2.5 从力做的功到向量的数量积 同步练习2（含答案）

2.5 从力做的功到向量的数量积 同步练习
双基达标　?限时20分钟?
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中真命题是(　　)．
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析　A中若a⊥b，则有a·b＝0，不一定有a＝0，b＝0.
C中当|a|＝|b|时，a2＝b2，此时不一定有a＝b或a＝－b.
D中当a＝0时，a·b＝a·c，不一定有b＝c.
答案　B
2．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b＝(　　)．
A. B. C．1＋ D．2
解析　a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|·cos 60°
＝1＋1×1×＝.
答案　B
3．设e1，e2是两个平行的单位向量，则下面的结果正确的是(　　)．
A．e1·e2＝1 B．e1·e2＝－1
C．|e1·e2|＝1 D．|e1·e2|<1
解析　∵e1，e2平行，∴e1与e2的夹角θ＝0°或θ＝180°，若θ＝0°，则e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝1×1×cos 0°＝1；21·世纪*教育网
若θ＝180°，则e1·e2＝|e1||e2|cos θ＝1×1×cos 180°＝－1；
综上得|e1·e2|＝1.
答案　C
4．已知|a|＝5，|b|＝6，若a∥b，则a·b＝________.
解析　由a∥b，可知a与b的夹角为0或π，故a·b＝±30.
答案　±30
5．已知a⊥b，(3a＋2b)⊥(ka－b)，若|a|＝2，|b|＝3，则实数k的值为________．
解析　由已知a·b＝0，a2＝4，b2＝9，(3a＋2b)·(ka－b)＝0?3ka2＋(2k－3) a·b－2b2＝0.∴12k－18＝0，∴k＝.www.21-cn-jy.com
答案　
6．已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角．
解　∵a＋3b与7a－5b垂直，∴(a＋3b)·(7a－5b)＝0，
∵a－4b与7a－2b垂直，∴(a－4b)·(7a－2b)＝0.
于是有
①－②得2a·b＝b2.　　　　　　　　　　　　　 ③
将③代入①得a2＝b2，∴|a|＝|b|.
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.
综合提高　?限时25分钟?
7．如图所示，在Rt△ABC中，A＝90°，AB＝1，则·的值是(　　)．
A．1
B．－1
C．1或－1
D．不确定，与B的大小，BC的长度有关
解析　法一　根据数量积的定义，得·＝－·＝－||||cos B．又cos B＝，故·＝－||2＝－1，故选B.21世纪教育网版权所有
法二　从投影的角度来考虑，事实上，由于A＝90°，·＝－·＝－||||cos B，而||cos B＝||，所以·＝－||2＝－1.故选B.
答案　B
8．已知|a|＝3，|b|＝2，?a，b?＝60°，如果(3a＋5b)⊥(ma－b)，则m的值为
(　　)．
A. B. C. D.
解析　由已知可得(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3ma2＋(5m－3)a·b－5b2＝0?3m·32＋(5m－3)·3×2·cos 60°－5×22＝0，解之得m＝.21教育网
答案　C
9．若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则|a＋b－c|的最大值为(　　)．21cnjy.com
A.－1 B．1 C. D．2
解析　由已知条件向量a，b，c均为单位向量可知，a2＝1，b2＝1，c2＝1，由a·b＝0及(a－c)·(b－c)≤0可知，(a＋b)·c≥1，因为|a＋b－c|2＝a2＋b2＋c2＋2a·b－2a·c－2b·c，所以有|a＋b－c|2＝3－2(a·c＋b·c)＝3－2c·(a＋b)≤1，故|a＋b－c|≤1.
答案　B
10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若a·b＝0，则实数k的值为________．21·cn·jy·com
解析　由题意知：a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0，化简可求得k＝.www-2-1-cnjy-com
答案　
答案　－2
11．对于两个非零向量a，b，求使|a＋tb|最小时的t的值，并求此时b与a＋tb的夹角．
解　|a＋tb|2＝a2＋2(a·b)t＋t2b2
　 　　 ＝|a|2＋2(a·b)t＋t2|b|2
　 　　 ＝|b|22＋|a|2－.
当t＝－时，|a＋tb|2取得最小值，
即|a＋tb|取得最小值．
此时，b·(a＋tb)＝b·
＝a·b－b2＝a·b－a·b＝0.
又∵b≠0，(a＋tb)≠0，∴b⊥(a＋tb)．
∴b与a＋tb的夹角为90°.
12．(创新拓展)已知|a|＝，|b|＝3，a与b夹角为45°，是否存在实数λ，使a＋λb与λa＋b所成的角为锐角？若存在，请求出λ所满足的条件；若不存在，请说明理由．2·1·c·n·j·y
解　设a＋λb与λa＋b的夹角为θ.
(a＋λb)·(λa＋b)＝λa2＋λb2＋(λ2＋1)a·b
＝λ|a|2＋λ|b|2＋(λ2＋1)|a||b|cos 45°
＝2λ＋9λ＋(λ2＋1)×3×＝3λ2＋11λ＋3.
若θ为锐角，则cos θ＞0.
∵cos θ＝，|a＋λb||λa＋b|＞0，
∴若θ为锐角，则(a＋λb)·(λa＋b)＞0，
即3λ2＋11λ＋3＞0.
令3λ2＋11λ＋3＝0，得λ＝.
由于抛物线y＝3λ2＋11λ＋3开口向上，与横轴交点的横坐标为和，所以使3λ2＋11λ＋3＞0的λ的取值范围为λ＜，或λ＞.【来源：21·世纪·教育·网】
当a＋λb与λa＋b共线时，
(a＋λb)·(λa＋b)＝|a＋λb||λa＋b|，
或(a＋λb)·(λa＋b)＝－|a＋λb||λa＋b|，
解得λ＝1，或λ＝－1，此时不符合题意．
所以当λ∈∪∪(1，＋∞)时，a＋λb与λa＋b所成的角为锐角．