2.6 平面向量数量积的坐标表示 同步练习1（含答案）

2.6 平面向量数量积的坐标表示 同步练习
基础巩固
一、选择题
1．已知a＝(－3，4)，b＝(5，2)，则a·b＝(　　)
A．23　　　 B．7　　　　
C．－23　　 D．－7
[答案]　D
[解析]　a·b＝－3×5＋4×2＝－7.
2．平面向量a与b的夹角为120°，a＝(－2，0)，|b|＝1，则|a＋b|＝(　　)
A．3　 B．　
C．7　 D．
[答案]　B
[解析]　|a|＝2，
|a＋b|＝＝
＝
＝＝.
3．已知点A(1，2)，B(2，3)，C(－2，5)，则·等于(　　)
A．－1　 B．0　
C．1　 D．2
[答案]　B
[解析]　∵＝(1，1)，＝(－3，3)，
∴·＝1× (－3)＋1×3＝0.
4．若a＝(2，3)，b＝(－4，7)，则a在b方向上的射影为(　　)
A．　 B．　
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　|b|＝＝，a·b＝－8＋21＝13，设a，b的夹角为θ，则a在b方向上的射影为
|a|cosθ＝＝＝.
5．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m＝(　　)
A．2　 B．　
C．0　 D．－
[答案]　B
[解析]　本题考查向量的坐标运算及数量积．
a·b＝3＋m＝|a|·|b|·cos
＝2··.
解之，m＝.
6．已知向量＝(2，2)，＝(4，1)，在x轴上有一点P，使·有最小值，则P点坐标为(　　)21世纪教育网版权所有
A．(－3，0)　 B． (3，0)
C．(2，0)　 D．(4，0)
[答案]　B
[解析]　设P(x，0)，则＝(x－2，－2)，
＝(x－4，－1)，
·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)
＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，
∴当x＝3时·有最小值，
∴P(3，0)．
二、填空题
7．已知a＝(1，0)，|b|＝1，c＝(0，－1)满足3a＋kb＋7c＝0，则实数k的值为________．
[答案]　±
[解析]　kb＝－3a－7c＝－3(1，0)－7(0，－1)＝(－3，7)．
∴|kb|＝|k|·|b|＝＝.
∵|b|＝1，
∴k＝±.
8．已知向量a＝(1，0)，b＝(1，1)，则
(1)与2a＋b同向的单位向量的坐标表示为________；
(2)向量b－3a与向量a夹角的余弦值为________．
[答案]　(1)(，)　(2)－
[解析]　本题主要考查了向量的坐标运算，单位向量及夹角的求法．
(1)2a＋b＝2(1，0)＋(1，1)＝(3，1)，
单位向量为(，)，
(2)cos〈a，b－3a〉＝
＝＝－.
三、解答题
9．已知平面向量a＝(3，4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)且a∥b，a⊥c.
(1)求b和c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m，n的夹角的大小．
[解析]　(1)∵a∥b，∴3x－36＝0.∴x＝12.
∵a⊥c，∴3×4＋4y＝0.
∴y＝－3.∴b＝(9，12)，c＝(4，－3)．
(2)m＝2a－b＝(6，8)－(9，12)＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(3，4)＋(4，－3)＝(7，1)，
设m，n的夹角为θ，
则cosθ＝
＝＝－.
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
能力提升
一、选择题
1．定义一种新运算a?b＝|a||b|sinθ，其中θ为a与b的夹角，已知a＝(－，1)，b＝，则a?b＝(　　)21教育网
A．　 B．　
C．　 D．
[答案]　B
[解析]　∵cosθ＝
＝
＝＝－，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝150°，
所以a?b＝|a|·|b|sinθ
＝2××＝.21世纪教育网
2．a，b为平面向量，已知a＝(4，3)，2a＋b＝(3，18)，则a，b夹角的余弦值等于(　　)
A．　 B．－　
C． 　 D．－
[答案]　C
[解析]　由题可知，设b＝(x，y)，则2a＋b＝(8＋x，6＋y)＝(3，18)，所以可以解得x＝－5，y＝12，故b＝(－5，12)，从而cos〈a，b〉＝＝.21cnjy.com
二、填空题
3．如图，在平行四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－3，2)，则·＝________.
[答案]　3
[解析]　·＝[(＋)]·
＝[(1，2)＋(－3，2)]·(1，2)
＝(－1，2)·(1，2)＝3.
4．已知a＝(2t，7)，b＝(1，t)，若a，b的夹角为钝角，实数t的取值范围为________．
[答案]　∪
[解析]　因为a，b的夹角为钝角，
所以a·b<0，且a，b不共线，
即有，解得t<0且t≠－.
故t的取值范围为t<0且t≠－.
三、解答题
5．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)．
(1)设c＝4a＋b，求(b·c)a；
(2)若a＋λb与a垂直，求λ的值；
(3)求向量a在b方向上的射影．
[解析]　(1)∵a＝(1，2)，b＝(2，－2)，
∴c＝4a＋b＝(4，8)＋(2，－2)＝(6，6)．
∴b·c＝2×6－2×6＝0，
∴(b·c)a＝0a＝0.
(2)a＋λb＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(2λ＋1，2－2λ)，
由于a＋λb与a垂直，
∴2λ＋1＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝.
(3)设向量a与b的夹角为θ，
向量a在b方向上的射影为|a|cosθ.
∴|a|cosθ＝＝
＝－＝－.
6．已知点A(2，0)，B(0，2)，C(cosα，sinα)(其中0<α<π)，O为坐标原点，若|＋|＝，求与的夹角．21·cn·jy·com
[解析]　由已知得＋＝(2＋cosα，sinα)．
∵|＋|＝，
∴(2＋cosα)2＋sin2α＝7.
即4＋4cosα＋cos2α＋sin2α＝7.
∴cosα＝，又α∈(0，π)，∴sinα＝.
∴＝(，)，又＝(0，2)．
∴cos∠BOC＝＝，
∴∠BOC＝.故与的夹角为.
7．已知三个点A(2，1)，B(3， 2)，D(－1，4)．
(1)求证：AB⊥AD；
(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值．
[解析]　(1)证明：因为A(2，1)，B(3，2)，D(－1，4)，所以＝(1，1)，＝(－3，3)．
又因为·＝1×(－3)＋1×3＝0.
所以⊥，即AB⊥AD.
(2)解：如图，由四边形ABCD为矩形，知＝，
设C(x，y)，则(x＋1，y－4)＝(1，1)，
即解得所以C(0，5)．
所以＝(2，－4)，＝(4，－2)，
所以·＝2×4＋(－4)×(－2)＝16，
||＝＝2，||＝||＝2，
所以cos〈，〉＝＝＝，
所以矩形ABCD两对角线所夹的锐角的余弦值为.