2.3.2 平面向量基本定理 同步练习2（含答案）

2.3.2 平面向量基本定理 同步练习
基础巩固训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.若O为平行四边形ABCD的中心，=4e1，=6e2，则3e2-2e1等于　(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
【解析】选B.由于=4e1，=6e2，3e2-2e1=(6e2-4e1)=(-)
=(+)==.
2.已知在△ABC中，点D在BC边上，且=2，=r+s，则r+s的值是　
(　　)
A.　　　 　B.　　　　 C.-3　　　 　D.0
【解析】选D.因为=-，
=-.
所以=--
=--.
所以=-，
所以=-.
又=r+s，所以r=，s=-，
所以r+s=0.
3.已知e1=a+5b，e2=3a-2b，e3=-6a+4b，a与b不共线，其中不能作为基底的是　
(　　)
A.e1与e2 B.e2与e3
C.e1与e3 D.e1+e2与e3
【解析】选B.由于e3=-6a+4b=-2(3a-2b)=-2e2.故e2与e3共线，不能作为基底，A，C，D中的向量均不共线，能作为基底.
4.P是△ABC所在平面上的一点，满足++2=0，若△ABC的面积为1，则
△ABP的面积为　(　　)
A.1 B.2 C. D.
【解题指南】由向量加法的运算法则，设AB的中点是D，则+=2=-2，所以P为CD的中点，所以△PAB的面积与△ABC的面积之比即为AB上的高之比，也即为PD和CD之比.
【解析】选C.设AB的中点是D，
则+=2=-2，所以P为CD的中点，所以△PAB的面积为△ABC的面积的，即△ABP的面积为.
5.已知向量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1，e2不共线，则a+b与c=6e1-2e2的关系为　
(　　)
A.不共线 B.共线
C.相等 D.不能确定
【解析】选B.a+b=3e1-e2=c，故a+b与c共线.
6.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F，若=a，=b，则=　(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
【解题指南】根据两个三角形相似对应边成比例，得到DF与FC之比，作FG平行BD交AC于点G，使用已知向量表示出要求的向量，得到结果.
【解析】选D.因为由题意可得△DEF∽△BEA，
所以==，再由AB=CD可得=，
所以=.
作FG平行BD交AC于点G，
所以==，
所以===b.
因为=+=+=+
==a，
所以=+=a+b.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.如图，向量=，若=x+y，则x-y=　　　　.
【解析】因为=，所以+=(+)，整理得=-+，=+，所以x=，y=，x-y=-.
答案:-
8.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，+=λ，则λ=　　　　.
【解析】在平行四边形ABCD中，+=，而=2，所以λ=2.
答案:2
9.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线，且e1，e2不共线，则xy的值为　　　　.
【解析】因为a与b共线，所以xe1+2e2与3e1+ye2对应项的系数成比例，即=，所以xy=6.
答案:6
【举一反三】若将“b=3e1+ye2”改为“b=3e1+4e2”，其他条件不变，则x=　　　　.
【解析】因为a与b共线，所以存在实数λ使得a=λb，
即xe1+2e2=λ(3e1+4e2).
所以所以
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且||=||=1，||=2，若=λ+μ(λ，μ∈R).求λ+μ的值.
【解析】如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则=+，在直角△OCD中，因为
||=2，∠COD=30°，∠OCD=90°，所以||=4，||=2，故=4，=2，即λ=4，μ=2，所以λ+μ=6.
11.在△ABC中，点D和E分别在BC，AC上，且=，=，AD与BE交于R，证明:=.
【解题指南】由A，D，R三点共线，可得=λ+(1-λ)=λ+(1-λ).
由B，E，R三点共线，可得=μ+(1-μ)=μ+(1-μ).
根据平面向量的基本定理，可构造关于λ和μ的方程组，进而求出λ，μ的值，进而根据向量减法的三角形法则，得到答案.
【证明】由A，D，R三点共线，
可得=λ+(1-λ)=λ+(1-λ).
由B，E，R三点共线，可得=μ+(1-μ)=μ+(1-μ).
所以所以
所以=+，
所以=-=-，
=-=-=-==.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.设e1，e2是不共线向量，则下面四组向量中，能作为基底的组数是　(　　)
①e1和e1+e2； ②e1-2e2和e2-2e1；
③e1-2e2和4e2-2e1； ④e1+e2和e1-e2.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选C.不共线的两个非零向量才能作为基底，③中，因为4e2-2e1=-2(e1-2e2)，所以两向量共线，其他不共线，故选C.
【变式训练】设O是平行四边形ABCD对角线的交点，下列向量组:①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内表示它的所有向量的基底的是　　　　.
【解析】①与不共线，②=-，∥，与共线，③与不共线，④=-，∥，与共线.
答案:①③
2.如图，在矩形OABC中，点E，F分别在线段AB，BC上，且满足AB=3AE，BC=3CF，若=λ+μ(λ，μ∈R)，则λ+μ=　(　　)
A.　　　　　　　 B.
C. D.1
【解析】选B.=λ+μ=λ+μ=
+，
又因为=+，所以两等式相加得:λ+μ=.
3.△ABC中，若=2，=+λ，则λ=　(　　)
A.　　　 B.　　　 C.-　　　 D.-
【解析】选B.如图所示，
因为=+，=，=-，
所以=+(-)
=+.
因为=+λ，
所以λ=.
4.在直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=30°，AB=2，BC=2，点E在线段CD上，若=+μ，则μ的取值范围是　(　　)
A.[0，1] B.[0，]
C. D.
【解题指南】过点C作CF⊥AB，垂足为F.在Rt△BCF中，∠B=30°.可得CF=1，BF=.再利用已知AB=2，可得AF=.由四边形AFCD是平行四边形，可得CD=AF==AB.再利用向量的三角形法则和向量共线定理即可得出.
【解析】选C.如图所示，
过点C作CF⊥AB，
垂足为F.
在Rt△BCF中，∠B=30°.
所以CF=1，BF=.
因为AB=2，所以AF=.
由四边形AFCD是平行四边形，
可得CD=AF==AB.
因为=+=+μ，
所以=μ，因为∥，=，
所以0≤μ≤.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设e1，e2是平面内一组基向量，且a=e1+2e2，b=-e1+e2，则向量e1+e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1+e2=　　　　　.
【解题指南】设e1+e2=ma+nb(m，n∈R)，根据e1与e2不共线及平面向量基本定理求m，n.
【解析】设e1+e2=ma+nb(m，n∈R)，
因为a=e1+2e2，b=-e1+e2，
所以e1+e2=m(e1+2e2)+n(-e1+e2)
=(m-n)e1+(2m+n)e2.
因为e1与e2不共线，
所以
所以m=，n=-，
所以e1+e2=a-b.
答案:a-b
6.在△ABC中，点P是AB上的一点，且=+，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又=t，则t的值为　　　　.
【解题指南】先根据向量关系=+得=，即P是AB的一个三等分点，利用平面几何知识，过点Q作PC的平行线交AB于D，利用三角形的中位线定理得到PC=4PM，结合向量条件即可求得t值.
【解析】因为=+，
所以-=-+，
所以=，即P是AB的一个三等分点，
过点Q作PC的平行线交AB于D，
因为Q是BC的中点，所以QD=PC，且D是PB的中点，从而QD=2PM，所以PC=4PM，
所以CM=CP，又=t，则t=.
答案:
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设=a，=c，
(1)用a，c表示向量.
(2)若点F在AC上，且=a+c，求AF∶CF.
【解析】(1)因为=-=c-a，
所以==(c-a)，
所以=(+)
=+
=-a+(c-a)
=c-a.
(2)设=λ，
所以=+=+λ
=a+λ(c-a)
=(1-λ)a+λc.
又=a+c，所以λ=，
所以=，所以AF∶CF=4∶1.
【变式训练】设M，N，P是△ABC三边上的点，它们使=，=，=，若=a，=b，试用a，b将，，表示出来.
【解析】因为=，所以=，
由此可得，=-=--，
因为=-，
所以=--(-)=-=-a+b.
同理可得=a-b，=-=-(+)=a+b.
【拓展提升】用基底表示向量的技巧
　　用基底表示未知向量，一般有两种方法，一是直接利用基底，结合向量的线性运算，灵活应用三角形法则与平行四边形法则求解；二是利用“正难则反”原则引入参数或添加辅助线，采用方程思想借助向量运算确定参数.
8.如图所示，点L，M，N分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，且=l，=m，=n，若++=0.
求证:l=m=n.
【证明】设=a，=b，由已知得=la，=mb，因为=+=-a-b，
所以=n=-na-nb，
所以=+=(l-1)a-b，①
=+=a+mb， ②
=+=-na+(1-n)b， ③
将①②③代入++=0，
整理得(l-n)a+(m-n)b=0，所以l=m=n.