3.1 同角三角函数的基本关系 学案（含答案）

3.1 同角三角函数的基本关系 学案
【课时目标】　1．理解并掌握同角三角函数的基本关系式及常见变形．2．能运用平方关系和商的关系进行求值．21世纪教育网版权所有
知识梳理
1．同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：________________________．
(2)商数关系：________________________(α≠kπ＋，k∈Z)
2．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式：
sin2α＝____________；cos2α＝____________；
(sin α＋cos α)2＝_________________________________________________________；【来源：21·世纪·教育·网】
(sin α－cos α)2＝_________________________________________________________；21·世纪*教育网
(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________；
sin α·cos α＝__________________________＝______________________________．
(2)tan α＝的变形公式：
sin α＝__________________；cos α＝_______________________________________．
作业设计
一、选择题
1．已知α是第四象限角，tan α＝－，则sin α等于(　　)
A． B．－ C． D．－
2．已知sin α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)
A．－ B．－ C． D．
3．记cos(－80°)＝k，那么tan 100°等于(　　)
A． B．－
C． D．－
4．已知tan α＝－，则的值是(　　)
A． B．3 C．－ D．－3
5．已知sin α－cos α＝－，则tan α＋的值为(　　)
A．－4 B．4 C．－8 D．8
6．若cos α＋2sin α＝－，则tan α等于(　　)
A． B．2 C．－ D．－2
二、填空题
7．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α＝________．
8．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝_____________________________．21·cn·jy·com
9．已知sin αcos α＝且<α<，则cos α－sin α＝____________________________．www-2-1-cnjy-com
10．若sin θ＝，cos θ＝，且θ的终边不落在坐标轴上，则tan θ的值为________．2-1-c-n-j-y
三、解答题
11．已知＝，求下列各式的值．
(1)；
(2)1－4sin θcos θ＋2cos2θ．
12．已知α是第三象限角，f(α)＝sin(α－)cos(π＋α)tan(π－α)
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－π)＝，求f(α)的值．
能力提升
13．设定义在区间(0，)上的函数y＝6cos x的图像与y＝5tan x的图像交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y＝sin x的图像交于点P2，则线段P1P2的长为________．2·1·c·n·j·y
14．已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)．
求：(1)sin θ－cos θ；(2)sin3θ＋cos3θ．
反思感悟
1．对基本关系的理解
注意“同角”，这里“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，与角的表达形式无关．21教育网
如：sin23α＋cos23α＝1；＝tan ；而sin2α＋cos2β＝1就不一定成立．
2．已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值时，要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系，再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时，其正负号是由角α所在象限来决定，切不可不加分析，凭想象乱写公式．21cnjy.com
3．熟悉sin θ＋cos θ，sin θ·cos θ，sin θ－cos θ这三个式子之间的关系，已知其中一个式子的值，可求出另外两式子的值，但应注意符号选取．
答案
知识梳理
1．(1)sin2α＋cos2α＝1　(2)tan α＝　
2．(1)1－cos2α　1－sin2α　1＋2sin αcos α　1－2sin αcos α　2　　　www.21-cn-jy.com
(2)cos αtan α　
作业设计
1．D　[∵α是第四象限角，且tan α＝－，
∴sin α＝－＝－．]
2．B　[sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝2sin2α－1
＝2×－1＝－．]
3．B　[∵cos(－80°)＝k，∴cos 80°＝k，
∴sin 80°＝．∴tan 80°＝．
∴tan 100°＝－tan 80°＝－．]
4．C　[＝
＝＝＝＝－．]
5．C　[tan α＋＝＋＝．
∵sin αcos α＝＝－，
∴tan α＋＝－8．]
6．B　[方法一　由联立消去cos α后得
(－－2sin α)2＋sin2α＝1．
化简得5sin2α＋4sin α＋4＝0
∴(sin α＋2)2＝0，∴sin α＝－．
∴cos α＝－－2sin α＝－．
∴tan α＝＝2．
方法二　∵cos α＋2sin α＝－，
∴cos2α＋4sin αcos α＋4sin2α＝5，
∴＝5，
∴＝5，
∴tan2α－4tan α＋4＝0，
∴(tan α－2)2＝0，∴tan α＝2．]
7．－
8．
解析　sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝
＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝．
9．－
解析　(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝，
∵<α<，∴cos α10．
解析　∵sin2θ＋cos2θ＝2＋2＝1，
∴k2＋6k－7＝0，
∴k1＝1或k2＝－7．
当k＝1时，cos θ不符合，舍去．
当k＝－7时，sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝．
11．解　由已知＝，
∴＝．
解得：tan θ＝2．
(1)原式＝＝＝1．
(2)原式＝sin2θ－4sin θcos θ＋3cos2θ
＝
＝
＝－．
12．解　(1)f(α)＝
＝
＝
＝＝－＝－cos α．
(2)∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－sin α＝
∴sin α＝－，∵α是第三象限角，
∴cos α＝－
∴f(α)＝－cos α＝．
13．
解析　由消去y得6cos x＝5tan x．
整理得6cos2x＝5sin x，6sin2x＋5sin x－6＝0，
(3sin x－2)·(2sin x＋3)＝0，
所以sin x＝或
sin x＝－(舍去)．
点P2的纵坐标y2＝，所以|P1P2|＝．
14．解　(1)由sin θ＋cos θ＝两边平方得，
sin2θ＋2sin θcos θ＋cos2θ＝，
∴2sin θcos θ＝－，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝．
又∵sin θcos θ<0，θ∈(0，π)，∴cos θ<0，θ∈(，π)，
∴sin θ－cos θ＝．
(2)sin3θ＋cos3θ＝(sin θ＋cos θ)(sin2θ－sin θcos θ＋cos2θ)
＝×(1＋)＝．