2.4.1-2.4.2 平面向量的坐标表示 同步练习1（含答案）

2.4.1-2.4.2 平面向量的坐标表示 同步练习
基础巩固
一、选择题
1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝(　　)
A．(5，7)　 B．(5，9)
C．(3，7)　 D．(3，9)
[答案]　A
[解析]　本题考查了平面向量的坐标运算．
∵a＝(2，4)，b＝(－1，1)，
∴2a－b＝2(2，4)－(－1，1)＝(5，7)．
2．若向量a＝(1，1)，b＝(1，－1)，c＝(－1，2)，则c＝(　　)
A．－a＋b　 B．a－b
C．a－b　 D．－a＋b
[答案]　B
[解析]　由题意，设c＝xa＋yb，
∴(－1，2)＝x(1，1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)．
∴∴∴c＝a－b.
3．已知向量a＝(x，5)，b＝(5，x)，两向量方向相反，则x＝(　　)
A．－5　 B．5
C．－1　 D．1
[答案]　A
[解析]　当两向量对应坐标异号或同为零时方向相反．易知选A.
4．若a＝(6，6)，b＝(5，7)，c＝(2，4)，则下列命题成立的是(　　)
A．a－c与b共线　 B． b＋c与a共线
C．a与b－c共线　 D．a＋b与c共线
[答案]　C
[解析]　由已知得b－c＝(3，3)，
∵a＝(6，6)，∴6×3－3×6＝0.
∴a与(b－c)共线．
5．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为(　　)21世纪教育网版权所有
A．(2，6)　 B．(－2，6)
C．(2，－6)　 D．(－2，－6)
[答案]　D
[解析]　∵a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，c＝(－1，－2)，∴4a＝(4，－12)，4b－2c＝(－6，20)，2(a－c)＝(4，－2)．21教育网
又∵表示4a，4b－2c，2(a－c)，d的有向线段首尾相接能构成四边形，∴4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，21cnjy.com
解得d＝(－2，－6)，故选D.
6．设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α的值为(　　)
A．　 B．
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　∵a∥b，∴×－tanα·cosα＝0，即sinα＝，α＝.∴应选B.
二、填空题
7．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2，1)，B(1，3)，则点C的坐标为________．2·1·c·n·j·y
[答案]　(－1，2)
[解析]　设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，
∴(x，y)＝(－1，2)．
8．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)．若a－2b与c共线，则k＝________.
[答案]　1
[解析]　a－2b＝(，1)－(0，－2)＝(，3)，
∵a－2b与c共线，
∴存在实数λ使λ(，3)＝(k，)，
即(λ，3λ)＝(k，)，
∴∴
三、解答题
9．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析]　(1)3a＋b－2c＝3(3，2)＋(－1，2)－2(4，1)
＝(9，6)＋(－1，2)－(8，2)
＝(9－1－8，6＋2－2)＝(0，6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)．
∴解得
(3)∵ (a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
∴k＝－.
能力提升
一、选择题
1．已知向量a＝(2，3)，b＝(－1，2)，若μa＋b与a－2b平行，则μ等于(　　)
A．－2　 B．2
C．－　 D．
[答案]　C
[解析]　由题知，μa＋b＝μ(2，3)＋(－1，2)＝(2μ－1，3μ＋2)，a－2b＝(2，3)－2(－1，2)＝(4，－ 1)．21·cn·jy·com
又(μa＋b)∥(a－2b)，21世纪教育网
∴＝，故μ＝－.
2．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点不能构成三角形，则实数k应满足的条件是(　　)www.21-cn-jy.com
A．k＝－2　 B．k＝
C．k＝1　 D．k＝－1
[答案]　C
[解析]　∵A，B，C三点不能构成三角形，
∴A，B，C三点共线．
又＝－＝(1，2)，＝－＝(k，k＋1)，
∴(k＋1)·1－2·k＝0，∴k＝1.
二、填空题
3．设点C(2a－1，a＋2)在连接点A(1，－3)，B(8，－1)的直线上，则a＝________.
[答案]　－13
[解析]　＝(7，2)，＝(2a－2，a＋5)，
∵A，B，C三点共线，∴∥，
∴7(a＋5)－2(2a－2)＝0，
解得a＝－13.
4．已知a＝(6，4)，b＝(4，－2)，若λa＋b与a＋λb(λ∈R)平行，则λ＝________.
[答案]　1或－1
[解析]　λa＋b＝(6λ＋4，4λ－2)，
a＋λb＝(6＋4λ，4－2λ)，
∵(λa＋b)∥(a＋λb)，
∴(6λ＋4)(4－2λ)－(6＋4λ)(4λ－2)＝0，即λ2＝1，
∴λ＝1或λ＝－1.
三、解答题
5．已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【来源：21·世纪·教育·网】
[解析]　解法一：ka＋b＝(k－3，2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，
存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)，
由(k－3，2k＋2)＝λ(10，－4)，得
所以k＝－，λ＝－，
因为λ＝－<0，所以它们是反向．
解法二：由解法一知ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
a－3b＝(10，－4)，
因为(ka＋b)∥(a－3b)，
所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，
所以k＝－，
当k＝－时，ka＋b＝－a＋b＝－(a－3b)，
所以－a＋b与a－3b反向．
6．如图所示，已知两点P(－1，6)和Q(3，0)，延长线段QP到点A，使||＝||，求A点坐标．21·世纪*教育网
[解析]　解法一：因为||＝||，
所以＝.
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝－＝－(1，0)＝.
所以A点坐标为.
解法二：因为||＝||，所以＝，
所以＝＋＝＋
＝(3，0)＋(－1－3，6－0)＝(3，0)＋
＝.
所以A点坐标为.
7．如果向量＝i－2j，＝i＋mj，其中i，j分别是x轴，y轴正方向上的单位向量，试确定使A，B，C三点共线的实数m的值．www-2-1-cnjy-com
[解析]　方法一：∵A，B，C三点共线，即，共线，
∴存在实数λ，使得＝λ，21世纪教育网
即i－2j＝λ(i＋mj)．
∴
∴m＝－2，即m＝－2时，A，B，C三点共线．
方法二：依题意知i＝(1，0)，j＝(0，1)，
则＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)，
＝(1，0)＋m(0，1)＝(1，m)．
而，共线，
∴1×m－1×(－2)＝0.
∴m＝－2.
故当m＝－2时，A，B，C三点共线．