2.5 从力做的功到向量的数量积 同步练习3（含答案）
文档属性
| 名称 | 2.5 从力做的功到向量的数量积 同步练习3（含答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 177.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-12-28 15:47:10 | ||
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文档简介
2.5 从力做的功到向量的数量积 同步练习
基础巩固训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.已知|b|=3，a在b方向上的投影是，则a·b为 ( )
A. B. C.3 D.2
【解析】选D.设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的射影|a|cosθ=，所以a·b=|a||b|cosθ=×3=2.【来源：21·世纪·教育·网】
2.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=12，则向量a在向量b上的投影为 ( )
A. B.3 C.4 D.5
【解析】选A.设向量a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影为
|a|cosθ=|a|==.
【举一反三】在本题的条件下，试求向量b在向量a方向上的投影.
【解析】设向量a与向量b的夹角为θ，则cosθ===，向量b在向量a方向上的投影为|b|cosθ=5×=4.21cnjy.com
3.下列命题中，正确的是 ( )
A.若a·b=0，则a=0或b=0
B.若a·b=0，则a∥b
C.若a⊥b，则a·b=(a·b)2
D.若|a|>|b|，则a>b
【解析】选C.对A，a·b=0，a与b有可能为非零的垂直向量，故A错误.
对B，a·b=0，则a⊥b，故B错误.
对C，若a⊥b，则a·b=0，所以a·b=(a·b)2，故C正确.
对D，|a|>|b|，由于a与b为向量，不是数量，不能比较大小，故D错误.
4.设e1和e2是夹角为60°的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于 21·cn·jy·com
( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解题指南】先求e1·e2，再计算a·b.
【解析】选D.因为|e1|=|e2|=1，
e1·e2=|e1||e2|cos60°=1×1×=，
所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+
8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×=2.
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|等于 ( )
A.23 B.35 C. D.
【解析】选C.|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b
=22+52+2×(-3)=23.
所以|a+b|=，应选C.
【误区警示】求a+b的模时，需先求|a+b|2=(a+b)2，再开方.求解时，易忘记开方，而误选A.21世纪教育网版权所有
6.关于菱形ABCD的下列说法中，不正确的是 ( )
A.∥
B.(+)⊥(+)
C.(-)·(-)=0
D.·=·
【解析】选D.如图所示，对于选项A，∥正确，
对于选项B，+=，+=，由菱形对角线互相垂直知(+)⊥(+).
对于选项C，因为-=，-=，
又因为⊥，所以(-)·(-)=0，
所以C正确.显然D不正确，因此选D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=|b|=4，那么|a-3b|等于 .
【解析】|a-3b|=
==4.
答案:4
8.向量a，b满足(a-b)·(2a+b)=-4，且|a|=2，|b|=4，则a与b的夹角等于 .2·1·c·n·j·y
【解析】设a与b的夹角为θ，因为|a|=2，|b|=4，(a-b)·(2a+b)=-4，
所以2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=-4，
即8-8cosθ-16=-4，
所以cosθ=-.
又θ∈[0，π]，所以θ=π.
答案:π
9.已知非零向量a与b的夹角为120°，若向量c=a+b，且c⊥a，则的值为 .
【解析】因为c=a+b，又c⊥a，所以c·a=0，
即(a+b)·a=0，所以a2+a·b=0，
|a|2+|a||b|cos120°=0，
所以|a|-|b|=0，所以=.
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知a，b是非零向量，且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，求a与b的夹角.
【解析】设a与b的夹角为θ，
由(a-2b)⊥a，得(a-2b)·a=0，即a2-2a·b=0，
由(b-2a)⊥b，得(b-2a)·b=0，即b2-2a·b=0，
所以a2=b2，即|a|=|b|，a·b=a2，
cosθ===，
又因为θ∈[0，π]，则得θ=.
【变式训练】已知a⊥b，且|a|=2，| b|=1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直，试求k的最小值.
【解析】因为a⊥b，所以a·b=0，
又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0，
所以-ka2+t(t-3)b2=0，
因为|a|=2，|b|=1，
所以-4k+t(t-3)=0，
所以k=(t2-3t)=-(t≠0).
故当t=时，k取最小值-.
11.已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|.
(2)当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角θ的值.
【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=，
即a2-b2=.
所以|b|2=|a|2-=，
所以|b|=.
(2)因为|a+2b|2=(a+2b)2
=|a|2+4a·b+|2b|2
=1-1+1=1.
所以|a+2b|=1.
又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=，
所以cosθ==，
又0°≤θ≤180°，
所以θ=60°.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.若a为非零向量，a·b=0，则满足此条件的向量b有
( )
A.1个 B.2个 C.有限个 D.无限个
【解析】选D.由已知a·b=0，又a≠0，则满足条件的向量b除0外，还有无限个，与a垂直均符合要求，故选D.21教育网
【误区警示】本题易忽视a·b=0?a⊥b，
而误认为只有b=0，而误选A.
2.已知|a|=3，|b|=4，(a+b)·(a+3b)=33，则a与b的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选C.因为(a+b)·(a+3b)=a2+4a·b+3b2
=57+4a·b=33，
所以a·b=-6.
设a与b的夹角为α，
则cosα===-，
又0°≤α≤180°，所以α=120°.
【变式训练】若向量a，b满足|a|=|b|=1，且(a+3b)·(a+5b)=20，则向量a，b的夹角为 ( )21·世纪*教育网
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.因为(a+3b)·(a+5b)=a2+15b2+8a·b
=16+8a·b=20.
所以a·b=.设向量a，b的夹角为α，
则a·b=|a||b|cosα=，
所以cosα=，所以α=60°.
3.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC.若·=1，·=-，则λ+μ= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为∠BAD=120°，所以·=··cos120°=-2.
因为BE=λBC，DF=μDC，所以=+λ，=μ+.
因为·=1，
所以·=1，
即2λ+2μ-λμ= ①
同理可得λμ-λ-μ=- ②，①+②得λ+μ=.
4.在△ABC中，若=a，=b，=c，且a·b=b·c=c·a，则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.以上都不对
【解析】选C.由a+b+c=++=0，
得a+b=-c，(a+b)2=c2，
即a2+b2+2a·b=c2…①，同理可得b2+c2+2b·c=a2…②
①-②得a2=c2，所以|a|=|c|，
同理可得|a|=|b|，
故△ABC为等边三角形.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为.若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的投影为 .www-2-1-cnjy-com
【解题指南】向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=，进而问题转化为求向量a，b的数量积与向量b的模.21*cnjy*com
【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=|a|=，而a·b=(e1+3e2)·2e1=2+6cos=5，|b|=2，所以所求为.【来源：21cnj*y.co*m】
答案:
6.如图，A，B是函数y=3sin(2x+θ)的图象与x轴两相邻交点，C是图象上A，B间的最低点，则·= .【出处：21教育名师】
【解析】设，的夹角为α，由已知可得||=，
·=||·||cosα=||·||
=||·=.
答案:
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61，
(1)求a·b的值.
(2)求|a+b|的值.
【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61得
4a2-4a·b-3b2=61.
又由|a|=4，|b|=3得a2=16，b2=9，
代入上式得64-4a·b-27=61，
所以a·b=-6.
(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-6)+9=13，
故|a+b|=.
【变式训练】已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a-b|=2.
(1)求a·b的值.(2)求|a+b|的值.
【解析】(1)由|a-b|=2，得a2-2a·b+b2=4，
因为|a|=2，|b|=1，
所以a·b=.
(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=6，
所以|a+b|=.
8.已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60°，向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围.www.21-cn-jy.com
【解析】因为(2ta+7b)·(a+tb)
=2ta2+(2t2+7)a·b+7tb2
=2t|a|2+(2t2+7)|a||b|cos60°+7t|b|2
=8t+(2t2+7) +7t=2t2+15t+7.
由2t2+15t+7<0?(2t+1)(t+7) <0，
所以-7因为λ<0，所以t=-.
所以当t=-时，2ta+7b与a+tb的夹角为π.
故t的取值范围是∪.
【误区警示】解答本题时，易忽视2ta+7b与a+tb的夹角为π的情况，而得到t的范围是的错误.
基础巩固训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.已知|b|=3，a在b方向上的投影是，则a·b为 ( )
A. B. C.3 D.2
【解析】选D.设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的射影|a|cosθ=，所以a·b=|a||b|cosθ=×3=2.【来源：21·世纪·教育·网】
2.已知|a|=3，|b|=5，且a·b=12，则向量a在向量b上的投影为 ( )
A. B.3 C.4 D.5
【解析】选A.设向量a与b的夹角为θ，则向量a在向量b上的投影为
|a|cosθ=|a|==.
【举一反三】在本题的条件下，试求向量b在向量a方向上的投影.
【解析】设向量a与向量b的夹角为θ，则cosθ===，向量b在向量a方向上的投影为|b|cosθ=5×=4.21cnjy.com
3.下列命题中，正确的是 ( )
A.若a·b=0，则a=0或b=0
B.若a·b=0，则a∥b
C.若a⊥b，则a·b=(a·b)2
D.若|a|>|b|，则a>b
【解析】选C.对A，a·b=0，a与b有可能为非零的垂直向量，故A错误.
对B，a·b=0，则a⊥b，故B错误.
对C，若a⊥b，则a·b=0，所以a·b=(a·b)2，故C正确.
对D，|a|>|b|，由于a与b为向量，不是数量，不能比较大小，故D错误.
4.设e1和e2是夹角为60°的单位向量，且a=3e1+2e2，b=-3e1+4e2，则a·b等于 21·cn·jy·com
( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【解题指南】先求e1·e2，再计算a·b.
【解析】选D.因为|e1|=|e2|=1，
e1·e2=|e1||e2|cos60°=1×1×=，
所以a·b=(3e1+2e2)·(-3e1+4e2)=-9|e1|2+
8|e2|2+6e1·e2=-9×12+8×12+6×=2.
5.已知|a|=2，|b|=5，a·b=-3，则|a+b|等于 ( )
A.23 B.35 C. D.
【解析】选C.|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b
=22+52+2×(-3)=23.
所以|a+b|=，应选C.
【误区警示】求a+b的模时，需先求|a+b|2=(a+b)2，再开方.求解时，易忘记开方，而误选A.21世纪教育网版权所有
6.关于菱形ABCD的下列说法中，不正确的是 ( )
A.∥
B.(+)⊥(+)
C.(-)·(-)=0
D.·=·
【解析】选D.如图所示，对于选项A，∥正确，
对于选项B，+=，+=，由菱形对角线互相垂直知(+)⊥(+).
对于选项C，因为-=，-=，
又因为⊥，所以(-)·(-)=0，
所以C正确.显然D不正确，因此选D.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.已知向量a与b的夹角为120°，且|a|=|b|=4，那么|a-3b|等于 .
【解析】|a-3b|=
==4.
答案:4
8.向量a，b满足(a-b)·(2a+b)=-4，且|a|=2，|b|=4，则a与b的夹角等于 .2·1·c·n·j·y
【解析】设a与b的夹角为θ，因为|a|=2，|b|=4，(a-b)·(2a+b)=-4，
所以2|a|2-|a||b|cosθ-|b|2=-4，
即8-8cosθ-16=-4，
所以cosθ=-.
又θ∈[0，π]，所以θ=π.
答案:π
9.已知非零向量a与b的夹角为120°，若向量c=a+b，且c⊥a，则的值为 .
【解析】因为c=a+b，又c⊥a，所以c·a=0，
即(a+b)·a=0，所以a2+a·b=0，
|a|2+|a||b|cos120°=0，
所以|a|-|b|=0，所以=.
答案:
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知a，b是非零向量，且满足(a-2b)⊥a，(b-2a)⊥b，求a与b的夹角.
【解析】设a与b的夹角为θ，
由(a-2b)⊥a，得(a-2b)·a=0，即a2-2a·b=0，
由(b-2a)⊥b，得(b-2a)·b=0，即b2-2a·b=0，
所以a2=b2，即|a|=|b|，a·b=a2，
cosθ===，
又因为θ∈[0，π]，则得θ=.
【变式训练】已知a⊥b，且|a|=2，| b|=1，若对两个不同时为零的实数k，t，使得a+(t-3)b与-ka+tb垂直，试求k的最小值.
【解析】因为a⊥b，所以a·b=0，
又由已知得[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0，
所以-ka2+t(t-3)b2=0，
因为|a|=2，|b|=1，
所以-4k+t(t-3)=0，
所以k=(t2-3t)=-(t≠0).
故当t=时，k取最小值-.
11.已知非零向量a，b满足|a|=1，且(a-b)·(a+b)=.
(1)求|b|.
(2)当a·b=-时，求向量a与a+2b的夹角θ的值.
【解析】(1)因为(a-b)·(a+b)=，
即a2-b2=.
所以|b|2=|a|2-=，
所以|b|=.
(2)因为|a+2b|2=(a+2b)2
=|a|2+4a·b+|2b|2
=1-1+1=1.
所以|a+2b|=1.
又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=，
所以cosθ==，
又0°≤θ≤180°，
所以θ=60°.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.若a为非零向量，a·b=0，则满足此条件的向量b有
( )
A.1个 B.2个 C.有限个 D.无限个
【解析】选D.由已知a·b=0，又a≠0，则满足条件的向量b除0外，还有无限个，与a垂直均符合要求，故选D.21教育网
【误区警示】本题易忽视a·b=0?a⊥b，
而误认为只有b=0，而误选A.
2.已知|a|=3，|b|=4，(a+b)·(a+3b)=33，则a与b的夹角为 ( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
【解析】选C.因为(a+b)·(a+3b)=a2+4a·b+3b2
=57+4a·b=33，
所以a·b=-6.
设a与b的夹角为α，
则cosα===-，
又0°≤α≤180°，所以α=120°.
【变式训练】若向量a，b满足|a|=|b|=1，且(a+3b)·(a+5b)=20，则向量a，b的夹角为 ( )21·世纪*教育网
A.30° B.45° C.60° D.90°
【解析】选C.因为(a+3b)·(a+5b)=a2+15b2+8a·b
=16+8a·b=20.
所以a·b=.设向量a，b的夹角为α，
则a·b=|a||b|cosα=，
所以cosα=，所以α=60°.
3.已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE=λBC，DF=μDC.若·=1，·=-，则λ+μ= ( )
A. B. C. D.
【解析】选C.因为∠BAD=120°，所以·=··cos120°=-2.
因为BE=λBC，DF=μDC，所以=+λ，=μ+.
因为·=1，
所以·=1，
即2λ+2μ-λμ= ①
同理可得λμ-λ-μ=- ②，①+②得λ+μ=.
4.在△ABC中，若=a，=b，=c，且a·b=b·c=c·a，则△ABC的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等边三角形 D.以上都不对
【解析】选C.由a+b+c=++=0，
得a+b=-c，(a+b)2=c2，
即a2+b2+2a·b=c2…①，同理可得b2+c2+2b·c=a2…②
①-②得a2=c2，所以|a|=|c|，
同理可得|a|=|b|，
故△ABC为等边三角形.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为.若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的投影为 .www-2-1-cnjy-com
【解题指南】向量a在b方向上的射影为|a|cosθ=，进而问题转化为求向量a，b的数量积与向量b的模.21*cnjy*com
【解析】设a，b的夹角为θ，则向量a在b方向上的投影为|a|cosθ=|a|=，而a·b=(e1+3e2)·2e1=2+6cos=5，|b|=2，所以所求为.【来源：21cnj*y.co*m】
答案:
6.如图，A，B是函数y=3sin(2x+θ)的图象与x轴两相邻交点，C是图象上A，B间的最低点，则·= .【出处：21教育名师】
【解析】设，的夹角为α，由已知可得||=，
·=||·||cosα=||·||
=||·=.
答案:
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知|a|=4，|b|=3，(2a-3b)·(2a+b)=61，
(1)求a·b的值.
(2)求|a+b|的值.
【解析】(1)由(2a-3b)·(2a+b)=61得
4a2-4a·b-3b2=61.
又由|a|=4，|b|=3得a2=16，b2=9，
代入上式得64-4a·b-27=61，
所以a·b=-6.
(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=16+2×(-6)+9=13，
故|a+b|=.
【变式训练】已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，|a-b|=2.
(1)求a·b的值.(2)求|a+b|的值.
【解析】(1)由|a-b|=2，得a2-2a·b+b2=4，
因为|a|=2，|b|=1，
所以a·b=.
(2)|a+b|2=a2+2a·b+b2=6，
所以|a+b|=.
8.已知|a|=2，|b|=1，a与b的夹角为60°，向量2ta+7b与a+tb的夹角为钝角，求实数t的取值范围.www.21-cn-jy.com
【解析】因为(2ta+7b)·(a+tb)
=2ta2+(2t2+7)a·b+7tb2
=2t|a|2+(2t2+7)|a||b|cos60°+7t|b|2
=8t+(2t2+7) +7t=2t2+15t+7.
由2t2+15t+7<0?(2t+1)(t+7) <0，
所以-7
所以当t=-时，2ta+7b与a+tb的夹角为π.
故t的取值范围是∪.
【误区警示】解答本题时，易忽视2ta+7b与a+tb的夹角为π的情况，而得到t的范围是的错误.