2.3.2 平面向量基本定理 同步练习1（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.3.2 平面向量基本定理 同步练习1（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 179.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-28 16:21:35 | ||
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文档简介
2.3.2 平面向量基本定理 同步练习
双基达标 ?限时20分钟?
1．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是( )．21教育网
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析 平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底．零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的量，故②③正确．
答案 B
2．设e1，e2是平面内两个向量，则有( )．
A．e1，e2一定平行
B．e1，e2的模一定相等
C．对于平面内的任意向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)
D．若e1，e2不共线，则对平面内的任何一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)
解析 由平面向量基本定理可知，只有e1，e2不共线时，才能成为基底．
答案 D
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则等于 ( )．
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
解析 ＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
答案 A
4．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________．21cnjy.com
解析 当a∥b时，a，b不能作为一组基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.
答案 －8
5．如图所示，D是BC边的一个四等分点．
试用基底，表示.则＝________.
解析 ∵D是BC边的四等分点，
∴＝＝(－A)
∴＝＋
＝＋(－)
＝＋.
答案 ＋
6．如图，已知?OACB中 ，＝，OD与BA相交于点E，
求证：＝.
证明 设＝a，＝b则＝a－b，＝a，
∵B、E、A三点共线，∴有＝λ，∵O，E，D三点共线，
∴OE＝μ.
∴－＝λ(－)＝μ(＋)．
即＝b＋λ(a－b)，＝μ(b＋a)，
∴b＋λa－λb＝μb＋μa (λ－)a＋b(1－λ－μ)＝0.
∵a与b不共线，
∴ ∴
∴＝.
综合提高 ?限时25分钟?
7．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( )．
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
解析 ∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．21·cn·jy·com
答案 B
8．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则等于( )．
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b[
解析 设AD与BE交点为F，
则＝a，＝b.
由＋＋＝0，得＝(a－b)，
所以＝2＝2(－)＝a＋b.
答案 B
9．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：＋＋＝0，若实数λ满足：＋＝λ，则λ的值为________．www.21-cn-jy.com
解析 设BC的中点为D，则＋＝2，
＋＋＝0，所以P是△ABC的重心，＝，所以＋＝3，所以λ＝3.
答案 3
10．如图，平面内有三个向量、、，
其中与的夹角为120°，与 的夹角
为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．2·1·c·n·j·y
解析 如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则＝＋.
在Rt△OCD中，∵||＝2，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，故＝4，
＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
答案 6
11．如图所示，已知△AOB中，点C是以A
为中心的点B的对称点，＝2，DC与OA
交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解 (1)由题意，A是BC的中点，且＝＝b，
由平行四边形法则，＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)∥，又∵＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.
12．如图，在△OAB中，＝.＝.
AD与BC交于点M.设＝a，＝b
(1)用a，b表示：
(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F.使EF过M点，设＝p.＝q，求证：＋＝1.21世纪教育网版权所有
解 (1)设＝ma＋nb，则
＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b，
∵点A、M、D共线．∴与共线．
∴＝.∴m＋2n＝1. ①
而＝－＝(m－)a＋nb，
＝－a＋b.
∵C、M、B共线，∴与共线．
∴＝，∴4m＋n＝1. ②
联立①②可得m＝，n＝.[
∴＝a＋b.
(2)证明 ＝a＋b，
＝－pa＋qb，
∵与共线
∴＝.
∴q－pq＝－p.
即＋＝1.
双基达标 ?限时20分钟?
1．下列三种说法：①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线的向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．其中正确的说法是( )．21教育网
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析 平面向量的基底不唯一，在同一平面内任何一组不共线的向量都可以作为平面向量的一组基底．零向量可看成与任何向量平行，故零向量不能作为基底中的量，故②③正确．
答案 B
2．设e1，e2是平面内两个向量，则有( )．
A．e1，e2一定平行
B．e1，e2的模一定相等
C．对于平面内的任意向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)
D．若e1，e2不共线，则对平面内的任何一向量a都有a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)
解析 由平面向量基本定理可知，只有e1，e2不共线时，才能成为基底．
答案 D
3．如图，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝3e2，则等于 ( )．
A.(5e1＋3e2)
B.(5e1－3e2)
C.(3e2－5e1)
D.(5e2－3e1)
解析 ＝＝(＋)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
答案 A
4．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为________．21cnjy.com
解析 当a∥b时，a，b不能作为一组基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，
∴6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.
答案 －8
5．如图所示，D是BC边的一个四等分点．
试用基底，表示.则＝________.
解析 ∵D是BC边的四等分点，
∴＝＝(－A)
∴＝＋
＝＋(－)
＝＋.
答案 ＋
6．如图，已知?OACB中 ，＝，OD与BA相交于点E，
求证：＝.
证明 设＝a，＝b则＝a－b，＝a，
∵B、E、A三点共线，∴有＝λ，∵O，E，D三点共线，
∴OE＝μ.
∴－＝λ(－)＝μ(＋)．
即＝b＋λ(a－b)，＝μ(b＋a)，
∴b＋λa－λb＝μb＋μa (λ－)a＋b(1－λ－μ)＝0.
∵a与b不共线，
∴ ∴
∴＝.
综合提高 ?限时25分钟?
7．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( )．
A．e1＋e2和e1－e2
B．3e1－2e2和4e2－6e1
C．e1＋2e2和e2＋2e1
D．e2和e1＋e2
解析 ∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．21·cn·jy·com
答案 B
8．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且＝a，＝b，则等于( )．
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D．－a＋b[
解析 设AD与BE交点为F，
则＝a，＝b.
由＋＋＝0，得＝(a－b)，
所以＝2＝2(－)＝a＋b.
答案 B
9．已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足：＋＋＝0，若实数λ满足：＋＝λ，则λ的值为________．www.21-cn-jy.com
解析 设BC的中点为D，则＋＝2，
＋＋＝0，所以P是△ABC的重心，＝，所以＋＝3，所以λ＝3.
答案 3
10．如图，平面内有三个向量、、，
其中与的夹角为120°，与 的夹角
为30°，且||＝||＝1，||＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．2·1·c·n·j·y
解析 如图，以OA、OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，
则＝＋.
在Rt△OCD中，∵||＝2，
∠COD＝30°，∠OCD＝90°，
∴||＝4，||＝2，故＝4，
＝2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
答案 6
11．如图所示，已知△AOB中，点C是以A
为中心的点B的对称点，＝2，DC与OA
交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量、；
(2)若＝λ，求实数λ的值．
解 (1)由题意，A是BC的中点，且＝＝b，
由平行四边形法则，＋＝2.
∴＝2－＝2a－b，
＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)∥，又∵＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b，
∴＝，∴λ＝.
12．如图，在△OAB中，＝.＝.
AD与BC交于点M.设＝a，＝b
(1)用a，b表示：
(2)已知在线段AC上取一点E，在线段BD上取一点F.使EF过M点，设＝p.＝q，求证：＋＝1.21世纪教育网版权所有
解 (1)设＝ma＋nb，则
＝(m－1)a＋nb，＝－a＋b，
∵点A、M、D共线．∴与共线．
∴＝.∴m＋2n＝1. ①
而＝－＝(m－)a＋nb，
＝－a＋b.
∵C、M、B共线，∴与共线．
∴＝，∴4m＋n＝1. ②
联立①②可得m＝，n＝.[
∴＝a＋b.
(2)证明 ＝a＋b，
＝－pa＋qb，
∵与共线
∴＝.
∴q－pq＝－p.
即＋＝1.