2.6 平面向量数量积的坐标表示 同步练习3（含答案）

2.6 平面向量数量积的坐标表示 同步练习
基础巩固训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.设a=(5，y)，b=(-6，-4)，且a·b=-2，则y=　(　　)
A.-5　　　　B.-7　　　　C.5　　　　D.7
【解析】选B.5×(-6)+y×(-4)=-2，得y=-7.
2.已知a=(2，1)，b=(1，-2)，则向量a与b的夹角为　(　　)
A. B. C. D.
【解析】选D.因为a·b=2×1+1×(-2)=0，所以a⊥b，故夹角为.
3.若向量a=(2，0)，b=(1，1)，则下列结论中，正确的是　
(　　)
A.|a|=|b| B.a·b=
C.a∥b D.(a-b)⊥b
【解析】选D.因为a=(2，0)，b=(1，1)，
所以|a|==2，|b|==，A错误；
a·b=(2，0)·(1，1)=2×1+0×1=2，B错误；
因为2×1-0×1≠0，所以a与b不平行，C错误；
因为a-b=(2，0)-(1，1)=(1，-1)，
所以(a-b)·b=(1，-1)·(1，1)=1×1+(-1)×1=0，
所以(a-b)⊥b，D正确.
4.已知向量=(cos120°，sin120°)，=
(cos30°，sin45°)，则△ABC的形状为　(　　)
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形
【解析】选D.||=1，||=，cos<，>==>0，
即与所成角为锐角，故∠ABC为钝角.
【变式训练】已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，则△ABC的形状是　(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
【解析】选A.=(-3，3)，=(1，1)，·=0，所以⊥，故∠CAB=90°，△ABC为直角三角形.21·cn·jy·com
5.已知向量m=，n=，若(m+n)⊥(m-n)，则λ=　(　　)
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
【解题指南】利用(m+n)⊥(m-n)得(m+n)·(m-n)=0化简求解.
【解析】选B.因为(m+n)⊥(m-n)，
所以(m+n)·(m-n)=|m|2-|n|2=0，即(λ+1)2+1-(λ+2)2-4=0，解得λ=-3.21教育网
6.已知a=(1，-2)，b=(1，λ)，且a与b的夹角θ为锐角，则实数λ的取值范围是　
(　　)
A.(-∞，-2)∪
B.
C.∪
D.
【解析】选A.因为a与b的夹角θ为锐角，
所以cosθ>0且cosθ≠1，
即a·b>0且a与b方向不同，
即a·b=1-2λ>0，且λ≠-2，
解得λ∈(-∞，-2)∪，故选A.
【误区警示】本题易因思考不全面，转化不等价而误选D，当a与b同向时，即a与b的夹角θ=0°时cosθ=1>0，此时λ=-2，显然是不合理的.www.21-cn-jy.com
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.已知a=(1，)，b=(-2，0)，则|a+b|=　　　　.
【解析】因为a+b=(-1，)，
所以|a+b|==2.
答案:2
8.若平面向量a=(-1，2)与b的夹角是180°，且|b|=3，则b=　　　　.
【解析】设b=(x，y)，则所以x2=9.
所以x=±3，又a=(-1，2)与b方向相反，
所以b=(3，-6).
答案:(3，-6)
9.△ABO三顶点坐标为A(1，0)，B(0，2)，O(0，0)，P(x，y)是坐标平面内一点，满足·≤0，·≥0，则·的最小值为　　　　.2·1·c·n·j·y
【解题指南】根据已知条件确定x，y的范围，再把·用x，y表示，求得最小值.
【解析】因为·=(x-1，y)·(1，0)=x-1≤0，所以x≤1，所以-x≥-1.
因为·=(x，y-2)·(0，2)=2(y-2)≥0，
所以y≥2，
所以·=(x，y)·(-1，2)=2y-x≥3.
答案:3
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.已知a=(3，-4)，b=(2，x)，c=(2，y)，且a∥b，a⊥c，求b·c及b和c的夹角.【来源：21·世纪·教育·网】
【解析】因为a∥b，所以3x+8=0，所以x=-，
因为a⊥c，所以6-4y=0，所以y=.
所以b·c=·=4-4=0，
所以b⊥c，所以b与c的夹角为90°.
【变式训练】已知点A(-1，1)，点B(1，2)，若点C在直线y=3x上，且⊥，求点C的坐标.
【解析】设C(x，3x)，
则=(2，1)，=(x-1，3x-2)，因为⊥，
所以2(x-1)+3x-2=0，所以x=，
所以C.
11.设=(3，1)，=(-1，2)，C，D两点满足∥，⊥，-+=0，求C，D两点的坐标.(其中O是坐标原点)
【解析】设=(x，y)，因为= (-1，2)，
所以=-=(x，y)-(-1，2)
=(x+1，y-2)，
由=(3，1)，∥，可得3(y-2)-(x+1)=0，即x-3y+7=0.　①
又⊥，
所以-x+2y=0.　②
由①②可得x=14，y=7，
所以C(14， 7).
又因为-+=0，
所以=-=(14，7)-(3，1) =(11，6)，
所以D(11，6).
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.已知三点A(1，1)，B(-1，0)，C(3，-1)，则·等于　
(　　)
A.-2 B.-6 C.2 D.3
【解析】选A.=(-1-1，0-1)=(-2，-1)，=(3-1，-1-1)=(2，-2)，
所以·=(-2，-1)·(2，-2)=-2×2+(-1)×(-2)=-2.
2.若a=(3，4)，b=(2，-1)，且(a-xb)⊥(a-b)，则x等于　
(　　)
A.-23　　　 B.　　 C.-　　　 D.-
【解题指南】先计算a-xb与a-b的坐标，再利用垂直构建方程求解.
【解析】选C.a-xb=(3-2x，4+x)，a-b=(1，5)，
因为(a-xb)⊥(a-b)，
所以(a-xb)·(a-b)=0，
所以(3-2x)×1+5×(4+x)=0，
得x=-.
3.已知a=(3，4)，b=(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα=　
(　　)
A.　 B.-　 C.　 D.-
【解析】选A.由已知得，3cosα-4sinα=0，
所以tanα=.
【变式训练】设a=，b=，且a∥b，则锐角α的值为　(　　)
A.　 B.
C.　 D.以上都不对
【解析】选B.因为a∥b，所以×-cosα·tanα=0，所以sinα=，又因为α为锐角，所以α=.21世纪教育网版权所有
4.已知A(-1，2)，B(2，8)，C(0，5)，若⊥，∥，则点D的坐标是　(　　)
A. B.
C. D.
【解题指南】先设出点D的坐标，然后根据题目条件列出方程组，最后解方程组，求出点D的坐标.
【解析】选A.设D(x，y)，则=(x+1，y-2)，
=(x-2，y-8)，
因为=(-2，-3)，⊥，∥，
所以
解得所以D点坐标为.
【拓展延伸】平面向量数量积坐标运算的关键和注意事项
(1)涉及平面向量数量积的坐标运算的问题，关键是熟练掌握数量积的坐标运算公式以及相应的模长公式和夹角公式.21cnjy.com
(2)运用平面向量数量积的坐标运算解题时，一方面要注意函数、方程思想的熟练应用，另一方面要注意数量积几何意义的应用.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.若b=(1，1)，a·b=2，(a-b)2=3，则|a|=　　　　　.
【解析】因为(a-b)2=|a|2-2a·b+|b|2=3，
且a·b=2，所以|a|2=7-|b|2.
又因为b=(1，1)，所以|b|==，
所以|a|===.
答案:
6.若向量=(1，-3)，||=||，·=0，则||=　　　　.
【解析】设B(x，y)，依题意
解得或
所以=(2，4)或=(-4，2)，
所以=2.
答案:2
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知向量a=(-3，2)，b=(2，1)，c=(3，-1)，t∈R.
(1)求|a+tb|的最小值及相应的t值.
(2)若a-tb与c共线，求实数t.
【解析】(1)因为a=(-3，2)，b=(2，1)，c=(3，-1)，
所以a+tb=(-3，2)+t(2，1)=(-3+2t，2+t).
所以|a+tb|==
=≥=，
当且仅当t=时取等号，
即|a+tb|的最小值为，此时t=.
(2)因为a-tb=(-3，2)-t(2，1)=(-3-2t，2-t)，
又a-tb与c共线，c=(3，-1)，
所以(-3-2t)×(-1)-(2-t)×3=0.
解得t=.
8.如图所示，点P是以AB为直径的圆O上的动点，P′是点P关于AB的对称点，AB=2a(a>0).
(1)当点P是上靠近B的三等分点时，求·的值.
(2)求·的最大值和最小值.
【解析】(1)以直径AB所在直线为x轴，以O为坐标原点建立平面直角坐标系.
因为P是靠近点B的三等分点，连接OP，则∠BOP=，点P坐标为.
又点A坐标是(-a，0)，点B坐标是(a，0)，
所以=，=(2a，0)，
所以·=3a2.
(2)设∠POB=θ，θ∈[0，2π)，
则P(acosθ，asinθ)，P′(acosθ，-asinθ)，
所以=(acosθ+a，asinθ)，
OP′=(acosθ，-asinθ).
所以·=a2cos2θ+a2cosθ-a2sin2θ
=a2(2cos2θ+cosθ-1)
=2a2-a2
=2a2-a2.
当cosθ=-时，·有最小值-a2，
当cosθ=1时，·有最大值2a2.