2.5 从力做的功到向量的数量积 同步练习1（含答案）

2.5 从力做的功到向量的数量积 同步练习
基础巩固
一、选择题
1．已知向量a、b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)
A．　　 B．　　
C．　　 D．
[答案]　C
[解析]　设a与b的夹角为θ，则据向量数量积公式可得cosθ＝，则cosθ＝＝.
∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
2．若e1，e2是夹角为的单位向量，且a＝2e1＋e2，b＝－3e1＋2e2，则a·b等于(　　)
A．1　 B．－4　
C．－　 D．
[答案]　C
[解析]　a·b＝(2e1＋e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e＋e1·e2＋2e＝－6|e1|2＋|e1||e2|cos＋2|e2|2
＝－6×12＋1×1×＋2×12＝－.
3．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b＝(　　)
A．1　 B．2　
C．3　 D．5
[答案]　A
[解析]　本题考查平面向量的模，平面向量的数量积．
∵|a＋b|＝，|a－b|＝，∴a2＋b2＋2a·b＝10，a2＋b2－2a·b＝6.
联立方程解得a·b＝1，故选A.
4．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝1，则·的值是(　　)
A．1　 B．－1　
C．2　 D．－2
[答案]　B
[解析]　与的夹角为135°，||＝，
∴·＝1××cos135°＝－1.
5．已知|b|＝3，a在b方向上的射影是，则a·b的值为(　　)
A．3　 B．　
C．2　 D．
[答案]　B
[解析]　设a与b的夹角为θ，
由题意知|a|cosθ＝.
∴a·b＝|a||b|cosθ＝×3＝.
6．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于(　　)
A．5　 B．4　
C．3　 D．1
[答案]　B
[解析]　∵|a＋b|＝，
∴(a＋b)2＝13，即a2＋2a·b＋b2＝13，也就是|a|2＋2|a||b|cosθ＋|b|2＝13.
将θ＝120°，|a|＝3，代入可得|b|2－3|b|－4＝0.[
解之，得|b|＝4或|b|＝－1(舍去)．
二、填空题
7．已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝______.21世纪教育网版权所有
[答案]　1
[解析]　考查了向量的数量积，垂直等问题．
由a＋b与ka－b垂直知 (a＋b)·(ka－b)＝0，
即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，
又由|a|＝|b|＝1知(k－1)(a·b＋1)＝0，
若a·b＝－1，则a与b夹角180°，与a，b不共线矛盾，
∴k－1＝0，k＝1.
8．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．21教育网
[答案]　
[解析]　本题考查了平面向量的数量积的运算．
由已知|a|＝，|b|＝2，a·b＝5.
∴|a|cos＝|a|×＝＝.
三、解答题
9．已知|a|＝2，|b|＝4.
(1)当a⊥b时，求|a＋b|；
(2)当a∥b时，求a·b；
(3)若(a＋2b)与(3a－b)垂直，求向量a与b的夹角．
[解析]　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝4＋16＝20，
∴|a＋b|＝2.
(2)∵a∥b，当a与b同向时，a·b＝|a|·|b|＝8；
当a与b反向时，a·b＝－|a|·|b|＝－8.
(3)由(a＋2b)与(3a－b)垂直，得(a＋2b)·(3a－b)＝0，即3a2＋5a·b－2b2＝0，
∴5a·b＝2b2－3a2，∴a·b＝4.
设a，b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
能力提升
一、选择题
1．已知a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为(　　)
A．－2　 B．－2　
C．－1　 D．1－
[答案]　D
[解析]　本题考查数量积的运算．设a＋b与c的夹角为θ，则
(a－c)·(b－c)＝a·b－a·c－c·b＋c2
＝0－(a＋b)·c＋1＝1－(a＋b)·c
＝1－|a＋b|·|c|cosθ
＝1－·1·cosθ
∴最小值为1－，即a＋b与c同向共线时取得最小值．
2．在△ABC中，若2＝·＋·＋·，则△ABC是(　　)
A．等边三角形　 B．锐角三角形
C．钝角三角形　 D．直角三角形
[答案]　D
[解析]　因为2＝·＋·＋·＝·(－)＋·＝·＋·，所以·＝0，即⊥，所以三角形为直角三角形，选D.
二、填空题
3．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为________．
[答案]　－
[解析]　本题主要考查了向量运算及夹角公式运用．
∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，
∴|a|2＝9|b|2＝(a＋2b)2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，
∴a·b＝－|b|2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－.
4．已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________．
[答案]　
[解析]　本题考查了向量的运算．
∵α⊥(α－2β)，∴α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0，
∴2α·β＝α2＝|α|2，
∴|2α＋β|＝＝
＝＝＝.
三、解答题
5．若O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，判断△ABC的形状．
[解析]　＋－2＝－＋－
＝＋，－＝＝－.
∵|－|＝|＋－2|，
∴|＋|＝|－|，
∴|＋|2＝|－|2，
∴·＝0，∴AB⊥AC，故△ABC为直角三角形．
6．已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.
(1)当m为何值时，c与d垂直？
(2)当m为何值时，c与d共线？
[解析]　(1)假设向量c与向量d垂直，得c·d＝0，
而c·d＝(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3ma2＋(5m－9)a·b－15b2
＝27m＋3(5m－9)－60，
∴42m－87＝0，∴m＝，
即当m＝时，c与d垂直．
(2)假设c与d共线，则存在实数λ，使得c＝λd，
∴3a＋5b＝λ(ma－3b)，即3a＋5b＝λma－3λb.
又a与b不共线，∴解得
即当m＝－时，c与d共线．
7．已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角为120°.
(1)求证：(a－b)⊥c；
(2)若|ka＋b＋c|>1(k∈R)，求k的取值范围．
[解析]　(1)证明：∵|a|＝|b|＝|c|＝1，
且a，b，c之间夹角均为120°，
∴(a－b)·c＝a·c－b·c＝|a||c|cos120°－|b||c|·cos120°＝0，∴(a－b)⊥c.
(2)解：∵|ka＋b＋c|>1，
∴(ka＋b＋c)·(ka＋b＋c)>1，
即k2a2＋b2＋c2＋2ka·b＋2ka·c＋2b·c>1.
∵a·b＝a·c＝b·c＝cos120°＝－，
∴k2－2k>0，解得k<0或k>2，
即k的取值范围是{k|k<0或k>2}．