2.4.1-2.4.2 平面向量的坐标表示 同步练习2（含答案）

2.4.1-2.4.2 平面向量的坐标表示 同步练习
基础巩固训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.已知向量a=(1，2)，b=(3，1)，则b-a=　(　　)
A.(-2，1) B.(2，-1) C.(2，0) D.(4，3)
【解析】选B.b-a=(3，1)-(1，2)=(2，-1).
2.若向量=(1，2)，=(3，4)，则=　(　　)
A.(4，6) B.(-4，- 6)
C.(-2，-2) D.(2，2)
【解析】选A.=+=+=.
3.以下各组向量中，不能作为基底的是　(　　)
A.(-2，1)和(0，1) B.(1，2)和(2，1)
C.(2，4)和(-1，2) D.(1，3)和(2，6)
【解析】选D.在D中1×6-3×2=0，故(1，3)和(2，6)共线不能作为基底.
【举一反三】下列向量组中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是　
(　　)
A.a=(0，0)，b=(1，-2)
B.a=(-1，2)，b=(2，-4)
C.a=(3，5)，b=(6，10)
D.a=(2，-3)，b=(6，9)
【解析】选D.A，B，C中的向量a，b均共线，不能作为基底，不能表示它们所在平面内的所有向量.
4.已知向量=(3，-4)，=(6，-3)，=(2m，m+1).若∥，则实数m的值为　
(　　)
A. B.-3 C.- D.-
【解析】选B.=-=，又∥，
故2m-3=-m-3=0，解得m=-3.
5.若平面向量b与向量a=(2，1)平行，且|b|=2，则b的坐标为　(　)
A.(4，2) B.(-4，-2)
C.(-4，2) D.(4，2)或(-4，-2)
【解题指南】用坐标法列方程组求解.
【解析】选D.设b=(x，y)，则
解得或
所以b=(4，2)或b=(-4，-2).
6.设向量a=(m，n)，b=(s，t)，定义两个向量a，b之间的运算“?”为a?b=(ms，nt).若向量p=(1，2)，p?q=(-3，-4)，则向量q等于　(　)
A.(-3，-2) B.(3，-2)
C.(-2，-3) D.(-3，2)
【解析】选A.设q=，
由题意p?q==，
则x=-3，y=-2.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.若三点P(1，1)，A(2，-4)，B(x，9)共线，则x=　　　　.
【解析】由点P，A，B共线可得=λ，
即=λ，即
解得x=-.
答案:-
【误区警示】由点P， A，B共线可得=λ，不要误认为是=而得到错解.
8.已知边长为单位长的正方形ABCD，若A点与坐标原点重合，边AB，AD分别落在x轴，y轴的正方向上，则向量2+3+的坐标为　　　　.21教育网
【解析】在题设的直角坐标系下，有A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，D(0，1)，易得=(1，0)，=(0，1)，=(1，1)，则有2+3+=(2，0)+(0，3)+(1，1)21·世纪*教育网
=(3，4).
答案:(3，4)
9.向量a=(2，3)，b=(-1，2)，若ma+b与a-2b平行，则m等于　　　　　.
【解析】ma+b=(2m，3m)+(-1，2)=(2m-1，3m+2)，
a-2b=(2，3)-(-2，4)=(4，-1)，
则-2m+1=12m+8，m=-.
答案:-
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.平面内给定三个向量a=(3，2)，b=(-1，2)，c=(4，1).
(1)求满足a=mb+nc的实数m，n.
(2)若(a+kc)∥(2b-a)，求实数k.
【解析】(1)因为a=mb+nc，
所以(3，2)=(-m+4n，2m+n)，
所以?
(2)因为(a+kc)∥(2b-a)，
又a+kc= (3+4k，2+k)，2b-a=(-5，2)，
所以2(3+4k)+5(2+k)=0，即k=-.
11.已知a=(1，0)，b=(2，1)，
(1)当k为何值时，ka-b与a+2b共线.
(2)若=2a+3b，=a+mb，且A，B，C三点共线，求m的值.
【解析】(1)ka-b=k(1，0)-(2，1)=(k-2，-1).
a+2b=(1，0)+2(2，1)=(5，2).
因为ka-b与a+2b共线，
所以2(k-2)-(-1)×5=0，
即2k-4+5=0，
得k=-.
(2)因为A，B，C三点共线，所以∥，
所以2a+3b=λ(a+mb)，
所以
解得m=.
【变式训练】已知O为坐标原点，=(1，1)，=(3，-1)，=(a，b).
(1)若=2，求点C的坐标.
(2)若A，B，C三点共线，求a+b的值.
【解析】(1)由题意得，=-=(a-1，b-1)，
=-=(3-1，-1-1)=(2，-2)，
又=2，
所以(a-1，b-1)=2(2，-2)=(4，-4)，
所以
解得
即点C的坐标为(5，-3).
(2)由(1)知，=(2，-2)，=(a-1，b-1)，
若A，B，C三点共线，则∥，
所以有2(b-1)-(-2)(a-1)= 0，
所以a+b=2.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知平面向量a=(1，2)，b=(-2，m)，且a∥b，则2a+3b=　(　　)
A.( -5，-10) B.(-4，-8)　
C.(-3，-6) D.(-2，-4)
【解析】选B.由a∥b得m+4=0，m=-4，
则2a+3b=+=.
2.已知向量a=(cosθ，sinθ)，θ∈(0，π)，b=(，-1)，若a∥b，则θ=　(　　)21cnjy.com
A.π B.π C. D.
【解题指南】利用向量平行求出θ的正切值，再根据θ的范围求角.
【解析】选A.由a∥b，得-cosθ-sinθ=0，
所以tanθ=-，因为θ∈(0，π)，故θ=.
【举一反三】设a=，b=，且a∥b，则锐角α的值为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选B.由a=，b=，
又a∥b，所以×-tanα·cosα=0.即sinα=.又α为锐角，所以α=.
3.已知平行四边形ABCD的三个顶点A，B，C的坐标分别是(-2，1)，(3，4)，(-1，3)，则顶点D的坐标是　(　　)21·cn·jy·com
A.(6，0) B.(-6，0)
C.(10，6) D.(0，-6)
【解题指南】设出D，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量共线，利用向量共线的充要条件列出方程组，求出D的坐标.www-2-1-cnjy-com
【解析】选B.设D(x，y)，则=(5，3)，=(-1-x，3-y)，=(x+2，y-1)，
=(-4，-1).
又因为∥，∥，
所以
解得x=-6，y=0.
4.已知A(2，3)，B(4，-3)，点P在线段AB的延长线上，且||=||，则点P的坐标为　(　　)2·1·c·n·j·y
A.(8，-15) B.(-8，-15)
C.(-8，15) D.(8，15)
【解析】选A.设点P(x，y)，
因为点P在线段AB的延长线上，且||=||，
所以=-，
即(x-2，y-3)=-(4-x，-3-y)，
解得点P的坐标(8，-15).
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知向量a=(1，2)，b= (-2，3)，c=(4，1)，若用a和b表示c，则c=　　　　.
【解析】设c=xa+yb，则
解得x=2，y=-1，故c=2a-b.
答案:2a-b
【变式训练】若向量a=，b=，c=，则c等于　(　)
A.a-b B.-a+b
C.a-b D.-a+b
【解析】选A.设c=xa+yb，则
解得故c=a-b.
6.如图，在4×4的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量m，n，p满足p=xm+yn(x，y∈R)，则4x+y的值为　　　　.www.21-cn-jy.com
【解题指南】将题中的4×4的方格放入坐标系中，并设小方格边长是1，可得向量m，n，p的坐标形式，根据p=xm+yn建立关于x，y的方程组，解之即可得到4x+y的值.【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】作出如图直角坐标系，设小方格边长为单位长度1，
可得m=(1，3)，n=(3，-2)，p=(4，3)
因为p=xm+yn(x，y∈R)，所以
将方程组中两式相加，可得4x+y=7.
答案:7
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知a=(2+sinx，1)，b=(2，-2)，c=(sinx-3，1)，d=(1，k)(x∈R，k∈R)，21世纪教育网版权所有
(1)若x∈，且a∥(b+c)，求x的值.
(2)若(a+d)∥(b+c)，求实数k的取值范围.
【解析】(1)b+c=(sinx-1，-1)，
因为a∥(b+c)，所以-(2+sinx)=sinx-1，
因为x∈，所以x=-.
(2)a+d=(3+sinx，1+k)，b+c=(sinx-1，-1)，
若(a+d)∥(b+c)，
则有:-(3+sinx)=(1+k)(sinx-1).
当sinx=1时等式不成立；
所以k=，解得:k≥0，
所以k的取值范围是.
8.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，且=+t(t∈R)，
求:(1)t为何值时，点P在x轴上？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由.
【解析】(1)因为O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，
所以=(1，2)，=(3，3)，
=+t=(1+3t，2+3t).
若P在x轴上，只需2+3t=0，t=-.
(2)=(1，2)，=(3-3t，3-3t)，
若OABP是平行四边形，则=，
所以此方程组无解.
所以四边形OABP不可能为平行四边形.