3.2.1 两角差的余弦函数 同步练习2（含答案）

3.2.1 两角差的余弦函数 同步练习
基础巩固训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题3分，共18分)
1. cos 75°cos15°-sin255°sin15°的值是　(　　)
A.0　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D.-
【解析】选B.原式=cos75°cos15°+sin75°sin15°=cos(75°-15°)=cos60°=.2·1·c·n·j·y
【误区警示】此类问题易对公式结构特征把握不准而在逆用时致误.
2.计算:cos(-15°)的值为　(　　)
A. B.
C. D.-
【解析】选C.cos(-15°)=cos15°=cos(45°-30°)=
cos45°cos30°+sin45°sin30°=×+×=.
3.某同学研究sinx+cosx时，得到如下结果:
①sinx+cosx=sin；
②sinx+cosx=sin；
③sinx+cosx=cos；
④sinx+cosx=cos.
其中正确的个数为　(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.sinx+cosx
=
=
=sin.
或sinx+cosx=
=(sinsinx+coscosx)
=cos.故①④正确.
【变式训练】化简:cosx-sinx=　　　　.
【解析】cosx-sinx=2
=2
=2sin.
答案:2sin
4.若sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=m，且β为第三象限角，则cosβ的值为　
(　　)
A. B. -
C. D.-
【解析】选B.因为sin(α-β)cosα-cos(α-β)sinα=sin[(α-β)-α]=
sin(-β)=m，所以sinβ=-m，又sin2β+cos2β=1，且β为第三象限角，所以cosβ=-=-.21·cn·jy·com
5.已知α∈，cosα=，则cos等于　
(　　)
A.- B.1-
C.-+ D.-1+
【解析】选A.因为α∈，cosα=，所以sinα=，
所以cos=cosαcos-sinαsin=×-×=-.
6.已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，若a=(cosA，sinA)，b=(cosB，sinB)且a·b=1，则△ABC一定是　(　　)【来源：21·世纪·教育·网】
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【解题指南】根据a·b=1，利用和、差角正余弦公式，求得某角三角函数值大小，进而再求出角的大小关系.www-2-1-cnjy-com
【解析】选B.因为a·b=cosAcosB+sinAsinB=cos(A-B)=1，
又A，B，C为△ABC的内角，所以A-B∈(-π，π)，
故A-B=0，所以A=B，
即△ABC一定是等腰三角形.
二、填空题(每小题4分，共12分)
7.在△ABC中，A，B为锐角，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinA=，sinB=，则A+B=　　　　.2-1-c-n-j-y
【解析】因为A，B都是锐角，所以cosA>0，cosB>0，
所以cosA==，cosB==.
所以cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
=×-×=，
因为0答案:
8.=　　　　　.
【解析】===.
答案:
9.若点P(-3，4)在角α的终边上，点Q(-1，-2)在角β的终边上，则sin(α-β)=　　　，cos(α+β)=　　　.21*cnjy*com
【解析】因为点P(-3，4)在角α的终边上，
所以r=5，
故sinα=，cosα=-.
又因为点Q(-1，-2)在角β的终边上，所以r′=，
故sinβ=-，cosβ=-，
则sin(α-β)=sinα·cosβ-cosα·sinβ
=×-×=-.
cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ
=×-×=.
答案:-　
三、解答题(每小题10分，共20分)
10.若sin=，cos=，且0<α<<β<π，求cos(α+β)的值.
【解题指南】观察所求问题cos(α+β)与已知条件角的关系，+α-=+(α+β)，
则sin=sin.
【解析】0<α<<β<，
所以π<π+α<π，-<-β<0，
又已知sin=，cos=，
所以cos=-，sin=-，
所以cos(α+β)=sin
=sin
=sincos-cossin
=×-×
=-.
11.已知sin+sinα=-，-<α<0，求cosα的值.
【解析】因为sin+sinα=-，
所以sinαcos+cosαsin+sinα=-，
所以sinα+cosα=-，
所以sinα+cosα=-，
所以sin=-.
由-<α<0，得-<α+<，
所以cos=，
所以cosα=cos
=coscos+sinsin
=×+×=.
【一题多解】由sin+sinα=-，得
sinα+cosα=-，①
又sin2α+cos2α=1，②
由①，②，得4cos2α+cosα-=0，
得cosα=，或cosα=.
又因为α∈，
所以cosα=.
能力提升训练（30分钟 50分）
一、选择题(每小题4分，共16分)
1.设向量a=(cos23°，cos67°)，b=(cos53°，cos37°)，则a·b等于　(　　)21cnjy.com
A. B. C.- D.-
【解析】选A.a·b
=(cos23°，cos67°)·(cos53°，cos37°)
=cos23°cos53°+cos67°cos37°
=cos23°cos53°+sin23°sin53°
=cos(53°-23°)=cos30°=.
2.函数f(x)=sinx-cosx(x∈[-π，0])的单调递增区间是　(　　)
A. B.
C. D.
【解题指南】先利用辅助角公式将f(x)化为一个角的正弦函数再求.
【解析】选D.f(x)=2=2sin
又x∈[-π，0]，所以递增区间为.
3.已知sin=，<α<，则cosα的值是　(　　)
A. B.
C. D.
【解析】选A.因为<α<，所以<+α<π.
所以cos=-=-.
所以cosα=cos
=coscos+sinsin
=-×+×=.
4.已知向量a=(m，n)，b=(cosθ，sinθ)，其中m，n，θ∈R，若|a|=4|b|，则当a·b<λ2恒成立时实数λ的取值范围是　(　　)
A.λ>或λ<- B.λ>2或λ<-2
C.-<λ< D.-2<λ<2
【解析】选B.由已知得|a|=4，即=4，
而a·b=(m，n)·(cosθ，sinθ)=mcosθ+nsinθ
=sin(θ+φ)，
要使a·b<λ2恒成立，只需λ2>(a·b)max，
即λ2>=4，解得λ>2或λ<-2.
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.已知sinαcosβ=1，则cos(α+β)=　　　.
【解题指南】由sinαcosβ=1，则sinα=1，cosβ=1或sinα=-1，cosβ=-1，由此可得cos(α+β)的值.21教育网
【解析】sinαcosβ=1，
则sinα=1，cosβ=1或sinα=-1，cosβ=-1，
所以cosα=0，sinβ=0，
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=0.
答案:0
6.若0<α<，-<β<0，cos=，cos=，则cos
=　　　　.
【解析】因为0<α<，所以<+α<，
所以sin=，
因为-<β<0，所以0<-<，
则<-<，
所以sin=.
cos=cos
=coscos+
sinsin
=×+×=.
答案:
【误区警示】解答本题在确定-的范围时，易出错，从而造成sin的符号错而致误.
三、解答题(每小题12分，共24分)
7.已知sinα=，cos(α-β)=，且0<β<α<.
(1)求sin(2α-β).
(2)求β.
【解析】因为0<β<α<，所以0<α-β<，cosα==，
sin(α-β)==.
(1)sin(2α-β)=sin[α+(α-β)]=sinαcos(α-β)+cosαsin(α-β)=×+×=.21世纪教育网版权所有
(2)cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=×+×=.www.21-cn-jy.com
又因为0<β<，所以β=.
8.已知函数f(x)=Acos+，x∈R，且f=.
(1)求A的值.
(2)设α，β∈0，，f=-，
f=.求cos(α+β)的值.
【解题指南】(1)将x=代入函数f(x)的解析式，建立关于A的方程，解方程即可求解.(2)解本小题的关键是根据f=-，f4β-π=求出sinα，21·世纪*教育网
cosβ的值，然后再根据α，β的范围，求出cosα，sinβ的值，再利用两角和的余弦公式即可求解.
【解析】(1)因为f=，
所以Acos+=，所以A==2.
(2)因为f=-，
所以2cos+
=2cosα+=-，
所以sinα=，
又因为f=，
所以2cos4β-π+=2cosβ=，
所以cosβ=，
又因为α，β∈0，，
所以cosα=，sinβ=，
所以cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=×-×=-.