3.1 同角三角函数的基本关系 同步练习1（含答案）

3.1 同角三角函数的基本关系 同步练习
基础巩固
一、选择题
1．已知tanx>0且sinx＋cosx>0，那么x位于(　　)
A．第一象限　 B．第二象限
C．第三象限　 D．第四象限
[答案]　A
[解析]　∵tanx>0，∴>0，∴sinx，cosx同号，
又∵sinx＋cosx>0，∴sinx>0，cosx>0，
∴x位于第一象限．
2．化简sin2β＋cos4β＋sin2βcos2β的结果是(　　)
A．　 B．
C．1　 D．
[答案]　C
[解析]　原式＝sin2β＋cos2β(cos2β＋sin2β)＝sin2β＋cos2β＝1.
3．已知<α<π，sinα＝，则tanα的值为(　　)
A．　 B．－
C．±　 D．－
[答案]　B
[解析]　∵<α<π，∴cosα<0，
∴cosα＝－＝－＝－.
∴tanα＝＝－.
4．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值等于(　　)
A．2　 B．－2
C．2或－2　 D．0
[答案]　D
[解析]　∵α的终边在直线y＝－x上，∴tanα＝－1，
∴原式＝＋，
(1)当α在第二象限时，原式＝－tanα＋tanα＝0；
(2)当α在第四象限时，原式＝tanα－tanα＝0.
5．若sin2α＋sinα＝1，则cos4α＋cos2α的值为(　　)
A．0　 B．1
C．2　 D．3
[答案]　B
[解析]　∵sin2α＋sinα＝1，∴sinα＝1－sin2α＝cos2α，
∴cos4α＋cos2α＝sin2α＋sinα＝1.
6．已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为(　　)
A．　 B．－
C．　 D．－
[答案]　B
[解析]　∵<α<，∴cosα∴cosα－sinα<0，
∵(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α
＝1－2·＝，
∴cosα－sinα＝－.
二、填空题
7．已知cos2α＋4sinα·cosα＋4sin2α＝5，则tanα＝______.
[答案]　2
[解析]　由题意知
＝＝5，
整理得tan2α－4tanα＋4＝0，∴tanα＝2.
8．已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝________.
[答案]　
[解析]　∵sinθ－cosθ＝，∴sinθcosθ＝，
∴sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝＝.
三、解答题
9．已知θ∈(0，2π)且sinθ、cosθ是方程x2－kx＋k＋1＝0的两个实数根，求k和θ.
[解析]　由题意知 
由①得1＋2sinθcosθ＝k2，
把②代入上式得k2－2k－3＝0，
解得k＝3或k＝－1，
当k＝3时，sinθ·cosθ＝4不合题意，舍去．
当k＝－1时，
∴或
又θ∈(0，2π)，∴θ＝π或.
综上知k＝－1，θ＝π或.
能力提升
一、选择题
1．已知sin(α＋)＝，α∈(－，0)，则tanα的值为(　　)
A．－2　 B．2
C．－　 D．
[答案]　A
[解析]　∵sin(α＋)＝，∴cosα＝.
又∵α∈(－，0)，
∴sinα＝－＝－.
∴tanα＝＝－2.
2．下列等式中正确的是(　　)
A．sin2＋cos2＝ B．若α∈(0，2π)，则一定有tanα＝
C．sin＝± D．sinα＝tanα·cosα(α≠kπ＋，k∈Z)
[答案]　D
[解析]　选项A中，sin2＋cos2＝1，所以选项A不正确；利用同角的三角函数基本关系时一定要注意其隐含条件，对于选项B中cosα≠0，也即α≠kπ＋(k∈Z)，因而选项B不正确；因为0<<，21教育网
所以sin>0，所以选项C不正确．
二、填空题
3．化简＝________.
[答案]　
[解析]　原式＝＝＝.
4．若α是锐角，且2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα＝________.
[答案]　
[解析]　由2tanα＋3sinβ＝7，得4tanα＋6sinβ＝14①，又tanα－6sinβ＝1②，①＋②，得5tanα＝15，∴tanα＝3，又由1＋tan2α＝，有cos2α＝＝＝，∴sin2α＝1－cos2α＝，∵0<α<，∴sinα＝.21cnjy.com
三、解答题
5．已知tanα＝－2，求sinα，cosα的值．
[解析]　∵tanα＝－2，∴α是第二、四象限角，
又tanα＝－2得sinα＝－2cosα.
(1)当α为第二象限角时，
?5cos2α＝1，
∴cosα＝－，sinα＝－2×(－)＝.
(2)当α为第四象限角时，
?5cos2α＝1，
∴cosα＝，
sinα＝－2×＝－.
综合(1)(2)知：当α为第二象限角时，cosα＝－，sinα＝，
当α为第四象限角时，cosα＝，sinα＝－.
6．已知<α<，cos(α＋)＝m(m≠0)，求tan(－α)的值．
[解析]　由于(α＋)＋(－α)＝π，
所以cos(－α)＝－cos(α＋)＝－m.
由于<α<，所以0<－α<.
则sin(－α)＝.
所以tan(－α)＝－.
7．是否存在实数k，使方程8x2－6kx＋2k＋1＝0的两个实数根分别是直角三角形中的两个锐角的正弦值？21世纪教育网版权所有
[解析]　设两个锐角为α，β.
∵α＋β＝90°，∴sinβ＝cosα，
∴
由(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα，
得＝1＋2×，解得k＝2或k＝－.
当k＝2时，Δ<0，不符合题意，∴k＝2舍去．
由sinα＋cosα>0，得k>0，∴k＝－舍去．
因此符合题意的k值不存在．