=0，知点M为△ABC的重心，设点D为底边BC的中点，
则==××(+)
=(+)，所以+=3，所以m=3.
答案:3
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.设P是△ABC所在平面内的一点，+=2，证明+=0.
【证明】因为+=2，所以点P为线段AC的中点，如图:
即+=0
8.在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且=3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若=x+(1-x)，求x的取值范围.
【解题指南】根据所给的数量关系，写出要求向量的关系式，注意共线的向量之间的三分之一关系，根据表示的关系式和所给的关系式进行比较，得到结果.
【解析】设=y，
因为=+=+y
=+y(-)
=-y+(1+y)，
因为=3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，
所以y∈，
因为=x+(1-x)，
所以x∈.
【变式训练】如图所示，已知△OAB.
(1)若=x+y，且点P在直线AB上，则x，y应满足什么条件？
(2)若正实数x，y满足x+y<1，且有=x+y，试求证点P必在△OAB内.
【解析】(1)由点P在直线AB上得=λ=λ(-)，故=+=(1-λ)+λ.
又=x+y，且在△OAB中，，不共线，所以x=1-λ，y=λ，故x+y=(1-λ)+λ=1.
(2)由题意设x+y=t，t∈(0，1)，则+=1.
设P′为平面内一点，且=+，则=-=(-1)+=-+=(-)=，所以点P′在直线AB上.又∈(0，1)，所以点P′在线段AB上.又=x+y=t，t∈(0，1)，即点P在线段OP′上，所以点P必在△OAB内.