2.7.1 点到直线的距离公式 学案（含答案）

2.7.1 点到直线的距离公式 学案
【课时目标】　1．了解直线的方向向量、法向量．2．能利用直线的法向量推导点到直线的距离公式．3．能利用直线的法向量判断两直线的位置关系．21cnjy.com
知识梳理
1．直线的法向量
(1)直线l：ax＋by＋c＝0 (a2＋b2≠0)的一个方向向量是__________，它的一个法向量是__________．www.21-cn-jy.com
(2)直线l：y＝kx＋b的一个方向向量是__________，它的一个法向量是__________．
所以，一条直线的法向量有__________个，它们都是__________向量．
2．点到直线的距离公式
设点M(x0，y0)为平面内任一点，则点M到直线l：ax＋by＋c＝0 (a2＋b2≠0)的距离
d＝_____________________________________________________________________．
3．两平行线间距离
直线l1：ax＋by＋c1＝0与直线l2：ax＋by＋c2＝0 (a2＋b2≠0且c1≠c2)的距离
d＝_____________________________________________________________________．
4．两直线的位置关系
设直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，直线l2：a2x＋b2y＋c2＝0的法向量依次为n1，n2．则：
(1)l1⊥l2?______________?______________________________________________；
(2)l1与l2重合或平行?__________?______________________．
作业设计
一、选择题
1．点(1，－1)到直线x－y＋1＝0的距离是(　　)
A． B． C． D．
2．已知三点A(－2，－3)，B(19，4)，C(－1，－6)，则△ABC是(　　)
A．以A为直角顶点的直角三角形
B．以B为直角顶点的直角三角形
C．以C为直角顶点的直角三角形
D．锐角三角形或钝角三角形
3．已知直线l1：(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线l2：(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直，则实数m的值是(　　)21·cn·jy·com
A．－2 B．
C．－2或 D．－或2
4．已知直线l1：ax＋2y＋6＝0与l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0平行，则实数a的值是(　)
A．2 B．－1 C．2或－1 D．
5．已知直线l1：3x＋4y－12＝0，l2：7x＋y－28＝0，则直线l1与l2的夹角是(　　)
A．30° B．45° C．135° D．150°
6．已知过点A(－2，m)和B(m，4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则两平行线间的距离是(　　)2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
二、填空题
7．过点A(4，a)和点B(5，b)的直线与直线y＝x＋m平行，则|AB|的值为________．
8．过点A(－2，1)且平行于向量a＝(3，1)的直线方程为________________．
9．过点A(2，3)且垂直于向量a＝(2，1)的直线方程是____________．
10．两条平行线l1：3x＋4y－2＝0与l2：6x＋8y－3＝0之间的距离为________．
三、解答题
11．已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4，0)，C(－6，2)，点D、E、F分别为边BC、CA、AB的中点．【来源：21·世纪·教育·网】
(1)求直线DE、EF、FD的方程；
(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．
12．已知M(x0，y0)为直线l：Ax＋By＋C＝0 (AB≠0)外一点．
(1)求过点M与直线l垂直的直线l1；
(2)求过点M与直线l平行的直线l2．
能力提升
13．已知向量c＝(0，1)，i＝(1，0)，经过原点O以c＋λi为方向向量的直线与经过定点A(0，1)，以i－2λc为方向向量的直线交于点P，其中λ∈R，求点P的轨迹方程．
14．如图所示，在直角坐标系xOy中，已知点A(0，1)和点B(－3，4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝2，求向量的坐标．21·世纪*教育网
反思感悟
1．若直线方程为ax＋by＋c＝0(a2＋b2≠0)，则(a，b)就是它的一个法向量，(b，－a)是它的一个方向向量；若直线方程为y＝kx＋b，则(1，k)就是它的一个方向向量，(k，－1)是它的一个法向量．21教育网
2．点M(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝．利用该公式求点到直线的距离必须先将方程化为一般式．利用点到直线的距离公式可以推导出两条平行线ax＋by＋c1＝0与ax＋by＋c2＝0间的距离为．www-2-1-cnjy-com
3．直线的法向量或方向向量在求两直线夹角、计算点到直线的距离或判断两条直线的位置关系中都有着重要应用，应熟练掌握．2-1-c-n-j-y
答案
知识梳理
1．(1)(b，－a)　(a，b)　(2)(1，k)　(k，－1)　无数多　共线
2．　3．　4．(1)n1·n2＝0　a1a2＋b1b2＝0
(2)n1∥n2　a1b2－a2b1＝0
作业设计
1．D　2．A
3．C　[(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝(m＋2)(4m－2)＝0，
∴m＝－2或．]
4．B　[直线l1的法向量n1＝(a，2)，
直线l2的法向量n2＝(1，a－1)，
∵l1∥l2，∴n1∥n2，
∴a(a－1)－1×2＝0，解得：a＝－1或a＝2．
当a＝－1时，l1：x－2y－6＝0，l2：x－2y＝0，
∴l1∥l2．
当a＝2时，l1：x＋y＋3＝0，l2：x＋y＋3＝0．
∴l1与l2重合，a＝2舍．
综上所述，a＝－1．]
5．B　[设l1、l2的方向向量为v1，v2，则
v1＝(4，－3)，v2＝(1，－7)，
∴|cos〈v1，v2〉|＝＝＝．
∴l1与l2的夹角为45°．]
6．D　[＝(m＋2，4－m)，·(2，1)＝0，
∴m＝－8，∴直线AB方程为：2x＋y＋12＝0．
∴d＝＝．]
7．
8．x－3y＋5＝0
解析　设P(x，y)是所求直线上的任一点，
＝(x＋2，y－1)．
∵∥a．∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0．
即所求直线方程为x－3y＋5＝0．
9．2x＋y－7＝0
解析　设直线上任一点P(x，y)，则＝(x－2，y－3)．
由·a＝2(x－2)＋(y－3)＝0，
得2x＋y－7＝0．
10．
解析　取直线l2的一个法向量为n＝(6，8)，
分别在直线l1和l2上任取一点M(0，)和P(，0)．
则＝(－，)，设与n的夹角为θ．
∴点M到直线l2的距离
d＝||·|cos θ|＝||·||
＝＝||＝．
又∵两条平行线间的距离处处相等，
∴点M到直线l2的距离即为两平行线l1与l2间的距离，
∴两平行线l1：3x＋4y－2＝0与l2：6x＋8y－3＝0之间的距离为．
11．解　(1)由已知得点D(－1，1)，E(－3，－1)，F(2，－2)．
设点M(x，y)是直线DE上任意一点，
则∥，＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，
∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，
即x－y＋2＝0为直线DE的方程．
同理可求，直线EF，FD的方程分别为x＋5y＋8＝0，x＋y＝0．
(2)设点N(x，y)是CH所在的直线上任意一点，
则⊥，∴·＝0．
又＝(x＋6，y－2)，＝(4，4)，
∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，
即x＋y＋4＝0为所求直线CH所在的直线方程．
12．解　(1)设P(x，y)为直线l1上任一点．
由·(B，－A)＝0，
得(x－x0，y－y0)·(B，－A)＝0，
∴B(x－x0)－A(y－y0)＝0，即＝．
(2)设P(x，y)为直线l2上任一点，
由·(A，B)＝0．
∴(x－x0，y－y0)·(A，B)＝0．
∴A(x－x0)＋B(y－y0)＝0．
13．解　设P点坐标为(x，y)，
∵i＝(1，0)，c＝(0，1)，
∴c＋λi＝(λ，1)，i－2λc＝(1，－2λ)，
直线OP与AP的方程分别为λy＝x和y－1＝－2λx，
消去参数λ，所求的轨迹方程为2x2＋y2－y＝0．
14．解　如图所示，已知A(0，1)，B(－3，4)，过B作BD∥y轴，与OC的延长线交于点D，过D作OB的平行线交y轴于E，所以四边形OBDE为菱形，21世纪教育网版权所有
所以D(－3，9)，E (0，5)．
设C(x1，y1)，||＝3，
所以＝，
所以(x1，y1)＝(－3，9)，
所以所以
所以C，
所以＝．