3.1 同角三角函数的基本关系 同步练习3（含答案）

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3.1 同角三角函数的基本关系 同步练习
基础巩固训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1.若sinα=，则sin4α-cos4α的值为　(　　)
A.- B.- C. D.
【解析】选B.由sinα=，得sin2α=，cos2α=，
sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)
=sin2α-cos2α=-=-.
2.已知tanα=-，则=　(　　)
A.9 B.10 C. D.
【解析】选D.因为tanα==-，
所以sinα=-cosα.
又由sin2α+cos2α=1知cos2α=1，
cos2α=，所以=.
【一题多解】==tan2α+1=+1=.
3.已知<θ<π，sin=-，则tan(π-θ)的值为　
(　　)
A. B. C.- D.-
【解析】选B.sin=cosθ=-，
又<θ<π，所以sinθ==.
tan(π-θ)=-tanθ=-=-=.
4.已知sinα，cosα是方程3x2-2x+a=0的两根，则实数a的值为　(　)
A. B.- C. D.
【解题指南】利用根与系数的关系可得:
因为求a的值，应根据sin2α+cos2α=1再结合以上两式，得到关于a的方程.但注意求出的a必须满足原方程有两个根，即方程的判别式Δ≥0.21cnjy.com
【解析】选B.由Δ≥0知，a≤.结合选项，本题即可选B，若没有注意到选项，则继续以下解法:
又
故sinαcosα=-=，
所以a=-.
5.已知sinθ=，cosθ=，则tanθ=　
(　　)
A. B.±
C.- D.-或-
【解题指南】先由sin2θ+cos2θ=1求m的值，再求tanθ.
【解析】选C.由sin2θ+cos2θ=1，得m=8或0，
又θ∈，所以sinθ>0，cosθ<0，
因此m=8，此时sinθ=，cosθ=-，
所以tanθ==-.
【误区警示】本题易忽视θ∈从而得到m=8或0两个值，而误选D.
6.+-所有可能的值组成的集合为　(　　)
A.{- 3，1} B.{1，3}
C.{-3，-1，1} D.{ -1，1，3}
【解题指南】考虑x所在的象限，把所有可能都要考虑到，进行分类讨论，求出所有的值.
【解析】选A.记f(x)=+-=+-，
(1)当x在第一象限时，
f(x)=+-=1.
(2)当x在第二象限时，
f(x)=+-=1.
(3)当x在第三象限时，
f(x)=+-=-3.
(4)当x在第四象限时，
f(x)=+-=1.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.已知α为第二象限的角，sinα=，则tan(3π+α)=　　　　.
【解析】由已知得cosα=-=-=-.
tan(3π+α)=tanα===-.
答案:-
8.已知tanα=2，则sin2α-sinαcosα=　　　　.
【解析】原式====.
答案:
【变式训练】已知tanα=，
(1)求的值.
(2)求2sin2α-3sinαcosα+5cos2α的值.
【解析】(1)因为tanα=，所以cosα≠0，
将的分子和分母同时除以cosα，
则===0.
(2)2sin2α-3sinαcosα+5cos2α
=
==.
9.若α∈[0，2π)且+=sinα-cosα，则α的取值范围是　　　　.
【解析】因为+=|sinα|+|cosα|=sinα-cosα，所以故α∈.
答案:
【变式训练】(2012·辽宁高考改编)已知sinα-cosα=，α∈(0，π)，则
tanα=　　　　.
【解析】将等式sinα-cosα=两边平方，得到2sinαcosα=-1，整理得1+
2sinαcosα=0 sin2α+cos2α+2sinαcosα=0，
所以(sinα+cosα)2=0，所以sinα+cosα=0.
由sinα-cosα=和sinα+cosα=0，
解得sinα=，cosα=-，
故tanα==-1.
答案:-1
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.求证:=.
【证明】左边===
==
==右边，
即原式成立.
11.已知=2，求下列各式的值:
(1).(2)sin2α-2sinαcosα+1.
【解析】由=2，得sinα=3cosα.
所以tanα=3.
(1)方法一:原式===.
方法二:原式=
===.
(2)原式=+1
=+1=+1=.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.若tanα=，则sinα·cosα的值为　(　　)
A.± B. C. D.±
【解析】选B.原式====.
2.若sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ)，则sin(θ-π)sin=　(　)
A. B.- C.- D.
【解析】选C.根据题意，由于sinθ+cosθ=2(sinθ-cosθ)，所以=2，所以tanθ=3，21世纪教育网版权所有
则sin(θ-π)sin=-sinθcosθ==-=-.
3.函数y=-sin2x-3cosx的最小值是　(　　)
A.- B.- 2 C. D.-
【解析】选A.y=-(1-cos2x)-3cosx=cos2x-3cosx+=-2，
又cosx∈[-1，1]，
所以当cosx=1时，ymin=-2=-.
【变式训练】如果|x|≤，那么函数f(x)=cos2x+sinx最小值为　　　　.
【解析】函数f(x)=cos2x+sinx=1-sin2x+sinx=-+，
因为|x|≤，所以-≤x≤，
所以-≤sinx≤，
所以当sinx=-时，取最大值，
此时，函数f(x)有最小值.
答案:
4.若cosα+2sinα=-，则tanα等于　(　　)
A. B.2 C.- D.-2
【解析】选B.由cosα+2sinα=-，两边平方可得cos2α+4sinα·cosα+
4sin2α=5，那么cos2α+4sinα·cosα+4sin2α=
===5，
即tan2α-4tanα+4=(tanα-2)2=0，解得:tanα=2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知sinαcosα=，π<α<，则sinα+cosα=　　　　.
【解析】由π<α<π，得sinα<0，cosα<0，
所以sinα+cosα=-=-=-.
答案:-
6.已知f(x)=，若α∈，则f(cosα)+
f(-cosα)可化简为　　　　.
【解析】因为α∈，所以f(cosα)+f (-cosα)=+=
+==.
答案:
【拓展延伸】化简的技巧与方法
(1)技巧:化简就是将表达式经过某种变形，从而使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数的种类尽可能少，分母中尽量不含三角函数符号，能求值的一定要求值.21教育网
(2)方法:主要是公式的正用、逆用，所谓逆用公式sin2α+cos2α=1，实质就是“1”的三角代换“1=sin2α+cos2α”“1=tan”等，“1”的三角代换在三角函数式的恒等变形中有着广泛的应用.
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知角θ的终边上有一点P(x，-1)(x≠0)，且tanθ=-x.
(1)求sinθ，cosθ的值.
(2)求的值.
【解析】(1)因为θ的终边过点(x，-1)(x≠0)，
所以tanθ=-，又tanθ=-x，
所以x2=1，所以x=±1.
当x=1时，sinθ=-，cosθ=；
当x=-1时，sinθ=-，cosθ=-.
(2)当x=1时，tanθ=-1，==-.
当x=-1时，tanθ=1，==.
8.求证:-=.
【证明】因为==，
==，
所以-=-=.
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